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1、沪科版沪科版 八年级数学下册八年级数学下册 第第1717章章 一元二次方程一元二次方程17.1 17.1 一元二次方程一元二次方程第第1 1课时课时 认识一元二认识一元二次方程次方程1课堂讲解课堂讲解一元二次方程的定义一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解（根）一元二次方程的解（根）利用一元二次方程建立实际问题模型利用一元二次方程建立实际问题模型2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升某蔬菜队某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为年全年无公害蔬菜产量为100t，计，计划划2011年无公害蔬菜的产量比年无公害蔬菜的产量比2
2、009年翻一番（即为年翻一番（即为200t）.要实现这一目标，要实现这一目标，2010年和年和2011年无公害蔬菜年无公害蔬菜产产量的年平均增长率应是多少？量的年平均增长率应是多少？设这个队设这个队20102011年无公害蔬菜产量的年平均年无公害蔬菜产量的年平均增长率是增长率是x，问题可以归结为求解方程，问题可以归结为求解方程 x22x10.上述方程不是一次的，如何求解呢？上述方程不是一次的，如何求解呢？本章将学习一元二次方程的有关知识，它可以用本章将学习一元二次方程的有关知识，它可以用来解决像上面这样的一些实际问题来解决像上面这样的一些实际问题.1知识点知识点一元二次方程的定义一元二次方程的
3、定义 1.如图，已知一矩形的长为如图，已知一矩形的长为200cm，宽为，宽为150cm，现，现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的面积的.求挖去的圆的半径求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其应满足的方程（其中中取取3）知知1 1导导设设_找等量关系找等量关系：_列出方程列出方程：_2.据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两万辆，两年后增加到年后增加到108万辆万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率长率x应满足的方程应满足的方程.等量关系等量关系
4、：_列出方程：列出方程：_知知1 1导导定义定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的的整整式式方程，叫做一元二次方程方程，叫做一元二次方程要点要点精精析：析：(1)理解定义，要掌握三个关键点：整式、理解定义，要掌握三个关键点：整式、未知数未知数个数及个数及最最高高次数；次数；“一元一元”是指整个方程中只含有是指整个方程中只含有一个一个未知数未知数；“二次二次”是指该未知数的最高次数是是指该未知数的最高次数是2.(2)一元二次方程的识别方法：一元二次方程的识别方法：整理整理前：前：整式方程，整式方程，只含一个未知数只含一个未知数；整理整理后：未知
5、数的最高次数是后：未知数的最高次数是2.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一元二次方程的条件元二次方程的条件中有两个未知数；中有两个未知数；不是整不是整式方程；式方程；未知数的最高次数是未知数的最高次数是3；整理后二次整理后二次项系数为零项系数为零导引：导引：下列方程下列方程：x2y60；x22；x2x20；x225x36x0；2x23x2(x22)，其中其中是一元二次方程的有是一元二
6、次方程的有()A1个个B.2个个C3个个D4个个例例1A总总 结结知知1 1讲讲判断一个方程是否是一元二次方程判断一个方程是否是一元二次方程，有两个关键点：，有两个关键点：(1)整理前是整式方程且只含一个未知数；整理前是整式方程且只含一个未知数；(2)整理后未知数的最高次数是整理后未知数的最高次数是2.本例本例2x23x2(x22)中易出现不整理就下结中易出现不整理就下结论，误认为是一元二次方程的错误论，误认为是一元二次方程的错误（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）因为已知的方程是一元二次方程，所以未知数因为已知的方程是一元二次方程，所以未知数x的的最高次数是最高次数是2
7、，即，即a32，所以，所以a5.导引：导引：已知关于已知关于x的方程的方程xa32x10是一元二次方是一元二次方程，则程，则a_例例25总总 结结知知1 1讲讲已知某方程为一元二次方程，则此方程必须符已知某方程为一元二次方程，则此方程必须符合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.当二次项系数是待定系数时，当二次项系数是待定系数时，还要考虑二次项系数不等于还要考虑二次项系数不等于0.（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练1判断下列方程中，哪些是判断下列方程中，哪些是关于关于x的的一元二次方程？一元二次方程？
