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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试04184 线性代数（经管类）试卷本试卷共 8 页，满分 100 分，考试时间150 分钟。说明： 本试卷中，TA表示矩阵A的转置矩阵，*A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列式，Ar表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题2 分，共 10 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设3 阶行列式111232221131211aaaaaa=2，若元素ija的代数余子公式为ijA（
2、i,j=1,2,3) ，则333231AAA【】A.1B.0 C.1 D.2 2.设A为 3 阶矩阵，将A的第 3 行乘以21得到单位矩阵E，则A=【】A.2B.21C.21D.2 3.设向量组321,的秩为 2，则321,中【】A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设 3 阶矩阵466353331A,则下列向量中是A的属于特征值2的特征向量为【】A.011B.101C.201D.211名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
3、理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流5.二次型212322213214),(xxxxxxxxf的正惯性指数为【】A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、6.设1312)(xxf，则方程0)(xf的根是7.设矩阵0210A,则*A= 8.设A为 3 阶矩阵，21A,则行列式1)2( A= 9.设矩阵4321B,2001P,若矩阵A满足BPA,则A= 10.设向量T)4, 1(1,T)
4、2 , 1(2,T)2,4(3,则3由21,线性表出的表示式为11.设向量组TTTk),0, 1(,)0 ,1 ,4(,)1 , 1 , 3(321线性相关，则数k12.3 元齐次线性方程组003221xxxx的基础解系中所含解向量的个数为13.设 3 阶矩阵A满足023AE，则A必有一个特征值为14.设 2 阶实对称矩阵A的特征值分别为1和 1，则2A15.设二次型212221212),(xtxxtxxxf正定，则实数t的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2
5、 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流三、计算题（本大题共7 小题，每小题9 分，共 63 分）16.计算 4 阶行列式3100131001310013D的值。17.已知矩阵0001001011223aaaaaaA，求1A。18.设矩阵110011111A,且矩阵X满足XAEAX3,求X。19.设向量TTTTkkkk)1 ,1 , 1 , 1(,) 1, 1 , 1(,)1 , 1 ,2 ,1 (,) 1 , 1 ,1 ,1 (2321,试确定当k取何值时能由321,线性表出，并写出表示式。20.求线性方程组133212
6、2043214324321xxxxxxxxxxx的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流21.设矩阵11131111xA与对角矩阵200020001B相似，求数x与可逆矩阵P，使得BAPP1。22.用正交变换将二次型3123222132122),(xxxxxxxxf化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。四、证明
7、题（本题7 分）23.设向量组321,线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数321,kkk使得0332211kkk。2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题2 分，共 10 分）1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）6.5 7.02108.41名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
8、第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流9.2232110.213311.112.113.2314.E15.0t1三、计算题（本大题共7 小题，每小题9 分，共 63 分）16.解3100131001310013D=3100131000130131.3 分5555000310013100131.9分17.解0001100100101000011000000110000001010000100100100011232223aaaaaaaaaaaa.2 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
9、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流00110000100100100001010000001aaa.7 分从而00101010010001aaaA.9 分18.解由XAEAX3,得EAXEA3)(.2 分又由010001110100010001110011111EA可逆.5 分由EAXEA3)(,可得)()(2EAAEAXEA两边左乘1)(EA,得到3311233221000100011100111111211022102
10、EAAX.9 分19解设332211xxx，.2 分该线性方程组的增广矩阵为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流22222000100101111111111111211111kkkkkkkkkkA.6 分由于能有321,线性表出，则必有3)()(ArAr此时0k，方程组有唯一解0, 1321xxx表示式为1.9 分20.解方程组的增广矩阵0000012210
11、11101133211221001111A.2 分可知2)()(ArAr4，方程组有无穷多解.4 分由同解方程组4324312211xxxxxx求出方程组的一个特解T)0,0, 1 , 1(*, 导出组的一个基础解系为TT)1 ,0, 2, 1(,)0, 1 , 2, 1(21.7 分从而方程组的通解为TTTcccc) 1 ,0 ,2, 1()0, 1 ,2, 1 ()0,0 , 1 ,1(212211*21,(cc为任意常数）.9 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
12、7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流21.解由条件可知矩阵A的特征值为2, 1321.2 分由0101121110 xxAE，得1x.4 分对于11，由线性方程组0)(xAE求得一个特征向量为T)1 , 1 ,1(1对于232，由线性方程组0)2(xAE求得两个线性无关的特征向量为TT) 1 ,1 ,0(,)1 ,0, 1 (32令111101011),(321P,则BAPP1.9 分22.解二次型的矩阵101020101A.2 分由0)2(1010201012AE故A的特征值为0, 2321.4 分对于221，求解
13、齐次线性方程组0)(xA，得到基础解系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流T) 1 ,0 ,1(3将其单位化，得T)21,0,21(3.7 分令2121000121210),(321P,则P为正交矩阵，经正交变换321321yyyPxxx，化二次型为标准形222122yy.9 分四、证明题（本题7 分）23.证由于向量组321,线性相关，故存在不全为零的常数321,kkk，使得0332211kkk.2 分其中必有01k。否则，如果01k，则上式化为03322kk其中32,kk不全为零，由此推出32,线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾.5 分类似地，可证明0,032kk.7 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -