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1、【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第2章 第7节 函数与方程、函数模型及其应用 新人教A版一、选择题1下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()答案C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有f(a)f(b)0.A、B选项中不存在f(x)0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C2(文)(2013保定调研)函数f(x)log3xx2的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)答案B解析解法1：函数f(x)log3xx2的定义域为(0，)，并且在(0，)上递增、连续，又f(1)10，函数f(x)log3xx2有唯一的零点且零点
2、在区间(1,2)内解法2：作出函数ylog3x与yx2的图象(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B(理)(2014湖南长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应值表x123456f(x)136.1315.5523.9210.8852.488232.064则函数f(x)存在零点的区间有()A区间1,2和2,3B区间2,3和3,4C区间2,3，3,4和4,5D区间3,4，4,5和5,6答案C解析f(x)的图象连续不断，且f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，f(x)在2,3，3,4和4,5内都有零点3(文)(2014广东潮州检
3、测)函数f(x)|x2|lnx在定义域内的零点个数为()A0B1C2D3答案C解析在同一坐标系中作出函数y|x2|与ylnx的图象可知，两函数图象有两个交点，f(x)有两个零点(理)(2014洛阳统考)已知函数f(x)|x24|3xm恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A(6,6)(，)B(，)C(，)(6,6)D(，)答案C解析函数f(x)|x24|3xm的零点，即方程|x24|3xm0的根，即方程|x24|3xm的根，则y|x24|和y3xm的图象的交点个数即函数f(x)的零点个数在同一坐标平面内作出两函数图象(图略)，x2，x2时是临界位置，此时m6，m6.当直线与曲线相切，即y
4、x24与y3xm相切，故x23x4m0，94(4m)0，可得m，m(6,6)(，)4(文)(2013黄山月考)已知函数f(x)x2x，g(x)xlnx，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax1x2x3Bx2x1x3Cx1x3x2Dx3x2x1答案A解析令f(x)x2x0，因为2x恒大于零，所以要使得x2x0，x必须小于零，即x10；令g(x)xlnx0，要使得lnx有意义，则x必须大于零，又xlnx0所以lnx0，解得0x1，即0x21，即x31，从而可知x1x2x3.(理)已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，
5、b，c，则()AabcBacbCbacDcab答案B解析由于f(1)10，故f(x)2xx的零点a(1,0)；g(2)0，故g(x)的零点b2；h10，故h(x)的零点c，因此，acb.5(文)(2014山西临汾一模)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A118元B105元C106元D108元答案D解析设进价为x元，则x(110%)132(110%)，x108.(理)(2014北京文)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2b
6、tc(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟答案B解析由实验数据和函数模型知，二次函数pat2btc的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得解得所以p0.2t21.5t20.2(t3.75)20.8125，所以当t3.75分钟时，可食用率p最大故选B6若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)f(2)的值()A大于0B小于0C等于0D不能确定答案D解析若函数f(x)在(2,2)内有且仅有一
7、个零点，且是变号零点，才有f(2)f(2)0，故由条件不能确定f(2)f(2)的值的符号二、填空题7(文)(2013荆州市质检)函数f(x)xexa有两个零点，则实数a的取值范围是_答案(，0)解析令f (x)(x1)ex0，得x1，则当x(，1)时，f (x)0，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，要使f(x)有两个零点，则极小值f(1)0，即e1a，又x时，f(x)0，则a0，a(，0)(理)(2013贵州四校联考)对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点，若二次函数f(x)x22axa2没有不动点，则实数a的取值范围是
8、_答案(，)解析令f(x)x得x2(2a1)xa20，若没有不动点需满足(2a1)24a2.故实数a的取值范围是(，)8(2013长春调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x5)16，当x(1,4时，f(x)x22x，则函数f(x)在0,2013上的零点个数是_答案604解析由f(x)f(x5)16，可知f(x5)f(x)16，则f(x5)f(x5)0，所以f(x)是以10为周期的周期函数x(1,4时，x20,16，2x(，16，x22x16，x(1,4时，f(x)16.当x(4,9时，x5(1,4，f(x5)0，f(x)在(4,9上无零点，因此在一个周期(1,9上，函数f(x)x22
9、x在区间(1,4内有3个零点，在(4,9区间内无零点，故f(x)在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2013中包含201个周期，且在区间0,3内也存在一个零点x2，故f(x)在0,2013上的零点个数为32011604.9(文)若函数f(x)axb(a0)有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_答案0，解析由已知条件2ab0，即b2a，g(x)2ax2ax2ax(x)，则g(x)的零点是x0，x.(理)若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_答案解析由于函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，即方程x2axb0的两个根是2和3.因此解得a1
10、，b6，故f(x)x2x6.所以不等式af(2x)0，即(4x22x6)0，解得x40t，即WP，所以使用液化气比使用汽油省钱(2)令37.5t5000，解得t545.5，又t0，tN，t546.令40t5000，解得t750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t546,750时，省出的钱等于改装设备的钱一、选择题11(文)函数f(x)在2,2内的图象如图所示，若函数f(x)的导函数f (x)的图象也是连续不间断的，则导函数f (x)在(2,2)内有零点()A0个B1个C2个D至少3个答案D解析f (x)的零点，即f(x)的极值点，由图可知f(x)在(2,2)内，有一个极大值和两个极小值，故
11、f(x)在(2，2)内有三个零点，故选D(理)若定义在R上的函数yf(x)满足f(x1)f(x)，且当x1,1时，f(x)x2，函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点的个数为()A9B8C7D6答案B解析f(x1)f(x)，f(x2)f(x)，又x1，1时，f(x)x2，f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图象，可见yf(x)(5x5)与y2x(x1)有5个交点，yf(x)(5x5)与ylog3(x1)(x1)的图象有3个交点，共有8个交点12(文)(2013辽宁五校联考)函数f(x)x3bx21有且仅有两个不同零点，则b的值为()ABCD不确定答案
12、C解析f (x)3x22bxx(3x2b)，令f (x)0，则x10，x2.b0.又f(0)10，因此当曲线f(x)与x轴相切时，f(x)有且只有两个不同零点，所以f()0，解得b.(理)(2014河北石家庄市模拟)x表示不超过x的最大整数，例如2.92，4.15，已知f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是()A1B2C3D4答案B解析在同一坐标系中作出函数f(x)xx与g(x)log4(x1)的图象，g(2)0，g(5)1，f(2)0，f(5)0，两函数图象有两个交点，即h(x)有两个零点13(2013安徽)函数yf(x)的图象如图所示，在
13、区间a，b上可找到n(n2)个不同的数x1，x2，xn，使得，则n的取值范围为()A2,3B2,3,4C3,4D3,4,5答案B解析如图所示.可以看作点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，(xn，f(xn)与原点(0,0)连线的斜率对于l1，l2，l3满足条件的x分别有2个、3个、4个，故选B14(文)(2013洛阳统考)已知x1，x2是函数f(x)ex|lnx|的两个零点，则()Ax1x21B1x1x2eC1x1x210Dex1x210答案A解析在同一坐标系中画出函数yex与y|lnx|的图象(图略)，结合图象不难看出，在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，)不
14、妨设x1(0,1)，x2(1，)，则有ex1|lnx1|lnx1(e1,1)，ex2|lnx2|lnx2(0，e1)，ex2ex1lnx2lnx1ln(x1x2)(1,0)于是有e1x1x2e0，即x1x21，选A(理)(2013昆明调研)设函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x0时，f(x)()x，又函数g(x)|xsinx|，则函数h(x)f(x)g(x)在，2上的零点个数为()A3B4C5D6答案C解析由题意知f(x)，g(x)均为偶函数，所以函数h(x)在，2上的零点个数可转化为在区间0，上的零点个数和在区间(0,2上的零点个数之和当x(0,2时，令h(x)0，即()x|xsinx|
15、，则|sinx|()x，画出函数y|sinx|和y()x的图象如图所示，由图可知两图象有4个交点，且x是其中一个交点，所以函数h(x)在，2上有5个零点15(2014石家庄质量检测)已知函数f(x)，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f(f(x)0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为()A(，0)B(，0)(0,1)C(0,1)D(0,1)(1，)答案B解析当a0时，f(f(x)0有无数个根；当a0时，由f(f(x)0得f(x)1，作出函数f(x)的图象，如图所示，当a0,0a1)恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为_答案(，2)解析依题意得，f(x4)f(x)，即函数f(x)是以4
16、为周期的函数关于x的方程f(x)loga(x2)0(a1)恰有三个不同的实数根，等价于函数f(x)与g(x)loga(x2)(a1)的图象恰有三个不同的交点结合题意分别画出函数f(x)在(2,6上的图象与函数g(x)loga(x2)(a1)的图象(如图所示)，结合图象分析可知，要使两函数的图象有三个不同的交点，则有由此解得a2，即a的取值范围是(，2)三、解答题17(文)(2014太原模拟)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最
17、低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解析设该店月利润余额为L，则由题设得LQ(P14)10036002000，由销量图易得Q代入式得L(1)当14P20时，Lmax450元，此时P19.5(元)，当20P26时，Lmax元，此时P(元)，故当P19.5(元)时，月利润余额最大，为450元(2)设可在n件后脱贫，依题意有12n45
18、050000580000，解得n20，即最早可望在20年后脱贫(理)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4t时，每吨为1.80元，当用水超过4t时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5xt、3xt.(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费解析(1)当甲户的用水量不超过4t时，即x，乙户的用水量也不超过4t，y(5x3x)1.814.4x；当甲户的用水量超过4t，乙户的用水量不超过4t时，即，y81.83(8x8)24x9.6，所以y(2)由(1)可知yf(x)在各段区间上均为
19、单调递增，当x0，时，yf()11.5226.4；当x(，时，yf()22.40)，则t2mt10.当0时，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0时，即m2或m2时，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.(理)(2014南京模拟)如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽
20、均不小于10m.(1)求x的取值范围(取1.4)；(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解析(1)由题意得，解得，即9x15.(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得ya(x2)2axx2104(x2)2x2(x4x312x2)12104，令f(x)x4x312x2，则f (x)x34x224x4x(x2x6)，由f (x)0，解得x10或x15，列表如下：x9(9,10)10(10,15)15f (x)00f(x)极小值所以当x10时，y取最小值所以当x10时，可使“环岛”的整体造价最低- 13 -