8、(1)x230；(2)4x23x2(2x1)2；(3)x3x40；(4)x22y30；(5)(m1)x23x10;(6)2x20.（来自（来自教材教材）2下列下列关于关于x的方程一定是一元二次方程的是的方程一定是一元二次方程的是()Aax2bxc0Bx21x20Cx22Dx2x20（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练3若若关于关于x的方程的方程(a2)x22axa20是一元二是一元二次方程，则次方程，则()Aa2Ba2Ca0Da24若若方程方程(m1)x|m|12x3是关于是关于x的一元二次方的一元二次方程，则有程，则有()Am1Bm1Cm1Dm1（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点一
9、元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式知知2 2讲讲1一般地，任何一个关于一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过的一元二次方程，经过整整理，都能化成如下形式：理，都能化成如下形式：ax2bxc0(a0)这这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2叫叫做二次项，做二次项，a是二次项的系数；是二次项的系数；bx叫做一次项，叫做一次项，b是一次项的系数；是一次项的系数；c叫做常数项叫做常数项（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲要点精析要点精析：(1)ax2bxc0，当，当a0时，方程才是时，方程才是一元二次方一元二次方程程，但，但b，c可以是可以是0
10、.(2)可以通过去可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项分母、去括号、移项、合并同类项等等步骤步骤将一个一元二次方程化成一般形式将一个一元二次方程化成一般形式(3)指出一元二次方程的某项时，含未知数的项应指出一元二次方程的某项时，含未知数的项应连连同同系数一起；指出某项的系数时，应连同它系数一起；指出某项的系数时，应连同它前面前面的的符号一起符号一起(4)二次项系数不等于零既是一元二次方程的必要二次项系数不等于零既是一元二次方程的必要条条件件，也是一个隐含条件，也是一个隐含条件（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲去括号，得去括号，得3x23x2x44.移项，合并同类项，得方程的一般形式：移项
11、，合并同类项，得方程的一般形式：3x25x80.它的二次项系数是它的二次项系数是3，一次项系数是，一次项系数是5，常数项是常数项是8.例例3解：解：把方程把方程3x(x1)2(x2)4化成一般形式，化成一般形式，并写并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项出它的二次项系数、一次项系数及常数项.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲1化一般形式一般要经历化一般形式一般要经历一去一去(去分母、去括号去分母、去括号)、二移二移、三并三并这三步；这三步；2当整理为一般形式后，如果二次项系数是负数，当整理为一般形式后，如果二次项系数是负数，一般要把它转化为正数，若有关系数是分数，一一般要把它转化为正数，若
12、有关系数是分数，一般要把它转化为整数般要把它转化为整数（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲例例4 已知关于已知关于x的方程的方程(a21)x2(1a)xa20.(1)当当a为何值时，该方程为一元二次方程？为何值时，该方程为一元二次方程？(2)当当a为何值时，该方程为一元一次方程？并求为何值时，该方程为一元一次方程？并求一元一次方程的解一元一次方程的解导引：导引：已知条件中说明是关于已知条件中说明是关于x的方程，则方程中只含的方程，则方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，但，但由于二次项系数待定，故分析二次项系数为不为由于二次项系数待定，
13、故分析二次项系数为不为零是确定该方程是否为一元二次方程的关键点零是确定该方程是否为一元二次方程的关键点（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲(1)由题意得由题意得a210，即即a1时，该方程为一元二次方程时，该方程为一元二次方程(2)由题意得由题意得a210且且1a0，解得解得a1，即当即当a1时，该方程为一元一次方程时，该方程为一元一次方程此时方程为此时方程为2x30，解得解得x解：解：（来自（来自教材教材）知知2 2讲讲在一元二次方程的一般形式在一元二次方程的一般形式ax2bxc0中，中，a0是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，在应是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，在应用一元二次方程的
14、定义求待定字母的值时，既要考用一元二次方程的定义求待定字母的值时，既要考虑未知数的最高次数是虑未知数的最高次数是2，又要考虑二次项系数不为，又要考虑二次项系数不为零零（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲关于关于x的一元二次方程的一元二次方程(a2)x23xa240的常数项为的常数项为0，a240，a2.错解中只应用了题中常数项为错解中只应用了题中常数项为0这一直观条这一直观条件，题目的前提条件说明该方程是一元二次方件，题目的前提条件说明该方程是一元二次方程，忽略了一元二次方程的二次项系数不为零程，忽略了一元二次方程的二次项系数不为零这一隐含条件这一隐含条件例例5错解：错解：易错题易错
