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1、第1讲空间几何体【高考考情解读】柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其基本性质虽然没有单独考查，但作为立体几何最基本的要素是融入在解答题中考查的，它是立体几何的基本对于立体几何表面积和体积考查要求不高，一般以填空题为主1 棱柱、棱锥、棱台(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底
2、面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形(3)正棱台的性质侧面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2 圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台(2)圆柱、圆
3、锥、圆台的性质轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆3 球(1)球面与球的概念半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所成的曲面叫做球面以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球半圆的圆心叫做球的球心(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为d.4 空间几何体的两组常用公式(不要求记忆)(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径)(
4、2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V台(SS)h；V球R3.考点一几何体的表面积例1如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积 由题意，可知A在平面ABC内的射影D在BAC的角平分线上，从而可证得四边形BCCB是矩形解如图，过A作AD平面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F，连结AE，AF，AD.则由AAEAAF，AAAA，得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，而AABB，BC
5、BB，四边形BCCB是矩形，斜三棱柱的侧面积为2absin 45ab(1)ab.又斜三棱柱的底面积为2a2a2，斜三棱柱的表面积为(1)aba2. 此题构作辅助线的方法具有典型意义，记住这种作法，对解这一类问题有较大的帮助 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积解(1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D13，OD6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，
6、D1D (cm)(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336) (cm2)，S表S侧S上S下3262 (cm2)故三棱台斜高为 cm，侧面积为 cm2，表面积为 cm2.考点二几何体的体积例2如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求四面体BB1DE的体积解方法一取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体BB1EDV锥B1DEFV锥BDEFB1FSDEFBFSDEFBB1SDEFa2a3.方法二取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体BB1DE2V锥B1DEF2V锥B1ABC2a3a3.方法三设A、D两点
7、到平面BCC1B1的距离分别为h、h，则hha.V锥DBB1EhSBB1EhS正方形BB1C1Caa2a3. 计算体积要注意几何体的割补，棱锥的性质以及选择适当的底面求出对应的高 (1)(2013江苏)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.(2)(2012山东)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_答案(1)124(2)解析(1)设三棱锥FADE的高为h，则.(2)利用三棱锥的体积公式直接求解VD1
8、EDFVFDD1ESD1DEAB111.考点三多面体与球例3直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_ (1)先求截面圆ABC的半径r；(2)再求三棱柱外接球的半径答案20解析在ABC中，由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcos 1204422212，BC2.由正弦定理知ABC的外接圆半径r满足2r，r2.由题意知球心到平面ABC的距离为1，设球的半径为R，则R，S球4R220. 对于多面体与球的问题，考查比较多的是多面体和它的外接球问题破解这类问题的核心是找准截面，建立球半径与多面体棱之间的联系 已知矩形ABCD的顶点都在半径
9、为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_答案8解析依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连结AC，取AC中点O，连结OO.易知AC4，故AO2.在RtOAO中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.考点四空间几何体的折叠问题例4如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为_ 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角
10、形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可答案解析如图，取BD的中点E，BC的中点O，连结AE，OD，EO，AO.由题意，知ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，AEBD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V()3. 解决折叠问题的关键是搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变的，然后根据翻折前后图形及数量关系的变化，借助立体与平面几何知识，即可求解 如图，把边长为2的
11、正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC.(1)求证：面ABEF面BCDE；(2)求五面体ABCDEF的体积(1)证明设原正六边形中，ACBEO，DFBEO，由正六边形的几何性质可知OAOC，ACBE，DFBE.在五面体ABCDEF中，OA2OC26AC2，OAOC，又OAOB，OA面BCDE.OA面ABEF，面ABEF面BCDE.(2)解由BEOA，BEOC知BE面AOC，同理BE面FOD，面AOC面FOD，故AOCFOD是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥BAOC和EFOD为大小相同的三棱锥，VABCDEF2VBAOCVAOCFOD2()21()224.1 在理解棱柱、棱锥的概念基础
12、上，掌握棱柱、棱锥的结构特征：熟记特殊棱柱、棱锥的有关性质；能够把棱柱、棱锥的有关元素放在对角面、侧面等平面图形中去研究，突出化归的数学思想方法2 长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2R；(2)棱长为a的正方体的体对角线等于外接球的直径，即a2R.3 求与球有关组合体表面积、体积等问题时，常常把球中的问题，转化成相应的轴截面来处理，有时还要利用圆的有关性质、正弦定理和余弦定理来解决球的问题4 一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方
13、法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解).1 在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为_答案解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长据题意解得长方体的对角线长为，三棱锥外接球的半径为.三棱锥外接球的体积为V()3.2 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE
14、，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_答案解析如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连结DM，CN，可证得DMEF，CNEF，多面体ABCDEF分别为三部分，多面体的体积为VABCDEFVAMDBNCVEAMDVFBNC.NF，BF1，BN.作NH垂直BC于点H，则H为BC的中点，则NH.SBNCBCNH1.VFBNCSBNCNF，VEAMDVFBNC，VAMDBNCSBNCMN.VABCDEF.(推荐时间：60分钟)一、填空题1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_答案56解析长方体
15、外接球直接2R，R，球的表面积S4R24()256.2 (2012江苏)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_ cm3.答案6解析关键是求出四棱锥ABB1D1D的高连结AC交BD于O，在长方体中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥ABB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VABB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)3 如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱
16、被截后剩下的部分的体积是_答案解析这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式，根据对称性可以把它补成一个高是ab的圆柱，这个圆柱的体积是所求的几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是.4 若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_答案解析设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则h，圆锥的体积V.5 如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为_答案29 cm解析设简单几何体的
17、总高度为x cm，根据图(2)，(3)没有液体部分体积相等得(x20)12(x28)32，x29.6 已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于_答案16解析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是42216.7 如图所示， 在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，形成的三棱锥
18、的外接球的体积为_答案解析由已知条件知，平面图形中AEEBBCCDDADEEC1.折叠后得到一个正四面体方法一作AF平面DEC，垂足为F，F即为DEC的中心取EC的中点G，连结DG、AG，过球心O作OH平面AEC.则垂足H为AEC的中心外接球半径可利用OHAGFA求得AG，AF，AH，在AFG和AHO中，根据三角形相似可知，OA.外接球体积为OA3.方法二如图所示，把正四面体放在正方体中，显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球正四面体的棱长为1，正方体的棱长为，外接球直径2R，R，V.8 如图所示，已知在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面
19、ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为_答案4解析方法一(分割法)如图所示，过点C作CHDG于点H，连结EH，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEHABC和一个斜三棱柱BEFCHG.于是所求几何体的体积为VSDEHADSBEFDE224.方法二(补形法)如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半于是所求几何体为V234.9 已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC45，则棱锥SABC的体积为_答案解析如图所示，由题意知，在棱锥SABC中，SAC，SBC都是等腰直角三角形，其中AB2，SC4，SAACSBB
20、C2.取SC的中点D，易证SC垂直于面ABD，因此棱锥SABC的体积为两个棱锥SABD和CABD的体积和，所以棱锥SABC的体积VSCSADB4.10已知正方形ABCD的边长为2，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如右图所示的三棱锥BACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BNCM.设BNx，则三棱锥NAMC的体积的最大值为_答案解析由平面ABC平面ACD，且O为AC的中点，可知BO平面ACD，易知BO2，故三棱锥NAMC的高为ON2x，AMC的面积为MCACsin 45x，故三棱锥NAMC的体积为Vf(x)(2x)x(x22x)(0
21、x2)，x1时，Vmax.二、解答题11(2012江西)如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，E、F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积(1)证明因为DEEF，CFEF，所以四边形CDEF为矩形由GD5，DE4，得GE3.由GC4，CF4，得FG4，所以EF5.在EFG中，有EF2GE2FG2，所以EGGF.又因为CFEF，CFFG，所以CF平面EFG.所以CFEG，所以EG平面CFG.又EG平面DEG，所
22、以平面DEG平面CFG.(2)解如图，在平面EGF中，过点G作GHEF于点H，则GH.因为平面CDEF平面EFG，所以GH平面CDEF，所以V多面体CDEFGS矩形CDEFGH16.12如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点(1)求三棱锥APDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解(1)因为PD平面ABCD，所以PDAD.又因ABCD是矩形，所以ADCD.因PDCDD，所以AD平面PCD，所以AD是三棱锥APDE的高因为E为PC的中点，且PDDC4，所以SPDESPDC
23、4.又AD2，所以VAPDEADSPDE24.(2)取AC中点M，连结EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EMPA.又因为EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA平面EDM.所以AMAC.即在AC边上存在一点M，使得PA平面EDM，AM的长为.13如图，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与P重合)，使得PEB30.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB的体积(1)证明EFBC且BCAB，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPEE，EF平面PBE，又PB平面PBE，EFPB.(2)解设BEx，PEy，则xy4.SPEBBEPEsinPEBxy21.当且仅当xy2时，SPEB的面积最大此时，BEPE2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于O，则PO平面EFCB.即PO为四棱锥PEFCB的高又POPEsin 3021.SEFCB(24)26.VPBCFE612.15