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1、弹塑性力学弹塑性力学重庆大学重庆大学 土木工程学院土木工程学院6.1 基本假定对一般应力状态的塑性理论，作以下基本假设：对一般应力状态的塑性理论，作以下基本假设： 忽略时间因素的影响忽略时间因素的影响(蠕变、应力松弛等蠕变、应力松弛等) ； 连续性假设；连续性假设； 静水压力部分只产生弹性的体积变化静水压力部分只产生弹性的体积变化(不影响塑性变形规律不影响塑性变形规律)； 在初次加载时，单向拉伸和压缩的应力在初次加载时，单向拉伸和压缩的应力-应变特性一致；应变特性一致； 材料特性符合材料特性符合Drucker公设公设(只考虑稳定材料只考虑稳定材料)； 变形规律符合均匀应力应变的实验结果。变形规
2、律符合均匀应力应变的实验结果。 1). 单向拉压应力状态的屈服条件单向拉压应力状态的屈服条件6.2 屈服条件的概念s( )0sF(6.1)(6.2) s：屈服应力屈服应力 2). 复杂复杂应力状态的屈服函数应力状态的屈服函数(,)0 xyzxyyzzxF (6.3)()0ijF或者或者: :(6.4)应力空间应力空间、应变空间：应变空间：分别以应力分量和应变分量为坐标轴组成的空间，空间内的任分别以应力分量和应变分量为坐标轴组成的空间，空间内的任一点代表一个应力状态或应变状态。一点代表一个应力状态或应变状态。应力路径应力路径、应变路径：应变路径：应力和应变的变化在相应空间绘出的曲线。应力和应变的
3、变化在相应空间绘出的曲线。屈服面：屈服面：应力空间内各屈服点连接成的，区分弹性和塑性状态的分界面。应力空间内各屈服点连接成的，区分弹性和塑性状态的分界面。引入的概念：引入的概念：6.2 屈服条件的概念3). 屈服条件屈服条件/屈服函数屈服函数( (描述屈服面的数学表达式描述屈服面的数学表达式) )()0ijF：材料处于弹性状态：材料处于弹性状态()0ijF：材料开始屈服进入塑性状态：材料开始屈服进入塑性状态屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用三个主应力三个主应力或或应力不变量应力不变量表示：表示：123(,)0F 123(,)0F J JJ(6.6)(6.7
4、)静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏量应力主偏量应力或或其其不变量不变量表示：表示：各向同性材料各向同性材料:123(,)0F S S S123(,)0F J JJ(6.8)(6.9)23(,)0F JJ10J 由于6.3 屈服曲面一一、主应力空间、主应力空间(6.10)(以主应力以主应力 1, , 2, , 3为坐标轴而构成的应力空间为坐标轴而构成的应力空间)OQNPp p平面平面L直线直线123任一应力状态任一应力状态静水应力矢量静水应力矢量主偏量应力矢量主偏量应力矢量123OPijk 123()sis js kij
5、kOPOQON 主应力空间、主应力空间、 L直线、直线、 p p平面平面与1,2,3轴的夹角相等在主应力空间内，过原点且和三个坐标在主应力空间内，过原点且和三个坐标轴夹角相等的直线。轴夹角相等的直线。方程：方程： 1 2 3L直线：直线：主应力空间内过原点且和主应力空间内过原点且和L直线垂直直线垂直的平面。的平面。方程：方程： 1 2 300p p平面：平面：总在p平面上6.3 屈服曲面一一、主应力空间、主应力空间123OPijk 即直线方程即直线方程1.1.球应力状态或静水应力状态球应力状态或静水应力状态几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：应力偏量
6、为零，即123123mSSS且它的轨迹是经过坐标原点并与l、2、3三坐标轴夹角相同的等倾斜直线2.2.平均应力为零平均应力为零平均应力为零，即m=0，应力偏量Sij不等于零。3.3.应力偏量为常量应力偏量为常量应力偏量为常量，即SlC1，S2C2，S3C3112233mccc轨迹是与等倾线平行但不经过坐标原点的直线在主应力空间中，它的轨迹是一个平面，该平面通过坐标原点并与等倾直线相垂直。6.3 屈服曲面二、屈服曲面二、屈服曲面屈服曲面屈服曲面 F( 1, , 2, , 3)=0：为一平行为一平行L直线的柱面；直线的柱面；屈服曲线屈服曲线 f(J2, , J3)=0 ：屈服曲面与屈服曲面与p p
7、平面的交线平面的交线 对应无静水压力部分的情况。对应无静水压力部分的情况。6.3 屈服曲面三、三、矢量矢量OP在在p p平面上的投影平面上的投影Oyx2q13r30121321321322()()222236xsssssy2222tan/3rxyJy xq坐标轴坐标轴 1， 2， 3在在p p平面上的投影平面上的投影O1、O2、 O3互成互成120120 ；矢量矢量OP在在p p平面上的平面上的x，y坐标值坐标值为：为：矢量矢量OP在在p p平面上的平面上的极坐标值极坐标值为：为：(6.13)(6.14)(6.15)6.3 屈服曲面2212122ij 1112(,0,0)(,)26由于由于12