15、题关于关于x的一元二次方程的一元二次方程(a2)x23xa240的常数项为的常数项为0，求，求a的值的值（来自（来自点拨点拨）错解分析：错解分析：知知2 2讲讲关于关于x的一元二次方程的一元二次方程(a2)x23xa240的常数项为的常数项为0，解得解得a2.正解：正解：（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲在解由一元二次方程的定义求有关待定字母的在解由一元二次方程的定义求有关待定字母的值时，先要把方程整理成一元二次方程的一般形式，值时，先要把方程整理成一元二次方程的一般形式，再由题中给出的条件及二次项系数不为零列式求解再由题中给出的条件及二次项系数不为零列式求解（来自（来自点拨点拨）总总 结结
16、1将将下下列列一一元元二二次次方方程程化化成成一一般般形形式式，并并指指出出它它们的二次项系数、一次项系数及常数项：们的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)5x26x8;(2)(3)x(x1)0；(4)知知2 2练练（来自（来自教材教材）知知2 2练练2把把方方程程x(x2)5(x2)化化成成一一般般形形式式，则则a，b，c的值分别是的值分别是()A1，3，10B1，7，10C1，5，12D1，3，23一元二次方程一元二次方程2(x1)2x3化成一般化成一般形式形式ax2 bx c 0后后，若若 a 2，则则 b c的的 值值 是是_4若若一一元元二二次次方方程程(2a4)x2(3a6)xa
17、80没有一次项，则没有一次项，则a的值为的值为_（来自（来自典中点典中点）知知3 3讲讲3知识点知识点一元二次方程的解一元二次方程的解(根根)1定义：定义：能使一元二次方程左右两边相等的能使一元二次方程左右两边相等的未知数未知数的的值叫做一元二次方程的解值叫做一元二次方程的解(根根)要点要点精精析：析：(1)判定某个数是方程的根的必要条件：使方程判定某个数是方程的根的必要条件：使方程左左右右两边两边相等相等(2)根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是是否否正确正确(3)一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都
18、都是是方程的根方程的根（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数的值分别代入方程，能够使方程左右两未知数的值分别代入方程，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根边相等的数就是方程的根1，3是方程是方程x22x30的根的根例例6导引：导引：下面哪些数是方程下面哪些数是方程x22x30的根？的根？3，2，1，0，1，2，3解：解：知知3 3讲讲检验一个数是否为方程的解或根，只要把这个检验一个数是否为方程的解或根，只要把这个数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否数分别代入方程的左右两边算出数值
19、，看它们是否相等在找解时注意使一元二次方程左右两边相等相等在找解时注意使一元二次方程左右两边相等的未知数的值不一定只有一个的未知数的值不一定只有一个（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知3 3讲讲根据方程的根的意义，将根据方程的根的意义，将x2直接代入方程的左直接代入方程的左右两边，就可得到以右两边，就可得到以b为未知数的一元一次方程，为未知数的一元一次方程，求解即可求解即可例例7导引：导引：如果如果2是一元二次方程是一元二次方程x2bx20的一个根，的一个根，那么字母那么字母b的值为的值为()A.3B.3C.4D4（来自（来自点拨点拨）B知知3 3讲讲方程的根就是满足方程左右两边相等的未知数方
20、程的根就是满足方程左右两边相等的未知数的值，因此求含有字母系数的一元二次方程中的字的值，因此求含有字母系数的一元二次方程中的字母的值时，只需把已知方程的根代入原方程就可求母的值时，只需把已知方程的根代入原方程就可求岀相关的待定字母的值岀相关的待定字母的值（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知3 3练练1下面哪些数是方程下面哪些数是方程x2x20的根？的根？3，2，1，0，1，2，3（来自（来自教材教材）2(中中考考重重庆庆)一一元元二二次次方方程程x22x0的的根根是是()Ax10，x22Bx11，x22Cx11，x22Dx10，x22（来自（来自典中点典中点）知知3 3练练3(中中考考攀攀枝枝
21、花花)若若x2是是关关于于x的的一一元元二二次次方方程程x2a20的一个根，则的一个根，则a的值为的值为()A1或或4B1或或4C1或或4D1或或4（来自（来自典中点典中点）知知4 4讲讲4知识点知识点利用一元二次方程建立实际问题模型利用一元二次方程建立实际问题模型1一元二次方程模型：一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界一元二次方程是刻画现实世界的的一一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数数量量关系通过设未知数用一元二次方程来表达关系通过设未知数用一元二次方程来表达建立一元二次方程模型的一般步骤：建立一元二次方程模型的一般步骤：(1)审
22、题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的的关系关系；(2)设出合适的未知数，一般设为设出合适的未知数，一般设为x；(3)确定确定等等量量关系；关系；(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时根据等量关系列出一元二次方程，有时要要化为化为一般形式一般形式2常用一元二次方程来建模的问题有：常用一元二次方程来建模的问题有：图形的面积问图形的面积问题题、增长增长(利润利润)率问题、行程问题、工程问题等率问题、行程问题、工程问题等（来自（来自点拨点拨）知知4 4讲讲本题涉及两个基本量：油画的面积与整个挂图的本题涉及两个基本量：油画的面积与整个挂图的面积在油画四周
23、外围镶上宽度为面积在油画四周外围镶上宽度为xcm的边框，的边框，则长与宽都增加了则长与宽都增加了2xcm，面积就可表示为，面积就可表示为(902x)(402x)cm2，再根据油画面积与整个挂，再根据油画面积与整个挂图面积之间的关系可列出方程图面积之间的关系可列出方程例例8导引：导引：小雨在一幅长小雨在一幅长90cm，宽，宽40cm的油画四周外围镶的油画四周外围镶上一条宽度相同的边框，制成一幅挂图并使油画上一条宽度相同的边框，制成一幅挂图并使油画的面积是整个挂图面积的的面积是整个挂图面积的54%，设边框的宽度为，设边框的宽度为xcm，根据题意列出方程，根据题意列出方程（来自（来自点拨点拨）(90
24、2x)(402x)54%9040.解：解：知知4 4讲讲(1)建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根根据据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中中隐含隐含的一些常用关系式的一些常用关系式(如面积公式、体积公式如面积公式、体积公式、利润利润公式等公式等)列出方程列出方程(2)列一元二次方程的一般步骤列一元二次方程的一般步骤：审题，找未知量与已知量；审题，找未知量与已知量；设合适的未知数设合适的未知数；确定等量关系；确定等量关系；列一元二次方程列一元二次方程（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知4 4练练1将将48张
25、桌子排成若干行，且每行的桌子数目相张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多同，已知每一行的桌子数比总行数多2,设这些桌设这些桌子排了子排了x行行，写出排成的行数所满足的方程，并将，写出排成的行数所满足的方程，并将其化为标准形式其化为标准形式.（来自（来自教材教材）知知4 4练练2(中中考考台台州州)有有x支支球球队队参参加加篮篮球球比比赛赛，共共比比赛赛了了45场场，每每两两队队之之间间都都比比赛赛一一场场，则则下下列列方方程程中中符符合合题意的是题意的是()A.x(x1)45B.x(x1)45Cx(x1)45Dx(x1)45（来自（来自典中点典中点）知知4 4练练
26、3(中中考考随随州州)随随州州市市尚尚市市“桃桃花花节节”观观赏赏人人数数逐逐年年增增加加，据据有有关关部部门门统统计计，2014年年约约为为20万万人人次次，2016年年约约为为28.8万万人人次次，设设观观赏赏人人数数年年均均增增长长率率为为x，则下列方程中正确的是，则下列方程中正确的是()A20(12x)28.8B28.8(1x)220C20(1x)228.8D2020(1x)20(1x)228.8（来自（来自典中点典中点）1.一元二次方程一元二次方程的概念的概念.一元二次方程一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活的定义要求的三个条件。要灵活运用运用定义定义判断方程是一元二次方程或由一
27、元二次方程判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来来确定确定一些字母的值及取值范围一些字母的值及取值范围2.一元二次方程一元二次方程的一般形式的一般形式ax2+bx+c=0(a0)和和二次项二次项、二二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念概念.3.一元二次方程根的概念以及一元二次方程根的概念以及作用作用.1.必做必做:完成教材完成教材P21-22习题习题17.1T1-32.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第第1717章章 一元二次方程一元二次方程17.1 17.1 一元二次方程一元二次方程第第2 2课时课时 一元二次方程的相
28、关一元二次方程的相关 概念的应用概念的应用名师点金名师点金巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等问题等1类型利用一元二次方程的定义确定字母的取值利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知已知(m3)x2x1是关于是关于x的一元二次方的一元二次方2.程，则程，则m的取值范围是的取值范围是()3.Am3Bm34.Cm2Dm2且且m3D点拨：点拨：由由题意，题意，得得解
29、解得得m2且且m3.2.已知关于已知关于x的方程的方程(m1)xm21(m2)x10.(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；(2)m取何值时，它是一元一次方程？取何值时，它是一元一次方程？(1)当当时，它是一元二次方程，解得时，它是一元二次方程，解得m1.当当m1时，原方程可化为时，原方程可化为2x2x10.(2)当当或者当或者当m1(m2)0且且m211时，时，它是一元一次方程解得它是一元一次方程解得m1或或m0.故当故当m1或或m0时，它是一元一次方程时，它是一元一次方程解：解：2利用一元二次方程的项的概念求字母的取值利用一元二次方
30、程的项的概念求字母的取值类型3.若一元二次方程若一元二次方程(3a9)x2(2a5)xa60没有常数项，则没有常数项，则a的值为的值为_点拨：点拨：由由题意题意得得解解得得a6.64已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程(m1)x25xm210的常数项为的常数项为0，求，求m的值的值由由题意，题意，得得解解得得m1.解：解：3利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值5.已知关于已知关于x的方程的方程x2bxa0的一个根是的一个根是a(a0)，则则ab的值为的值为()A1B0C1D2类型点拨：点拨：关于关于x的方程的方程x2bxa0的一个根
31、是的一个根是a(a0)，a2aba0.a(ab1)0.a0，ab1.A6.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程(k4)x23xk2160的一个根为的一个根为0，求，求k的值的值把把x0代入代入(k4)x23xk2160，得得k2160，解得，解得k14，k24.k40，k4，k4.解：解：7.已知实数已知实数a是一元二次方程是一元二次方程x22016x10的根，的根，求代数式求代数式a22015a的值的值实数实数a是一元二次方程是一元二次方程x22016x10的根，的根，a22016a10.a212016a，a22016a1.a22015aa22015aa22015aaa22016a
32、1.解：解：4利用一元二次方程根的概念解决探究性问题利用一元二次方程根的概念解决探究性问题8.已知已知m，n是方程是方程x22x10的两个根，是否存的两个根，是否存在实数在实数a使使(7m214ma)(3n26n7)的值等于的值等于8？若存在，求出若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由类型由题意可知由题意可知m22m10，n22n10，(7m214ma)(3n26n7)7(m22m)a3(n22n)7(7a)(37)4(a7)，由由4(a7)8得得a9，故存在满足要求的实数，故存在满足要求的实数a，且，且a的值等于的值等于9.解：解：第第1717章章 一元二次方程一
33、元二次方程17.2 17.2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法第第1 1课时课时 直接开平方法直接开平方法1课堂讲解课堂讲解形如形如x2p(p0)型方程的解法型方程的解法形如形如(mxn)2p(p0)型方程的解法型方程的解法2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升填空：填空：1.4的平方根是的平方根是_；2的平方根是的平方根是_。2.如果如果x24，则，则x_；如果如果x22，则，则x_。1知识点知识点形如形如x2p(p0)型方程的解法型方程的解法1定义：定义：利用利用平方根平方根的意义，直接的意义，直接开平方开平方求一元求一元二二次次方程的解的方法叫做直接开
34、平方法方程的解的方法叫做直接开平方法2直接开平方法求方程的解的方法直接开平方法求方程的解的方法：x2p(p0)x知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)移项，得移项，得x281，于是，于是x9，即即x19，x29.(2)移项，得移项，得4x264，于是，于是x216，所以所以x4，即，即x14，x24.解：解：用直接开平方法解下列方程：用直接开平方法解下列方程：(1)x2810；(2)4x2640；例例1总总 结结知知1 1讲讲用用直接开平方法直接开平方法解一元二次方程时，首先将方解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非程化成
35、左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的意义求解当整理负数的形式，然后根据平方根的意义求解当整理后右边为后右边为0时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）利用直接开平方法得到利用直接开平方法得到，得到方程的两个根，得到方程的两个根互为相反数，故可求出互为相反数，故可求出m的值根据的值根据m的值再求的值再求的值的值x2 (ab0)，方程的两个根互为相反数，方程的两个根互为相反数，m12m40，解得，解得m1，一元二次方程一元二次方程ax2b(ab0)的两个根分别是的两个根分别是2与与2，导引：导引：(
36、济济宁宁)若若一一元元二二次次方方程程ax2b(ab0)的的两两个个根根分分别别是是m1与与2m4，则，则_例例24总总 结结知知1 1讲讲已知某方程为一元二次方程，则此方程必须符已知某方程为一元二次方程，则此方程必须符合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.当二次项系数是待定系数时，当二次项系数是待定系数时，还要考虑二次项系数不等于还要考虑二次项系数不等于0.（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练1直接开平方解下列方程直接开平方解下列方程:(1)x225；(2)x20.810；（来自（来自典中点典中点）
37、2对于方程对于方程x2m1，(1)若方程有两个不相等的实数根，则若方程有两个不相等的实数根，则m_；(2)若方程有两个相等的实数根，则若方程有两个相等的实数根，则m_；(3)若方程无实数根，则若方程无实数根，则m_（来自（来自教材教材）知知1 1练练3一元二次方程一元二次方程4x290的解为的解为()AxBxCx1，x2Dx1，x2（来自（来自典中点典中点）4若方程若方程x2m的解是有理数，则实数的解是有理数，则实数m不能不能取下列四个数中的取下列四个数中的()A1B4C.D.2知识点知识点形如形如(mxn)2p(p0)型方程的解法型方程的解法直接开平方法求方程的解的方法：直接开平方法求方程的
38、解的方法：(1)(xa)2p(p0)x(2)(mxn)2p(p0，m0)x知知2 2讲讲（来自（来自教材教材）(1)x35，于是，于是x18，x22.(2)2y34，于是，于是y1，y2.例例3 用直接开平方法解下列方程：用直接开平方法解下列方程：(1)(x3)225；(2)(2y3)216.知知2 2讲讲解：解：（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总总 结结用用直接开平方法直接开平方法解一元二次方程时，首先将方解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的意义求解当整理负数的
39、形式，然后根据平方根的意义求解当整理后右边为后右边为0时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根1直接开平方解下列方程直接开平方解下列方程:(1)3(x1)248;(2)2(x2)24=0.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2下下列列方方程程中中，适适合合用用直直接接开开平平方方法法解解的的个个数数为为()x21；(x1)23；(x3)22；y2y30；x2x2；3x22x23.A2B3C4D5（来自（来自教材教材）3(中考中考鞍山鞍山)已知已知b0，关于，关于x的的一元二次方程一元二次方程(x1)2b的根的情况是的根的情况是()A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B有两
40、个相等的实数根有两个相等的实数根C没有实数根没有实数根D有两个实数根有两个实数根4一元二次方程一元二次方程(x2)21的根是的根是()Ax3Bx13，x23Cx13，x21Dx11，x23知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）直接开平方法解一元二次方程的直接开平方法解一元二次方程的“三步法三步法”：1.变形：变形：将方程化为含未知数的完全平方式非负常将方程化为含未知数的完全平方式非负常数的形式；数的形式；2.开方：开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；一次方程；3.求解：求解：解一元一次方程，得出方程的根解一元一次方程，得出方程的根1.必
41、做必做:完成教材完成教材P30习题习题17.2T12.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第第1717章章 一元二次方程一元二次方程17.2 17.2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法第第2 2课时课时 配方法配方法1课堂讲解课堂讲解二次三项式的配方二次三项式的配方一元二次方程的配方一元二次方程的配方2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1.某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划计划2017年无公害蔬菜的产量比年无公害蔬菜的产量比2015年翻一番，要年翻一番，要实现这一目标，实现这一
42、目标，2016年和年和2017年无公害蔬菜产量的年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？年平均增长率应是多少？解：解：设无公害蔬菜产量的年增长率为设无公害蔬菜产量的年增长率为x，2015年的年的产产量量为为a，则可得方程：，则可得方程：_2.用直接开平方法解下列方程：用直接开平方法解下列方程：(1)x22(2)3(x1)2751知识点知识点二次三项式的配方二次三项式的配方 配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方两边都加上一次项系数一半的
43、平方(二次项系数必须二次项系数必须为为1)知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲配方就是要配成完全平方，根据完全平方式的结构配方就是要配成完全平方，根据完全平方式的结构特征，当二次项系数为特征，当二次项系数为1时，常数项是一次项系数时，常数项是一次项系数一半的平方一半的平方导引：导引：填空：填空：(1)x210 x_(x_)2；(2)x2(_)x36x(_)2；(3)x24x5(x_)2_例例125512629（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知1 1讲讲(1)当二次项系数为当二次项系数为1时，已知一次项的系数，则时，已知一次项的系数，则常数常数项项为一次项系数一半的平方；已知常数
44、项，则一为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次次项项系数为常数项的平方根的两倍注意有两个系数为常数项的平方根的两倍注意有两个(2)当二次项系数不为当二次项系数不为1时，则先化二次项系数为时，则先化二次项系数为1，然然后后再配方再配方（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲求代数式的最小值，先将代数式配方成求代数式的最小值，先将代数式配方成a(xm)2n的的形式，然后根据完全平方的非负性求代数式的最小值形式，然后根据完全平方的非负性求代数式的最小值导引：导引：当当x取取何何值值时时，代代数数式式2x26x7的的值值最最小小？并并求求出出这这个最小值个最小值例例22x26x72(x23x)7即当即
45、当x时，时，2x26x7的值最小，最小值为的值最小，最小值为.解：解：总总 结结知知1 1讲讲代数式代数式ax2bxc(a0)配方成配方成a(xm)2n后后，若若a0，则当，则当xm时，代数式取最小值时，代数式取最小值n；若；若a0，则则当当xm时，代数式取最大值时，代数式取最大值n.（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练1填空：填空：(1)x28x()2（x)2；(2)y25y()2(y)2；(3)x2x()2(x)2；(4)x2px()2(x)2.（来自（来自教材教材）2(中考中考荆州荆州)将二次三项式将二次三项式x24x5化成化成(xp)2q的形式应为的形式应为_（来自（来自典中点典中点）
46、知知1 1练练3对于对于任意实数任意实数x，多项式，多项式x22x3的值一定是的值一定是()A非负数非负数B正数正数C负数负数D无法确定无法确定4若若x26xm2是一个完全平方式，则是一个完全平方式，则m的值是的值是()A3B3C3D以上都不对以上都不对5若若方程方程4x2(m2)x10的左边是一个完全平的左边是一个完全平方式，则方式，则m等于等于()A2B2或或6C2或或6D2或或6（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点一元二次方程的配方一元二次方程的配方1定义：定义：先对原一元二次方程配方，使它出现完全先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方平方式式后后，再再直接开平方求解的方法，叫做配
47、方法直接开平方求解的方法，叫做配方法2用配方法解一元二次方程的步骤用配方法解一元二次方程的步骤：简言之简言之：一化二移三配四开方，：一化二移三配四开方，即即(1)化：化：将方程化成一般形式；将方程化成一般形式；将二次项系数化为将二次项系数化为1.(2)移：将常数项移到方程的另一边移：将常数项移到方程的另一边(3)配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方方程程变为变为(xm)2n的形式的形式(4)开方：如果开方：如果n为非负数，直接开平方求根为非负数，直接开平方求根知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)移项，得移项，得x24x1.配方，得配方
48、，得x222x_1_,即即(x_)2_.开平方，得开平方，得_.所以原方程的根是所以原方程的根是x1_,x2_.例例3 用配方法解下列方程：用配方法解下列方程：(1)x24x10；(2)2x23x10.知知2 2讲讲解：解：（来自（来自教材教材）(2)先把先把x2的系数变为的系数变为1，即把原方程两边同除以，即把原方程两边同除以2，得得x2x0.移项，得移项，得x2x.下面的过程由你来完成：下面的过程由你来完成：_知知2 2讲讲（来自（来自教材教材）知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总总 结结方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键，将二次
49、项系数化成法的关键，将二次项系数化成1是进行这一关键步骤是进行这一关键步骤的重要前提的重要前提1用配方法解用配方法解下列方程下列方程:(1)x2x10;(2)x23x20；(3)2x25x10;(4)3x26x10.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2用用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同同时时加上加上4的是的是()Ax24x5B2x24x52Cx22x5Dx22x5（来自（来自教材教材）3(中考中考随州随州)用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程x26x40，下列变形正确的是，下列变形正确的是()A(x6)2436B(x6)2436C(
50、x3)249D(x3)249知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）4下列下列用配方法解方程用配方法解方程2x2x60，开始出现，开始出现错错误误的步骤是的步骤是()2x2x6，x2x3，x2x3，ABCD知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）5把把方程方程2x23x10化为化为(xa)2b的形式的形式，正确正确的结果为的结果为()A.BC.D以上都以上都不对不对知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）二次三项式的配方过程与一元二次方程的配方过程二次三项式的配方过程与一元二次方程的配方过程有有两两大区别：大区别：一是二次项系数化为一是二次项系数化为1，二次三项式是提出二次项的系，二次三项式是