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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB是的直径，点C是上半圆的中点，点P是下半圆上一点（不与点A，B重合），AD平分交PC于点D，则
2、PD的最大值为（ ）A B C D2、如图，中，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点若长为4，则线段长的最小值为（ ）ABCD3、如图，正方形ABCD中，AB6，E为AB的中点，将ADE沿DE翻折得到FDE，延长EF交BC于G，FHBC，垂足为H，连接BF、DG以下结论：BFED；DFGDCG；FHBEAD；tanGEB；其中正确的个数是（ ）A4B3C2D14、如图，在ABC中，C=90，BC=5，AC=12，则tanB等于（ ）ABCD5、如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为如果在坡度为的山坡上种植树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）ABCD6、如
3、图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为，此时飞机的高度AC为a，则A，B的距离为（ ）AatanBCDcos7、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的垂面距离为（）A4mB8mC2mD1m8、如图，在中，点D为AB边的中点，连接CD，若，则的值为（ ）ABCD9、一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米AB3CD以上的答案都不对10、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan的值是（ ）A12B43C35D45第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题
4、，每小题4分，共计20分）1、如图, 在 中, 是斜边 上的中线, 点 是直线 左侧一点, 联结 , 若 , 则 的值为_2、cos30的相反数是 _3、如图，AB是半圆O的直径，AB4，点C，D在半圆上，OCAB，点P是OC上的一个动点，则BPDP的最小值为_4、第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区，登陆时强度为台风级，中心最大风速38米/秒此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A处看烟花S在船的北偏东15方向，航行40分钟后到达B处，在B处看烟花S在船的北偏东45方向（1）此时A到B的距离是 _；（2）该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为
5、_（提示：sin15）5、如图，中，点D、点E分别在AB、AC上，连接CD、ED，则_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：8cos60（3.14）0|4|（1）20212、如图，在ABC中，B30，BC40cm，过点A作ADBC，垂足为D，ACD75（1）求点C到AB的距离；（2）求线段AD的长度3、在O中，四边形ABCD是平行四边形（1）求证：BA是O的切线；（2）若AB6，求O的半径；求图中阴影部分的面积4、如图，某学校新建了一座雕塑CD，小林站在距离雕塑3.5米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为60，看雕塑底部C的仰角为45，求雕塑CD的高度（最后结果精确到0.1米，参
6、考数据：）5、如图, 在 中， 点 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，则 _-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据点C是半圆的中点，得到AC= BC，直径所对的圆周角是90得到ACB=90，同弧所对圆周角相等得到APC=ABC=45，AD平分PAB得到 BAD = DAP，结合外角的性质可证CAD = CDA，由线段的和差解得PD=P-CD=P-1，由此可知当CP为直径时，PD最大，最后根据三角函数可得答案【详解】解：点C是半圆的中点， AC= BCAB是直径ACB=90CAB = CBA= 45同弧所对圆周角相等APC=ABC=45AD平分PAB BA
7、D = DAPCDA= DAP+ APC = 45+ DAPCAD= CAB+BAD = 45+ BADCAD = CDAAC=CD=1PD=P-CD=P-1当CP为直径时，PD最大RtABC中，ACB = 90，CAB = 45， CP的最大值是 PD的最大值是 -1，故选：A【点睛】本题考查了同弧所对圆周角相等、直径所对的圆周角是90、角平分线的性质、三角形外角的性质、三角函数的知识，做题的关键是熟练掌握相关的知识点，灵活综合的运用2、D【分析】如图，连接 由为直径，证明在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解，即可得到答案.【详解】解
8、：如图，连接 由为直径， 在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小， ， 故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.3、A【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可【详解】解：正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，A=C=ABC=90ADE沿DE翻折得到FDEAED=FED，AD=FD=6，AE=EF=3，A=DFE=90，BE=EF=3，DFG=C=90，EBF=EFB，AED+FED=EBF+E
9、FB，DEF=EFB，BFED，故结论正确；AD=DF=DC=6，DFG=C=90，DG=DG，RtDFGRtDCG，结论正确；FHBC，ABC=90ABFH，FHB=A=90EBF=BFH=AED，FHBEAD，结论正确；RtDFGRtDCG，FG=CG，设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x，在RtBEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，BG=4，tanGEB=，故结论正确故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强4、B【分析】根据锐角三角函数求解即
10、可【详解】解：在RtABC中，C90，BC5，AC12，所以tanB，故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键5、A【分析】根据坡度为0.5，即可求出相邻两棵树的垂直距离为2m，根据勾股定理即可求出相邻两树间的坡面距离【详解】解：坡度i= ，相邻两棵树的垂直距离为40.5=2m，相邻两树间的坡面距离约为故选：A【点睛】本题考查了坡度的定义，解直角三角形的应用，熟知坡度的定义“坡度=垂直距离：水平距离”是解题关键6、C【分析】根据题意可知，根据，即可求得【详解】解：飞机于空中A处测得目标B处的俯角为，AC为
