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1、1 / 182012-2018年新课标全国卷文科数学汇编立体几何一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面 MNQ 不平行的是（）【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（）283ABCD17182028【2016，11】平面过正方体的顶点，平面，平面，1111ABCDABC DA11CB DIABCDm平面，则所成角的正弦值为（）I11ABB An,m nABCD32223313【2015，6】 九章算术是我国
2、古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“ 今有委 M 依垣内角，下周八尺，高五尺，问” 积及为 M 几何？ ” 其意思为：“ 在屋内墙角处堆放M（如图， M 堆为一个圆锥的四分之一），M 堆底部的弧长为 8尺， M 堆的高为 5 尺，M 堆的体积和堆放的M 各位多少？ ” 已知 1 斛M 的体积约为162 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的M 有( ) A14 斛B22 斛C36 斛D66 斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则 r=( ) BA1 B2 C4 D8 【
3、2015，11】 【2014，8】 【2013，11】 【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168B88C1616D816【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - -
4、 - - - - 2 / 18A6 B9 C12 D15【2012，8】平面截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面的距离为，则此球的体积为2（）ABCD64 34 66 3【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，该圆柱的表面积为A.12B. 12C. 8D. 1022【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到 N 的路径中，最短路径的长度为A.2B.172 5C.3 D
5、.2【2018，10】在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2 ，AC1与平面 BB1C1C 所成的角为30，则该长方体的体积为A.8 B.6C.8D.8223二、填空题【2017，16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCASCB平面，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_【2013，15】已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AHHB12，AB平面 ， H 为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为 _三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且90BAPCDP（1）证
6、明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3 / 18名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 4 / 18【2016，18】如图所示
7、，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，顶点在平面PABC6PAP内的正投影为点，在平面内的正投影为点连结并延长交于点ABCDDPABEPEABG（ 1）求证：是的中点；GAB（ 2）在题图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由） ，并求四面体的体EPACFPDEF积PABDCGE【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交点， BE平面 ABCD，()证明：平面AEC平面 BED；()若 ABC=120 ，AEEC，三棱锥 E- ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积63【2014,19】如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且111CBAABCCCBB11CB1O平面
8、.AOCCBB11（1）证明：;1ABCB（2）若,求三棱柱的高.1ABAC, 1,601BCCBBo111CBAABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 5 / 18【2013，19】如图，三棱柱ABCA1B1C1中， CACB，ABAA1， BAA160 (1)证明： ABA1C；(2)若 ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
9、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 6 / 18【2012，19】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，AC=BC=AA1，D 是棱90ACB21AA1的中点（ 1）证明：平面BDC1平面 BDC；（ 2）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比【2018，18】如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3 ， ACM=90 ，以 AC 为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且ABDA。（1）证明：平面ACD平面 ABC；（2）Q 为线段 AD
10、 上一点， P 为线段 BC 上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP 的体积。23解读一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点， M，N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是（）【解法】选A由 B，AB MQ，则直线 AB 平面 MNQ ；由 C，AB MQ ，则直线 AB 平面 MNQ ；由 D，AB NQ，则直线 AB 平面 MNQ 故 A 不满足，选A【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（） 283DA1B1CAB
11、C1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 7 / 18ABCD17182028解读：选 A由三视图可知，该几何体是一个球截去球的，设球的半径为，则，18R37428833R解得该几何体的表面积等于球的表面积的，加上个截面的面积，每个截面是圆面的，2R78314所以该几何体的表面积为故选 A22714 23 284S14 3 17【2016，11】平面过正方体的顶点，平面，平面，1111ABCDABC DA11CB D
12、IABCDm平面，则所成角的正弦值为（）I11ABB An,m nABCD32223313解读：选 A解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示通过寻找线线平行构造出平面，即平面，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为故选 AAEFAEAF3EAF32ABCDA1B1C1D1EF解法二（原理同解法一）：过平面外一点作平面，并使平面，不妨将点变换成，作A11CBDAB使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面，如图所示，即研究与所1A BD1ABBD成角的正弦值，易知，所以其正弦值为故选 A13ABD32名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