8、12矢量与矢量与p p平面平行平面平行, ,故故矢量矢量OP在在x,y平面上的平面上的坐标坐标为：为：(6.13)O21312030 x12121212 2212 cos30233O 222(0,0)(0,)33332(0,0,)(,)26 坐标变换：坐标变换：131322()()22xss2132132266sssy6.3 屈服曲面引进极坐标的关系引进极坐标的关系: :可见可见Lode参数为：参数为：(6.14)O21312030 x222213213211()(2)2622rxyJT2131321tan3yxq(6.15)2131323tanq(6.16)6.3 屈服曲面几种典型应力状态在
9、几种典型应力状态在p p平面上的极坐标值：平面上的极坐标值：(6.17)2131233120, , 0, 2 , 0, 021, , 303, 021, , 303oorrr qqq 在纯剪切时：在纯剪切时：在单向拉伸时：在单向拉伸时：在单向压缩时：在单向压缩时：6.3 屈服曲面四四、屈服曲面的特征、屈服曲面的特征AABBCCCC BB AA 纯剪纯拉12330p p平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线(1)、屈服曲线为一屈服曲线为一封闭曲线封闭曲线，原点原点 在曲线内部；在曲线内部；(2)、对各向同性材料，若对各向同性材料，若(S1, , S2, , S3)或或( 1, , 2, , 3)屈服，
10、则各应力屈服，则各应力分量互换也会屈服，故屈服曲分量互换也会屈服，故屈服曲线线关于关于 1,2,3轴均对称轴均对称；(3)、对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，若应力状态若应力状态(S1, , S2, , S3)屈服，则屈服，则( S1, ,S2, , S3)也会屈服，故屈服曲线为也会屈服，故屈服曲线为关于垂直于关于垂直于 1,2,3轴的直线也对称轴的直线也对称。(4)、屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。 为了证明屈服面是外凸曲面，引入Drucker关于材料稳定性假说。根据硬化材料的稳定性形式，可以将材料
11、分为稳定材料（强化材料）和不稳定材料（软化材料）。如果某一种材料，当应力的单调变化会引起应变同号的单调变化，或者当应变的单调变化会引起应力同号的单调变化，就称这种材料为稳定材料，反之，则称为不稳定材料。下图即为材料在简单拉伸下的应力-应变曲线的几种可能形式 ：6.3 屈服曲面 考虑硬化材料中的一个微单元体受某一初始应力作用处于平衡状态，通过“外部机构”在这个微单元体上施加附加应力，然后缓慢地移去，整个过程等温，Drucker做出了如下两个假设： (1)在加载过程中附加应力做正功； (2)在加载和卸载的一个应力循环中，如果产生塑性变形，则附加应力做正功，对于硬化材料，只有当应力循环中材料始终呈纯
12、弹性变形时，这个功才等于零。Drucker公设6.3 屈服曲面 设附加应力为应力增量 dij，由此产生的应变增量是dij，则第一个假设表述为： dijdij0它提供了复杂应力状态下材料硬化的定义。应当指出：这里的功不是总应力的功，而是附加应力的功，如上图(a)，即使在应变软化阶段 dd0，这是热力学定律的要求。因此，从某种意义上说，Drucker公设对材料性质的约束比热力学定律更强。6.3 屈服曲面 如物体某点处的弹性应力状态为0，为屈服点，则在整个应力循环中塑性功(+d-0)p0 若d为无穷小量，则(-0)p0复杂应力状态：单向应力状态：6.3 屈服曲面 整个应力循环总功：dtdtdtwij
13、tttijijtttijijtijT*0ijij0ijijij0ijijij 在屈服面上（即塑性状态区）总变形速度等于弹性变形速度与塑性变形速度之和，即：pijeijij从而dtdtdtweijtttijpijeijtttijeijtijT*06.3 屈服曲面 表示整个应力循环中的弹性功，它必须等于零，故dtdtdtdtwpijtttijeijtttijeijtttijeijtijT*0dtdtpijtttijeijijdteijijdtwpijtttijT 而 ，应力循环是从 开始的（相当于单向应力状态中的 ）。dtwpijtttij000ij06.3 屈服曲面故整个应力循环中塑性功应为:d
14、tdtwwpijtttijpijtttijT00dtpijijtttij)(0而塑性功率（耗能率）应为：0)()(limlim00000pijijijpijijtttijtTttdttww若t0，上式通过Taylor级数展开得：0)(21)(32000tttttwttwtpijijijpijijtpijijijT 6.3 屈服曲面上式表明，屈服面是外凸的。（通过几何解析）6.4 Tresca和Mises屈服条件历史上关于材料进入塑性状态原因的不同假设历史上关于材料进入塑性状态原因的不同假设第一个假设：第一个假设：材料进入塑性状态是由最大主应力引起的，即材料进入塑性状态是由最大主应力引起的，即当
15、最大主应力达到当最大主应力达到 s s时，材料即进入塑性状态。时，材料即进入塑性状态。GalilMo在17世纪时提出在各向相等压缩时压应力可以远远超过屈服极限 s s ，而材料并未进入塑性状态，也未破坏。被实验所推翻被实验所推翻原因：原因：第二个假设：第二个假设：最大的主应变能使材料进入塑性状态最大的主应变能使材料进入塑性状态St-Venant提出被实验所推翻被实验所推翻第三个假设：第三个假设：Beltrami提出当最大弹性能达到一定值时，材料即开始屈服当最大弹性能达到一定值时，材料即开始屈服与实验相抵触与实验相抵触6.4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条
16、件屈服条件认为最大剪应力达到极限值时开始屈服认为最大剪应力达到极限值时开始屈服:max13()/ 2k(6.18)(材料力学的第三强度理论材料力学的第三强度理论)金属材料在屈服时，可以看到接近于最大剪应力方向的细痕纹(滑移线滑移线)，因此塑性变形可以是由于剪切应力所引起的晶体网格的滑移而引起的。1864年，年，Tresca作了一系列的作了一系列的挤压实验挤压实验来研究屈服条件：来研究屈服条件：123()四个强度理论四个强度理论:第一强度理论：第一强度理论：最大拉应力理论最大拉应力理论第二强度理论：第二强度理论：最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论第三强度理论：第三强度理论：最大剪应力理论最大剪
17、应力理论第四强度理论：第四强度理论：形状改变比能理论形状改变比能理论屈服破坏理论屈服破坏理论脆断破坏理论脆断破坏理论6.4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件p p平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线在在p p平面上，式平面上，式(6.18)可表示为：可表示为：12()222xk常量在在 30 q q 30 （即（即 1 2 3) 范围范围内为一平行内为一平行y轴的直线，对称拓展轴的直线，对称拓展后为一后为一正六角形正六角形。 1 2 3123213231321312132xyp p平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线 (正六角形正六角形)6.4 Tres
18、ca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件213p(正六边形柱面正六边形柱面)122331222kkk 主应力空间主应力空间内的屈服条件内的屈服条件:21o 2k 2k2k2k平面应力状态平面应力状态的屈服条件的屈服条件（ 3 300） :1221222kkk (6.19)(6.20)平面应力的平面应力的Tresca屈服线屈服线6.4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件常数常数K值的确定值的确定:(6.23)Tresca屈服条件的完整表达式屈服条件的完整表达式由简单拉伸实验确定：由简单拉伸实验确定：因因 1 s， 2
19、300， 1 3 s，故故由纯剪实验确定：由纯剪实验确定：因因 1 s， 200， 3 s， 故故k s /2 /2 k s s22 s对多数材料只能近似成立对多数材料只能近似成立222222122331()4()4()40(6.24)32224623224()27()36()96640JJJJ(6.25)6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件(6.27)22221223311()()() 6JC Tresca六边形的六个顶六边形的六个顶点由实验得到，但点由实验得到，但顶点顶点间的直线是假设间的直线是假设的。的。Mises指出：指出：用连接用连接p
20、 p平面上的平面上的Tresca六六边形的六个顶点的边形的六个顶点的圆圆来来代代替替原来的原来的六边形六边形，即：，即：Mises屈服条件：屈服条件：(6.26)222rJC 常量213p平面Mises屈服面屈服面考虑(6.14)式6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件常数常数C的确定：的确定：(6.28)由简单拉伸实验确定：由简单拉伸实验确定：因因 1 s， 2 300， 1 3 s，故故由纯剪实验确定：由纯剪实验确定：因因 1 s， 200， 3 s， 故故C J2 s2 2/3 /3C J2 s2 2对多数材料符合较好对多数材料符合较好3SS
21、6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件两种屈服条件的关系：两种屈服条件的关系：(6.29)123TrescaTrescaMises圆纯剪纯剪单向拉伸单向拉伸Tresca和和Mises屈服线屈服线若规定若规定简单拉伸简单拉伸时时两种屈服条两种屈服条件重合件重合，则，则Tresca六边形内接六边形内接于于Mises圆，且圆，且若规定若规定纯剪纯剪时时两种屈服条件重两种屈服条件重合合，则，则Tresca六边形外接于六边形外接于Mises圆，且圆，且22max3() (Tresca)ssJMises 或(6.30)22max()3 (Tresca)2sss
22、JMises 或6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件两种屈服条件的关系：两种屈服条件的关系：(6.31)1s2sO平面应力问题的平面应力问题的Tresca和和Mises屈服线屈服线 （主应力平面上）（主应力平面上）在主应力空间中，在主应力空间中，Mises屈服面屈服面将是圆柱面，在将是圆柱面，在 3=0的平面应的平面应力情形力情形,Mises屈服条件可写成屈服条件可写成:2221122s Tresca屈服条件内接于屈服条件内接于Mises圆圆从Mises屈服条件可以看出，静水压力状态并不影响材料屈服，而且满足互换原则，因此与实验相符。6.5 Tr
23、esca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较单向拉伸单向拉伸: :(6.36)12Tresca Tresca 条件条件: :Tresca屈服条件：屈服条件：是基于某种是基于某种韧性金属韧性金属的最大剪应力达到一定值的最大剪应力达到一定值时，材料开始进入塑性状态，也就是说时，材料开始进入塑性状态，也就是说只有最大和最小的主应力对屈服只有最大和最小的主应力对屈服有影响有影响，忽略了中间主应力对屈服的影响。，忽略了中间主应力对屈服的影响。1230,0(6.37)T纯剪切纯剪切: :(6.38)121()2TTresca Tresca 条件条件: :123,0 (
24、6.39)T简单拉伸和纯剪时最大剪应力为同样同样的数值6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较单向拉伸单向拉伸: :(6.41)13CMises Mises 屈服条件屈服条件: :1230,0(6.40)2JC纯剪切纯剪切: :(6.43)12C 123,0 (6.44)121()2MC2221223311()()()6C基于某种金属屈服时基于某种金属屈服时32MC(6.42)简单拉伸和纯剪时最大剪应力的数值不同不同6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较单向拉伸单向拉伸: :(6.41
25、)3SC1230,0纯剪时比较两个剪应力纯剪时比较两个剪应力: :(6.47)两个条件的计算结果相差不大两个条件的计算结果相差不大2sTresca Tresca 条件条件: :12TS1s2S(6.45)Mises Mises 条件条件: :3SMC3SC(6.46)21.1553MTC6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较纯剪时纯剪时122S 1/s1 22/s1O111231312131223按最大剪切应力条件计算按最大剪切应力条件计算: :123S 按形变能量条件计算按形变能量条件计算: :Mises条件与条件与Tresca条件的比
26、较条件的比较30:6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较二、屈服曲面的比较二、屈服曲面的比较23SR垂直于轴线的平面与屈服面相交垂直于轴线的平面与屈服面相交: :Mises条件与条件与Tresca条件的比较条件的比较(6.48)231TrescaMiseshRO正六边形正六边形3sin602hR 322ShR21.153RhTrescaTresca条件是正六边形条件是正六边形: :6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较11 22OEFABCDG2G1H1H21 2S3S/ 2S3S2S23SSS23S23S平面应力状态塑性条件的图形表示平面应力状态塑性条件的图形表示30:B点和
27、点和E点：点：表示二向等拉或等压表示二向等拉或等压的应力状态的应力状态A、C 、D 、F点：点：表示单向应力状态表示单向应力状态122S 按最大剪切应力条件计算按最大剪切应力条件计算: :123S 按形变能量条件计算按形变能量条件计算: :二、屈服曲面的比较二、屈服曲面的比较6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用PPpp2222122331()()()2S设圆筒壁厚为设圆筒壁厚为t, 平均半径为平均半径为r。 tr1322131313()22()2Lode参数参数:Mises屈服条件屈服条件:(6.49)6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁
28、圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用1313222Mises屈服条件屈服条件:(6.50)131313131211322221()2131313132331322221()2从从Lode参数可得参数可得:(6.51)(6.52)6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用222222131331(1)(1)()()()244S(6.53)代入代入Mises条件条件222213(1)(1)() 1244S222133() ()22S21324()3S13223SMises屈服条件屈服条件:6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉
29、力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用(6.54)131STresca屈服条件屈服条件:12313SMises屈服条件表示一条抛物线；屈服条件表示一条抛物线；Tresca屈服条件表示平行横坐标屈服条件表示平行横坐标的直线的直线实验证明实验证明Mises屈服条件屈服条件有较好的正确性有较好的正确性6.6 屈服条件的实验验证二、二、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和扭矩和扭矩M作用作用PPzqzqMM设圆筒壁厚为设圆筒壁厚为t,平平均半径为均半径为a。 ta2,022ZzrPMrtr tqqpp2212223(),022()22ZZzZZzqq应力应力:(6.55)主应力主应力:(6.56)6
30、.6 屈服条件的实验验证二、二、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和扭矩和扭矩M作用作用(6.57)(6.58)22221(26)63szzJqMises屈服条件屈服条件:2223zzsqTresca屈服条件屈服条件:2213max14222szZq2224zzsq/,/zszsq 22312241Mises屈服条件屈服条件:Tresca屈服条件屈服条件:(6.59)(6.60)6.6 屈服条件的实验验证二、二、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和扭矩和扭矩M作用作用实验结果及与两种屈服条件的比较实验结果及与两种屈服条件的比较: :1OTrescaMises/ZSq/ZS1312实验结果更接近实验结果
31、更接近于于Mises屈服条件屈服条件简单拉伸时两个简单拉伸时两个屈服条件重合屈服条件重合纯剪切时两个屈纯剪切时两个屈服条件相差最大服条件相差最大6.6 屈服条件的实验验证三、应力应变关系的实验验证三、应力应变关系的实验验证0.20.4 0.60.8+1-1O+1 复杂应力状态下如何考虑应力复杂应力状态下如何考虑应力分量与应变分量的关系？分量与应变分量的关系？考虑应力应变的考虑应力应变的LodeLode参数参数213132213132应力应力Mohr圆和应圆和应变变Mohr圆相似圆相似由左图相似性可得：由左图相似性可得：应力主轴和应应力主轴和应变主轴一致变主轴一致6.6 屈服条件的实验验证例题：
32、例题：薄壁圆筒受拉力薄壁圆筒受拉力P和扭矩和扭矩M的作用，写出该情况的的作用，写出该情况的Tresca和和Mises屈服条件。屈服条件。若已知若已知r=50mm，t=3mm， s=400MPa，P=150kN， M=9kNm，试分别用两种屈服条件判断圆筒是否进入屈服状态。试分别用两种屈服条件判断圆筒是否进入屈服状态。解：解：622150 10005009 10600;2250322503ZZPMrtr tqpppppp先求应力：先求应力：用用Tresca屈服条件判断：屈服条件判断：22222245006004()4()4001.123 100zzsqpp用用Mises屈服条件判断：屈服条件判断
33、：22222245006003()3()4002.524 100zzsqpp 屈服屈服未屈服未屈服6.7 加载条件和加载曲面应力强化：应力强化：交叉效应：交叉效应：加载条件：加载条件：加载曲面：加载曲面：在简单拉压时，经过塑性变形后，屈服应力提高的现象在简单拉压时，经过塑性变形后，屈服应力提高的现象拉伸塑性变形，使压缩屈服应力降低拉伸塑性变形，使压缩屈服应力降低(Bauschinger(Bauschinger效效应应),),并且还影响剪切屈服应力等的现象。并且还影响剪切屈服应力等的现象。材料经过初次屈服后，后继的屈服条件将与初始条件不材料经过初次屈服后，后继的屈服条件将与初始条件不同。这种发生
34、变化了的后继屈服条件称为加载条件。同。这种发生变化了的后继屈服条件称为加载条件。应力空间内与加载条件对应的曲面应力空间内与加载条件对应的曲面概念：概念：进一步发生塑性变形的条件：进一步发生塑性变形的条件：()()ijijf 理想塑性材料：理想塑性材料：(,)0pijijK 加载面加载面屈服面屈服面加载面还依赖于塑性应变的过程。即它与此刻的ijp状态有关，还依赖于整个应变历史(K)。因此，一般加载面一般加载面为：(6.62)6.7 加载条件和加载曲面一一、等向强化模型等向强化模型()pd(6.65)单向拉压情况：单向拉压情况：()p (0)S()pKd0K()0ijfK令令: :(6.63)(6
35、.64)复杂应力状态：复杂应力状态：假定加载面就是屈服面做相似扩大假定加载面就是屈服面做相似扩大应变历史及强化程度的参数应变历史及强化程度的参数6.7 加载条件和加载曲面一一、等向强化模型等向强化模型()pKd在在Mises屈服条件下：屈服条件下：0K(6.66)2;3pppijijddd(0)S()0pd()pKFdWppijijdWd等效塑性应变增量等效塑性应变增量按按(1.54)式式(6.67)加载面为加载面为(6.68)退化到一维时与退化到一维时与(6.64)一致一致表示成依赖于塑性功的参数：表示成依赖于塑性功的参数：(6.69)6.7 加载条件和加载曲面二、随动二、随动强化模型强化模
36、型0ppSScc(6.70)0Sf推广到复杂应力状态推广到复杂应力状态屈服条件屈服条件:pc用代替()0pijijfc(6.71)()0ijf表示屈服条件表示屈服条件在在Mises屈服条件下：屈服条件下：3()()()02pppijijSijijijijScscsc (6.72)可根据简单拉伸试验来定可根据简单拉伸试验来定6.7 加载条件和加载曲面二、随动二、随动强化模型强化模型3()()()02pppijijSijijijijScscsc (6.72)在简单拉伸下：在简单拉伸下：123123211,332pppppsss 32pSc式式(6.72)pSH/pHdd23cH对于线性强化材料对于
37、线性强化材料(6.73)6.7 加载条件和加载曲面二、随动二、随动强化模型强化模型123AOO-112初始屈服面初始屈服面一次二次三次后后继继屈屈服服面面两种强化形式两种强化形式Ivey的拉扭实验结果的拉扭实验结果6.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件一、一、Mohr-Coulomb屈服条件屈服条件tannnC(6.74)粘聚力粘聚力内摩擦角内摩擦角岩石和土质破裂面上的剪应力岩石和土质破裂面上的剪应力破裂面上破裂面上的正应力的正应力nn3O1C131()cos2n131311()()sin22n由左图得由左图得:123131311(,)()()sincos02
38、2fC (6.75)代入代入(6.74)6.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件一、一、Mohr-Coulomb屈服条件屈服条件静水应力对屈服条件的影响静水应力对屈服条件的影响123131311(,)()()sincos022fC (6.75)1231311311(,)() ()22fF 231EODCBAFxy静水应力静水应力( ( 1 1+ + 2 2)/2)/2的函数的函数p p平面上的平面上的Mohr-CoulombMohr-Coulomb屈服条件屈服条件123131311( ,)()()sin22cos0f s s sssssC在在p p平面上可表示为
39、平面上可表示为: :6.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件一、一、Mohr-Coulomb屈服条件屈服条件(6.76)231EODCBAFxy132()2xss2131323()66sssssysincos26xCy若若 1 1 2 2 3 3，则求出的图形对应于，则求出的图形对应于3030 qq 3030 6.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件二、二、Drucker-Prager屈服准则屈服准则(6.77)1/212()0fJJ在一般应力状态下，考虑到静水压力影响的最简单推广在一般应力状态下，考虑到静水压力影响的最简单推广形式是形式是Mises条件上加一个静水压力因子。条件上加一个静水压力因子。312O312Op p平面平面主应力空间主应力空间6.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件三、三、Mohr-Coulomb和和Drucker-Prager屈服条件的关系屈服条件的关系p p平面平面主应力空间主应力空间312OABCDEFDruck-PragerDruck-PragerMohr-CoulombMohr-Coulomb312OCctgDruck-PragerDruck-Prager