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1、第2讲数形结合思想1 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2 运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效
2、应(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3 数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式(5)构建立体几何
3、模型研究代数问题(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题(7)构建方程模型，求根的个数(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.类型一利用数形结合思想讨论方程的根
4、、函数的零点例1(2012辽宁改编)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为_答案6解析根据题意，函数yf(x)是周期为2的偶函数且0x1时，f(x)x3，则当1x0时，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，所以当x0时，f(x)g(x)当x0时，若0x，则x3xcos(x)，即x2cos x.再根据函数性质画出上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根所以总共有6个 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式
5、、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数 设函数f(x)，若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为_答案3解析由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，f(x)方程f(x)x或解得x2或x1或x2，均合题意类型二利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2(1)(2012福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有
6、三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_答案解析由定义可知，f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知，当0m时，f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x20，且x2x321，x2x3.令解得x或x(舍去)x10，x1x2x30.(2)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足xf(x)0的x的取值范围是_答案(1,0)(0,1)解析作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知xf(x)0的x的取值范围是(1,0)(0,1) 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的
7、特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答 (1)使log2(x)x1成立的x的取值范围是_(2)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_答案(1)(1,0)(2)(10,12)解析(1)在同一坐标系中，分别作出ylog2(x)，yx1的图象，由图可知，x的取值范围是(1,0)(2)作出f(x)的大致图象由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10c12，abc(10,12)类型
8、三利用数形结合思想求最值例3已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值 在同一坐标系中画出直线与圆作出圆的切线PA、PB，则四边形PACB的面积S四边形PACBSPACSPBC2SPAC.解方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPACPAACPA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值
9、，此时PC3，从而PA2.(S四边形PACB)min2PAAC2.方法二利用等价转化的思想，设点P的坐标为(x，y)，则PC，由勾股定理及AC1，得PA，从而S四边形PACB2SPAC2PAACPA，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求PA的最小值，只需求PC2(x1)2(y1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x4y80的距离的平方，即d2()29，(S四边形PACB)min2.方法三利用函数思想，将方法二中S四边形PACB中的y由3x4y80解出，代入转化为关于x的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得(S四边形P
10、ACB)min2. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化要正确确定参数的取值范围 若实数x，y满足则的最小值是_答案2解析画可行域如图所示又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.由图知，过点A的直线OA的斜率最小联立得A(1,2)，kOA2.的最小值为2.1 在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，
11、我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的2 有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的3 利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象4 数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时更方便，可以提高解题速度5 数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等1 已知0a1，则方程a|x|logax|的实根个数为_答案2解析作出函数ya|x|，y|logax|的图象，由图象可知，两图象只有两个交点，故方程有2个实根2
12、设asin ，bcos ，ctan ，则a、b、c的大小关系为_答案bac解析asin sinsin ，又，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos OA，sin AB，tan MN，cos sin tan ，即ba0，S8S12，则当n_时，Sn取得最大值；S20_.答案100解析由于等差数列前n项和可写成Snan2bn的形式，其图象是过原点的一条抛物线由已知S8S12可知对应的二次函数的对称轴应是x10，且公差小于零，开口向下，有最大值于是可知n10时，Sn取得最大值因为二次函数图象过原点，所以过点(20,0)，即S200.(如图)4 当0x时，4xlogax，则a的取值范围是
13、_答案解析利用指数函数和对数函数的性质及图象得，解得a1.5 若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k_.答案解析令y1，y2k(x2)，在同一个坐标系中作出其图象，因k(x2)的解集为a，b且ba2.结合图象知b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)k.6 若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_答案解析作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意知应有2a22a，故a.7 已知实系数方程x2ax2b0的两根x1，x2满足0x11x22.则a2b2的取值范围是_答案(1,10)解析令f(x)x2ax2b，由二次方程根的分布(如图)，可得则点(a，b)所在区域为AB
14、C的内部(如图)a2b2的几何意义是区域内的点(a，b)与原点距离的平方，由图可看出：OB2a2b2OA2，即a2b2(1,10)8 设函数f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在x1处的切线互相平行(1)求b的值；(2)若函数F(x)且方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围解函数g(x)bx2ln x的定义域为(0，)，(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依题意2b10，所以b.(2)x(0,1)时，g(x)x0，所以当x1时，g(x)取得极小值g(1)；当a0时，方程F(x)a2不可能有四个解；当a0，x(，1)时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图所示：从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解当a0，x(，1)时，f(x)0，x(1,0)时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的图象如图：从图象看出方程F(x)a2有四个解，则a22a，所以实数a的取值范围是.8