11、a，故选C【点睛】本题考查了正弦的应用，俯角的意义，掌握正弦的概念是解题的关键7、C【分析】根据坡度的概念求出AC，得到答案【详解】解：如图，AB的坡度为1：2，即，解得，AC=2，故选：C【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键8、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案【详解】解：在ABC中，ACB90，点D为AB边的中点，ADBDCDAB，,又CD3，AB6，故选：D【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提9、B【分析】根据坡度
12、即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解；【详解】坡比在实际问题中的应用解：坡度为1：7，设坡角是，则sin=，上升的高度是：30米故选B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确分析计算是解题的关键10、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中ACB=90，AC=2，BC=4，tan=ACBC=24=12，故选A【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义二、填空题1、【解析】【分析】先证明，则，进而证明，据求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：是斜边 上的中线， 即又又又设，
13、则故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明是解题的关键2、#【解析】【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数【详解】解：cos30=，所以其相反数为故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念3、【解析】【分析】如图，连接AD，PA，PD，OD首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PAAD，求出AD即可解决问题【详解】解：如图，连接AD，PA，PD，ODOCAB，OA=OB，PA=PB，
14、COB=90，DOB=90=60，OD=OB，OBD是等边三角形，ABD=60AB是直径，ADB=90，AD=ABsinABD=2，PB+PD=PA+PDAD，PD+PB2，PD+PB的最小值为2，故答案为：2【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题4、 18 nmile nmile# nmile【解析】【分析】如图，过作于 先由路程等于速度乘以时间求解 再利用sin15求解 再设 而 再利用建立方程，再解方程，从而可得答案.【详解】解：如图，过作于 由题意可得： 设 则 设 而 解得： 经检验符合题意；所以：该船航行过程中距离
15、烟花S中心的最近距离为： nmile.故答案为：18 nmile， nmile.【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用的值求解是解本题的关键.5、【解析】【分析】如图，过作于 过作于 作于 证明四边形为矩形，再求解 证明 设 则 再表示 利用列方程，再解方程可得答案.【详解】解：如图，过作于 过作于 作于 四边形为矩形， 设 则 由 同理： 解得： 故答案为：【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的运用“锐角三角函数建立方程”是解本题的关键.三、解答题1、【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值、0指数、绝对值
16、和乘方，再加减即可【详解】解：8cos60（3.14）0|4|（1）2021=【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，准确计算0指数、绝对值和乘方2、（1）20cm；（2）【解析】【分析】（1）过C点作CHAB于H，如图，在RtBCH中，利用含30的直角三角形三边的关系易得CHBC20；（2）在RtBCD中利用含30的直角三角形三边的关系可得CH20，BHCH20，再利用三角形外角性质计算出BAC45，则ACH为等腰直角三角形，所以AHCH20，然后利用面积法求AD【详解】解：（1）过C点作CHAB于H，如图，在RtBCH中，B30，CHB
17、C4020cm，即点C到AB的距离为20cm；（2）在RtBCH中，B30，CH20cm，BHCH20cm，ACDB+BAC，BAC753045，ACH为等腰直角三角形，AHCH20cm，AB(20+20)cm，ADBCCHAB，AD(10+10)cm【点睛】本题主要考查了含30直角三角形的性质 、解直角三角形、三角形的外角以及三角形的面积等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键3、（1）证明见解析；（2），【解析】【分析】（1）连接AO，由，四边形ABCD是平行四边形，即得推得为等边三角形，即可得BAO=BAC+CAO=90，即BA是O的切线（2）由（1）有A0=将阴影面积
18、拆为相等的两部分，其中左侧部分为扇形ACO面积减去三角形ACO面积，由扇形面积公式，等边三角形面积公式计算后乘2即可【详解】（1）证明：连接OA四边形ABCD是平行四边形AD/BEADC=DCO又ACD=ADCACO=ACD +DCO=2ADC又2ADC=AO=AC又OC=AO为等边三角形ACO=CAO=60，ACD =DCO=30又AB/CDBAC=ACD=30BAO=BAC+CAO=30+60=90BA是O的切线（2）由（1）可知BAO=90，BOA=60AO=连接AO，与CD交于点MAC=，OAC=60CM=AO=，AOC=60【点睛】本题是一道圆内的综合问题，考察了证明某线是切线、平行
19、四边形性质、等弧的性质、解直角三角形、等边三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等，需熟练掌握这些性质及定理，而作出正确的辅助线是解题的关键4、米【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形、，再利用其公共边求得、，再根据计算即可求出答案【详解】解：在中，米，在中，米，则米故塑像的高度大约为米【点睛】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是要先将实际问题抽象成数学模型分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系5、#【解析】【分析】过点作于点，设，则，解直角三角形即可求得，即的值【详解】解：如图，过点作于点在 中，是等腰直角三角形=设，则，沿着直线翻折，点落在边上，记为点，在中，即解得故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键