13、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 8 / 18D1C1B1A1DCBA【2015，6】 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“ 今有委 M 依垣内角，下周八尺，高五尺，问” 积及为 M 几何？ ” 其意思为： “ 在屋内墙角处堆放M（如图， M 堆为一个圆锥的四分之一），M 堆底部的弧长为8 尺， M 堆的高为 5 尺， M 堆的体积和堆放的 M 各位多少？ ” 已知 1 斛 M 的体积约为162 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的M 有( ) BA14 斛B2
14、2 斛C36 斛D66 斛解：设圆锥底面半径为r，依题，所以 M 堆的体11623843rr积为，故堆放的M 约为1 6222 ，故选 B211163203 ()543393209【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则 r=( ) BA1 B2 C4 D8 解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为 2 r2+ r 2r+ r2+2r 2r =5 r2+4r2=16+20 ，解得 r= 2，故选 B【2014，8】如图，网格纸的
15、各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )BA三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱解：几何体是一个横放着的三棱柱故选 B【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168B88C1616D816解读：选A该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体V半圆柱224 8 ， V长方体42216所以所求体积为168 故选 A12【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
16、理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 9 / 18A6 B9 C12 D15【解读】由三视图可知，该几何体为三棱锥 A-BCD ，底面 BCD 为底边为 6，高为 3 的等腰三角形，侧面 ABD 底面 BCD ，AO 底面 BCD ，因此此几何体的体积为，故选择 B11(63)3932V【2012，8】8平面截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面的距离为，则此球的体积为（）2AB64 3CD4 66 3【解读】如图所示，由已知，11O A12OO在中，球的半径，1Rt OO A3ROA所以此球的体积，故选择 B344 33VR
17、【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）【解读】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形故选 D【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，该圆柱的表面积为B【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到 N 的路径中
18、，最短路径的长度为BA.2B.172 5C.3 D.2【2018，10】在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2 ，AC1与平面 BB1C1C 所成的角为30，则该长方体的体积为CA.8 B.6C.8D.8223OBDCA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 10 / 18二、填空题【2017，16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCASCB平面，SAAC，SBBC，
19、三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为 _【解读】取的中点，连接，因为，所以，SCO,OA OB,SAAC SBBC,OASC OBSC因为平面平面，所以平面，设，SACSBCOASBCOAr，所以，3111123323A SBCSBCVSOArrrr31933rr所以球的表面积为2436r【2013，15】已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AHHB12，AB平面 ， H 为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为 _答案：92解读：如图，设球 O 的半径为R，则 AH，OH又 EH2 ， EH1在 RtOEH 中， R223R3R，R2S球4 R222+13R
20、9892【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为316【解读】设圆锥底面半径为，球的半径为，则由，知rR223416rR2234rR根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的O点，因此PBQB设，则POxQOy2xyR又，知PO BBO Q22rO Bxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页
21、，共 18 页 - - - - - - - - - 11 / 18即2234xyrR由及可得xy3,22RxR y则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为13故答案为13三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且90BAPCDP（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积【解法】（1）Q，,ABAP CDDP90BAPCDP又Q ABCDABDP又AP平面PAD，DP平面PAD，且APDPPIAB平面PADQ AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD（2）由题意：设=PAPDAB
22、DC a，因为90APD，所以PAD为等腰直角三角形即=2ADa取AD中点E，连接PE，则22PEa，PEAD又因为平面PAB平面PAD所以PE平面ABCD因为AB平面PAD，ABCD所以ABAD，CDAD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 12 / 18又=ABDC a所以四边形ABCD为矩形所以311218233233PABCDVAB AD PEaaaagggg gg即2a11=223+2 26=6+2322
23、S侧【2016，18】如图所示，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，顶点在平面PABC6PAP内的正投影为点，在平面内的正投影为点连结并延长交于点ABCDDPABEPEABG（ 1）求证：是的中点；GAB（ 2）在题图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由） ，并求四面体的体EPACFPDEF积PABDCGE解读：（ 1）由题意可得为正三角形，故ABC6PAPBPC因为在平面内的正投影为点，故平面PABCDPDABC又平面，所以ABABCABPD因为在平面内的正投影为点，故平面DPABEDEPAB又平面，所以ABPABABDE因为，平面，ABPDABDEPDDEDI,PD DEPDG所以平面又平
24、面，所以ABPDGPGPDGABPG因为，所以是的中点PAPBGAB（2）过作交于，则即为所要寻找的正投影EEFBPPAFF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 13 / 18EGCDBAPF理由如下，因为，故同理，PBPAPBEFEFPAEFPC又，平面，所以平面，PAPCPI,PA PCPACEFPAC故即为点在平面内的正投影FEPAC所以13D PEFPEFVSDE16PF EF DE在中，故由等面积法知PD
25、G3 2PG6DG2 3PD2DE由勾股定理知，由为等腰直角三角形知，故2 2PEPEF2PFEF43D PEFV【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交点， BE平面 ABCD，()证明：平面AEC平面 BED；()若 ABC=120 ，AEEC，三棱锥 E- ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积63解： () BE平面 ABCD，BEACABCD 为菱形， BDAC，AC平面 BED ，又 AC平面 AEC，平面 AEC平面 BED6分()设 AB=x ，在菱形 ABCD 中，由 ABC=120 可得，AG=GC=，GB=GD= 在 Rt AEC 中，可得
26、EG=32x2x32x在 Rt EBG 为直角三角形，可得BE=9 分22x，解得 x =23116632243EACDVAC GD BEx由 BA=BD=BC 可得 AE= ED=EC=6 AEC 的面积为3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 14 / 18所以三棱锥E-ACD 的侧面积为12 分3+2 518 解读（ 1）因为平面，所以BEABCDBEAC又为菱形，所
27、以ABCDACBD又因为，平面，BDBEBIBDBEBED所以平面又平面，所以平面平面ACBEDACAECAECBED（2）在菱形中，取，ABCD2ABBCCDADx又，所以，120ABCo3AGGCxBGGDx在中，所以，AEC90AECo132EGACx所以在中，RtEBG222BEEGBGx所以，解得3116622sin12023233EACDVxxxxo1x在，中，RtEBARtEBCRtEBD可得6AEECED所以三棱锥的侧面积112256632 522S侧【2014,19】如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且111CBAABCCCBB11CB1O平面.AOCCBB11（1）证明
28、：;1ABCB（2）若,求三棱柱的高.1ABAC, 1,601BCCBBo111CBAABC证明： ()连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点，AO平面 BB1C1C. AOB1C，2分因为侧面 BB1C1C 为菱形， BC1B1C，4 分BC1平面 ABC1，AB 平面 ABC1，故 B1CAB. 6分()作 ODBC，垂足为 D，连结 AD，AOBC，BC平面 AOD，又 BC 平面 ABC，平面 ABC平面 AOD，交线为 AD，作 OHAD，垂足为 H，OH平面 ABC. 9分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
29、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 15 / 18CBB1=60 ，所以 CBB1为等边三角形，又 BC=1，可得 OD=，34由于 ACAB1，11122OAB C2274ADODOA由 OH AD=ODOA ，可得 OH=，又 O 为 B1C 的中点，所以点 B1到平面 ABC 的距2114离为，所以三棱柱 ABC-A1B1C1的高高为。12 分217217另解(等体积法 )： CBB1=60 ，所以 CBB1为等边三角形，又 BC=1，可得 BO=，由于 ACAB1，AB=1，AC=，9分3211122
30、OAB C22则等腰三角形 ABC 的面积为，设点 B1到平面 ABC 的距离为2212271()2248d，由 VB1-ABC=VA-BB1C得，73121,8427dd解得所以三棱柱 ABC-A1B1C1的高高为。12 分217【2013，19】如图，三棱柱ABCA1B1C1中， CACB，ABAA1， BAA160 (1)证明： ABA1C；(2)若 ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积6证明： (1)取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B因为 CACB，所以 OCAB由于 ABAA1，BAA160 ，故 AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB因为 OCOA1
31、O，所以 AB平面 OA1C又 A1C? 平面 OA1C，故 ABA1C(2)解：由题设知ABC 与 AA1B 都是边长为2 的等边三角形，所以 OCOA13又 A1C，则 A1C2OC2，621OA故 OA1OC因为 OCAB O，所以 OA1平面 ABC，OA1为三棱柱 ABCA1B1C1的高名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 16 / 18又 ABC 的面积 S ABC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积 V
32、SABC OA133【2012，19】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，AC=BC=AA1，D 是棱90ACB21AA1的中点（ 1）证明：平面BDC1平面 BDC；（ 2）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比【解读】（1）在中，Rt DACADAC得：，45ADC同理：，1114590A DCCDC得：1DCDC由题设知 BCCC1，BCAC，1CCACCI所以平面BC11ACC A又平面，所以1DC11ACC A1DCBC而，所以平面DCBCCI1DCBDC又平面，故平面 BDC1平面 BDC1DC1BDC（2）由已知 AC=BC=AA1，D 是棱 AA1的中点
33、，21设，则12AAaACBCADa11123122ABCA B CVaaa由（ 1） ，平面，所以为四棱锥的高，BC11ACC ABC1BACC D所以13111(3)322BACC DVaaaa因此平面 BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1 1111333112112ABCA B CBACC DBACC DaaVVVa【2011，18】如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，PABCDABCD，60DABo2ABAD底面PDABCD（1）证明：；PABD（2）若，求棱锥的高1PDADDPBC【解读】（1）因为，由余弦定理得，60DBAo2ABAD3BDAD从而，故，又底面，可得222BDAD
34、ABBDADPDABCDBDPDDA1B1CABC1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 17 / 18所以平面，故BDPADPABD（2）如图所示，作，垂足为已知底面，则DEPBEPDABCDPDBC由（ 1）知，又，所以BDADBCADBCBD故平面，则平面BCPBDBCDEDEPBC因为，1AD2AB60DABo所以，又，所以3BD1PD2PB根据，得，即棱锥的高为DEPBPD BD32DEDPBC32【20
35、18，18】如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3 ， ACM=90 ，以 AC 为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且ABDA。（3）证明：平面ACD平面 ABC；（4）Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP 的体积。2318解：（ 1）由已知可得，=90，BACBAAC又 BAAD，所以 AB平面 ACD 又 AB平面 ABC，所以平面ACD平面 ABC（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3 2又，所以23BPDQDA2 2BP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 18 / 18作 QEAC，垂足为 E，则QEP13DC由已知及（ 1）可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE=1因此，三棱锥的体积为QABP1111322sin 451332QABPABPVQES名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -