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1、第七节 抛物线A组基础对点练1已知抛物线y2x，则它的准线方程为()Ay2By2Cx Dx解析：因为抛物线y2x，所以p，它的准线方程为x.答案：C2若抛物线yax2的焦点坐标是(0，1)，则a()A1 BC2 D解析：因为抛物线的标准方程为x2y，所以其焦点坐标为，则有1，a.答案：D3(2021河南洛阳模拟)已知点M是抛物线C：y22px(p0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2，2)，则p的值为()A1 B2C3 D4解析：F，那么M在抛物线上，即162p，即p28p160，解得p4.答案：D4过点P(2，3)的抛物线的标准方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2
2、yDy2x或x2y解析：设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2，3)，解得k，m，y2x或x2y.答案：A5若抛物线y22px(p0)上的点P(x0，)到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍，则p等于()A B1C D2解析：根据焦半径公式|PF|x0，所以x03x0，解得x0，代入抛物线方程()22p，解得p2.答案：D6(2021河北正定模拟)设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)解析：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准
3、线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|m，由抛物线的定义可知|BB1|m，|AA1|AF|3m.由BB1AA1可知，即，所以|MB|2m，则|MA|6m.故AMA130，得AFxMAA160，结合选项知选项C正确答案：C7已知抛物线x24y的焦点为F，抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|BF|2，则y1xy2x()A4 B6C8 D10解析：|AF|BF|2，y11(y21)2，y1y22，y1xy2x5(y1y2)10.答案：D8O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2C2 D4解析：
4、设P(x0，y0)，则|PF|x04，所以x03，所以y4x04324，所以|y0|2.由y24x，知焦点F(，0)，所以SPOF|OF|y0|22.答案：C9若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_解析：xM110xM9.答案：910(2020辽宁沈阳检测)已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当AFO30(O为坐标原点)时，|PF|_解析：设l与y轴的交点为B，在RtABF中，AFB30，|BF|2，所以|AB|，设P(x0，y0)，则x0，代入x24y中，得y0，从而|PF|PA|y01.答案：11设抛物线C：y24x的焦点
5、为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则_解析：由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1，2)，N为(4，4).又抛物线焦点为F(1，0)，(0，2)，(3，4)，03248.答案：812设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解析：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11
6、)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.B组素养提升练1经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么A1FB1等于()ABC D解析：由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1
7、OFA1，所以OFA1OFB1，即A1FB1.答案：C2已知F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程得1，抛物线的准线为x2a，联立x3a，即点P的横坐标为3a.而由|PF2|6a.所以|PF2|3a2a6a，得a1，所以抛物线的准线方程为x2.答案：x23设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y
8、2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2，1).设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2，2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，解得x122，x222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.4已知抛物线C1：x22py(p0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.(1)若A(2，1)，求p的值以及圆C2的方程；(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示).解析：(1)A(2，1)在抛物线C1上，42p，p2.又圆C2的圆心为，半径为，圆C2的方程为(x1)2.(2)记A，B，则，.由0知，x2(x2x1)0.x20，且x1x2，xx1x24p2，x1.xx8p228p216p2，当且仅当x，即x4p2时取等号又|OA|2x(x4p2x)，注意到x16p2，|OA|2(162p44p216p2)80p2.而S，S20p2，即S的最小值为20p2，当且仅当x4p2时，取得等号