《2022年求函数极限的方法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年求函数极限的方法 .pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 求函数极限的方法1.1 函数极限的定义定义1 设f为定义在,a上的函数，A为定数若对任给的0，存在正整数Ma，使得当xM时有fxA，则称函数f当x趋于时以A为极限记作：limxfxA或fxA x定义 2设函数f在点0 x的某个空心邻域00;Ux内有定义，A为定数，若对任给的0，存在正数，使得当00 xx时有fxA，则称函数f当x趋于0 x时以A为极限记作：0limxxfxA或0fxAxx定义 3 设函数f在00;Ux（或00;Ux）内有定义，A为定数若对任给0的，存在正数，使得当时00 xxx（或00 xxx）有fxA，则称数A为函数f当x趋于0 x（或0 x）时的右（左）极限记作：00l
2、imlimxxxxfxAfxA或00fxAxxfxAxx函数极限的性质性质 1（唯一性）若极限0limxxfx存在，则此极限是唯一的性质 2（局部有界性）若0limxxfx存在，则f在0 x的某空心邻域00Ux内有界性质 3（局部保号性）若0lim0 xxfxA（或0） ，则对任何正数rA（或rA） ，存在00Ux，使得对一切ooxUx有0fxr（或0fxr） 性 质 4（保 不等式 性）设0limxxfx与0limxxgx都存在 ，且在 某邻 域00;Ux内有fxgx，则00limlimxxxxfxgx性 质5 （ 迫 敛 性 ） 设00limlimxxxxfxgxA， 且 在 某 邻 域0
3、0;Ux内 有fxhxgx，则0limxxhxA性质 6 （四则运算法则） 若极限0limxxfx与0limxxgx都存在， 则函数fg，fg，当0 xx时极限也存在，且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 1. 000limlimlimxxxxxxfxgxfxgx；2. 000limlimlimxxxxxxfxgxfxgx；又若0lim0 xxgx，则fg当0 xx时极限存在，且有3. 000limlimlimx
4、xxxxxfxfxgxgx.求函数极限的若干方法2.1 利用定义求极限例证明211lim212xxxx分析当1x时，10 x，故211122xxxxx，于是有23111332212222xxxxxxxxx，取112，当101x时1322x，故有122x，从而有21212xxx61x，取26即可证明对于0，取1m in,26，于是当01x时，有2126112xxxx，由定义知211lim212xxxx成立注函数fx在点0 x处是否有极限，与函数fx在点0 x处是否有定义无关2.2 利用函数的连续性求极限例 2 求4limtanxxx解43l i mt a nt a n444xxx名师资料总结 -
5、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数tanfxxx在4x处连续，所以可把4x直接代入求极限若以后遇到此类函数可用此方法求其极限2.3 利用两个重要极限求极限首先给出两个重要极限的一般形式（1）0sinlim1xxx； （2）1lim1xxex例 3求极限sinsinlimxaxaxa解c o ss i ns i ns i ns i n222c o s222xaxaxaxaxaxaxaxa，
6、于是有sinsinsin2limlim cos22xaxaxaxaxaxaxas i n2l i mc o sl i m22xaxaxaxaxac o sa先利用和差化积对函数进行转化，要使用0sinlim1xxx，必须使函数中出现此类型的式子，如当xa时02xa，此时sin2lim12xaxaxa，再进行求解例 4求极限10lim1xxx（为给定实数）解1100lim1lim1xxxxxxe在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再使用如101lim1lim1xyxyyex，此题就是利用这种变形求解的在以后的求函数极限的问题中可灵活运用2.4 利用四则运算法则求极
7、限名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 对和、差、 积、 商形式的函数求极限， 自然会想到极限四则运算法则， 法则本身很简单 但为了能够使用这些法则， 往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换例 5求极限21lim1nxxxxnx，n为正整数解21l i
8、 m1nxxxxnx21111l i m111nxxxxxxx2121l i m1111nnxxxxxxx2121111lim 1lim1lim1lim1nnxxxxxxxxxx123n12n n本题先利用拆项求和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形式进行求解2.5 利用迫敛性求极限例 6 求极限222 3(1)limnn nn解由放缩法得222223(1)123231n nnnnnn，化简得2223(1)1322n nnnnnn，因为131limlim222nnnnnn，由迫敛性定理得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
9、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 222 311lim2nn nn在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等本题就是用放缩法使得222223(1)123231n nnnnnn，且131limlim222nnnnnn，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限2.6 利用归结原则求极限归 结 原则设f在00;Ux内有定 义，0limxxfx存在 的充 要条件 是： 对任 何含于00;Ux且以0 x为极限的数列nx，极限limnnfx都存在且相等例 7求极限211lim1
10、nnnn分析利用复合函数求极限，令21211xxxuxx，1xvxx求解解令21211xxxuxx，1xvxx则有limnuxe；lim1nv x，由幂指函数求极限公式得211lim1limxvxxxuxexx，故由归结原则得221111lim1lim1nxnxennxx注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0 xx，0 xx，x和x这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式注 2 若可找到一个以0 x为极限的数列nx，使li mnnfx不存在，或找到两个都以0 x为极限的数列nx与nx，使limnnfx与limnnfx都存在而不相等，则0limxxfx不存
11、在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 2.7 利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限30tansinlimsinxxxx解由于sintansin1coscosxxxxx，而sin0 xxx，21cos02xxx，33sin0 xxx故有23300tansin112limlimsincos2xxxxxxxxx注在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限
12、式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有tan0 xx x，sin0 xxx，而推出3300tansinlimlim0sinsinxxxxxxxx，则得到的式错误的结果附常见等价无穷小量sin0 xxx，tan0 xx x，21cos02xxx，arcsin0 xx x，arctan0 xxx，1 0 xex x，ln10 xxx，11 0 xxx2.8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及型不定式极限用此种方法求极限要求在点0 x的空心领域00Ux内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零例 9 求极限21coslimtanxxx解由于2lim1cosli
13、m tan0 xxxx，且有1cossinxx，22tan2 tansec0 xxx，由洛比达法则可得21coslimtanxxx2s i nl i m2 t a ns e cxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 3coslim2xx12例 10求极限3limxxex解由于3limlimxxxex，并有xxee，3230 xx，由洛比达法则可得32limlim3xxxxeexx，由于函数xfxe，23gxx
14、均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则32limlimlimlim366xxxxxxxxeeeexxx注 1 如果0limxxfxgx仍是00型不定式极限或型不定式极限， 只要有可能， 我们可再次用洛比达法则，即考察极限0limxxfxgx是否存在，这时fx和gx在0 x的某领域内必须满足洛比达法则的条件注 2 若0limxxfxgx不存在，并不能说明0limxxfxgx不存在注 3不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件下面这个简单的极限sinlim1xxxx虽然是型，但若不顾条件随便使用洛比达法则sin1coslimli
15、m1xxxxxx，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论2.9 利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00 x时的特殊形式，即麦克劳林公式也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 2 000 02!nnnfffxffxxxxn例 11 求极限2240coslimxxxex解 由于极限式的分母为4x，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n：245c
16、os1224xxxx，22452128xxxex，2452c o s12xxxex因而求得24524400cos112limlim12xxxxxxexx利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n2.10 用导数的定义求极限常用的导数定义式 ,设函数yfx在点0 x处可导，则下列式子成立：1000limxxfxfxfxxx，20000limhfxhfxfxh其中h是无穷小，可以是0 xxxx，x的函数或其他表达式例 12 求极限22220limxxppxqq0,0pq分析此题是0 x时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母
17、分子同时进行有理化便可求解但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解解令22fxxp，22gxxq则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 22220limxxppxqq000l i m00 xfxfxgxgx 0 0fgpq2.11 利用定积分求极限有定积分的定义知， 若fx在,a b上可积，则可对,a b用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是fx在,a b上的定积分因此，遇到求一些
18、和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限这是求和式极限的一种方法例 13 求极限222111lim12nnnnnn解对所求极限作如下变形：222111lim12nnnnnn2221111lim12111nnnnnn2111lim1nninin不难看出，其中的和式是函数211fxx在区间0,1上的一个积分和，所以有222111lim12nnnnnn12011dxx120111dxx1011x12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -