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1、【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第9章 第8节 用向量方法求角与距离(理) 新人教B版一、选择题1已知正方体ABCDA1B1C1D1，则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是()A. B C. D答案C解析如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令x1得，n(1，1，1)，设直线BC1与平面A1BD所成角为，则sin|cos，n|，cos.2
2、(2014河北石家庄模拟)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB2，CC1，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为()A1BC.D答案A解析设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1平面ABB1A1，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，0)，(2,0，)，(1，)，因为(2,0，)(1，)0，所以，即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1，故选A.3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为()A.BC.D答案
3、B解析解法1：以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O，设平面ABC1D1的法向量n(x，y,1)，则n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距离d.解法2：易证A1D平面ABC1D1，A1到平面ABC1D1的距离为，O为A1C1的中点，O到平面ABC1D1的距离为.4(2014宁夏银川调研)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.BC.D答案A解析方法一：取A1C1的中点E，连接AE，B1E，如图由题易知B1E平面A
4、CC1A1，则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角设正三棱柱侧棱与底面边长为1，则sinB1AE.方法二：如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为1，则A(，0,1)，B1(0，0)，(，1)，(0，0)设AB1与平面ACC1A1所成的角为，EB1为平面ACC1A1的法向量则sin|cos，|.5(2014福建泉州二模)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.BC.D答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2
5、,0)，设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离是d.点评可用等积法求解VD1A1BDVBA1DD1.一、空间的距离1两点间的距离：连结两点的线段的长度2点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度3点到平面的距离：从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度连接平面外一点与平面内任一点的线段中，垂线段最短4平行直线间的距离：从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度5异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度6直线与平面间的距离：如果一条直线和一
6、个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度7两平行平面间的距离：两个平面的公垂线段的长度二、求距离的方法1综合几何方法找出或作出有关距离的图形；证明它符合定义；在平面图形内计算空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法2向量法(1)求直线到平面的距离设直线a平面，Aa，B，n是平面的法向量，过A作AC，垂足为C，则n，n()nn，|n|n|.直线a到平面的距离d|.(2)求两平行平面间的距离用公式d求，n为两平行平面的一个法向量，A、B分别为两平面上的任意两点转化为点面距或线面距求解(3)求点面距时，平面内的点可以任意选取，实际解题时选取已知点
7、或易求的点，练习下题：在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是棱AB、BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于()A.BC.D答案D解析解法1：设点C1到平面B1EF的距离h.连接EC1，FC1，由题意得|B1E|B1F|，|EF|，等腰B1EF底边EF上的高为：h1，则SB1EF|EF|h1，那么VC1B1EFSB1EFhh；又VEB1C1FSB1C1F|EB|(22)1，且VC1B1EFVEB1C1F，即h，得h，选D.解法2：以B1为原点分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(0,0,0)，C1(2,0,0)，E(0,1,2)，F(1,
8、0,2)设平面B1EF的法向量为n(x，y，z)，则xy2z.令z1得n(2，2,1)，又(2,0,0)，C1到平面B1EF的距离h，故选D.6如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBF.当A1、E、F、C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()A.BC.D答案B解析以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0)，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得令a1，则c1，b2，所以n1(1,2,1)，同理得平面C1DF的
9、一个法向量为n2(2，1，1)，由题图知，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为.二、填空题7.(2013北京理，14)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为_答案解析过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1，连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H，P点到直线CC1的距离就是C1H，故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小，此时，在RtD1C1E1中，C1HD1E1，D1E1C1HC1D1C1E1，C1H.点评点P到直线CC1距离的最小值就是异
10、面直线D1E与CC1的距离，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，E(1,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，(1,2，2)，(0,0,2)，设n，n，n(x，y，z)，则nx2y2z0，n2z0，z0，取y1，则x2，n(2，1,0)，又(1,0,0)，异面直线距离d.8在菱形ABCD中，AB2，DAB60，将菱形沿对角线AC折成直二面角DACB，折起后直线AB与CD之间的距离为_答案解析设ACBDO，在菱形ABCD中，ACBD，折起后AC、BO、OD两两垂直，以O为原点，直线OC、OB、OD为x轴、y轴、z轴建立如图空间直
11、角坐标系，在原菱形中，AB2，DAB60，OAOC，OBOD1，A(，0,0)，B(0，1,0)，C(，0,0)，D(0,0,1)，(，1,0)，(，0,1)，设n(x，y，z)，令则令x1，则y，z.n(1，)，又(，0,1)，AB与CD之间的距离d.三、解答题9如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长解析(1)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.因为PAACA，所以BD平面PAC.(
12、2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)，设PB与AC所成角为，则cos.(3)由(2)知(1，0)设P(0，t)，(t0)，则(1，t)设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则m0，m0，所以令y，则x3，z.所以m(3，)同理，平面PDC的法向量n(3，)因为平面PBC平面PDC.所以mn0，即60.解得t.所以PA.10(2014天津河北区一模)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD
13、为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2，ABBC1，E为AD中点(1)求证：PE平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3)求平面PAB与平面PCD所成的二面角解析(1)证明：在PAD中，PAPD，E为AD中点，PEAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD.(2)如图，以E为坐标原点建立空间直角坐标系Exyz，则A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，(1,1,0)，(1，1，1)，cos，异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(3)方法一：设平面PAB的法向量为m(x，
14、y，z)，(0，1，1)，(1，1，1)，即令y1，则x0，z1，m(0,1，1)设平面PCD的法向量为n，同理可得n(1,1,1)cosm，n0.mn.平面PAB与平面PCD所成的二面角为.方法二：侧面PAD底面ABCD，交线为AD，ABAD，AB平面PAD，PDAB.PAPD，AD2，PDPA.又PAABA，PD平面PAB.又PD平面PCD，平面PAB平面PCD.平面PAB与平面PCD所成的二面角为.一、解答题11如图，四边形DCBE为直角梯形，DCB90，DECB，DE1，BC2，又AC1，ACB120，CDAB，直线AE与直线CD所成角为60.(1)求证：平面ACD平面ABC；(2)求
15、BE与平面ACE所成角的正弦值解析(1)CDAB，CDBC，ABBCB，CD平面ABC，又CD平面ACD，平面ACD平面ABC.(2)在平面ACB内，过C作CFCB，以C为原点，以CF，CB，CD所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系Cxyz设CDa(a0)，则D(0,0，a)，E(0,1，a)，B(0,2,0)，A(，0)，(，a)，(0,0，a)，由直线AE与直线CD所成角为60，得|cos60，a2，解得a1.(0,1,1)，(，0)，(0，1,1)，设平面ACE的一个法向量为n(x，y，z)，则即取x，则y3，z3，得n(，3，3)，设BE与平面ACE所成角为，则sin，
16、于是BE与平面ACE所成角的正弦值为.12(2015成都七中期中)如图分别是正三棱台ABCA1B1C1的直观图和正视图，O，O1分别是上下底面的中心，E是BC的中点(1)求正三棱台ABCA1B1C1的体积(注：棱台体积公式：V(S上S下)其中S上为棱台上底面面积，S下为棱台下底面面积，h为棱台高)；(2)求平面EA1B1与平面A1B1C1的夹角的余弦；(3)若P是棱A1C1上一点，求CPPB1的最小值解析(1)由题意AC2，A1C14，正三棱台的高为，SABC3，SA1B1C112，VABCA1B1C1(312)21.(2)设O，O1分别是上、下底面的中心，E是BC的中点，F是B1C1的中点以
17、O1为原点，过O1平行于B1C1的直线为x轴建立空间直角坐标系O1xyz，则C1(2，2,0)，C(，1，)，E(0,1，)，A1(0，4,0)，B1(2，2,0)，(0,5，)，(2，6,0)，设平面EA1B1的一个法向量n(x，y，z)，则即取n(3，5)，取平面A1B1C1的一个法向量m(0,0,1)，设所求角为，则cos.(3)将梯形A1ACC1绕A1C1旋转到与A1B1C1在同一平面内，使二面角B1A1C1C为平角，记展平后的A、C为M、N，连接B1N与A1C1的交点为P点时，CPPB1取最小值cosNC1A1cosCC1A1，sinNC1A1，cosNC1B1cos(NC1A1)，
18、在NC1B中，B1C14，NC1|，由余弦定理得CB1，CPPB1的最小值为.13.(2013陕西商洛一模)如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CACBCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(3)求点E到平面ACD的距离分析(1)要证AO平面BCD，只需在平面BCD内找到两条与AO垂直的直线，由条件ABD为等腰三角形可知AOBD，只要AOOC即可得证，结合条件应计算证明AOOC.(2)由(1)可知OC、OA、BD两两垂直，故适合建系用坐标法求，只要找出两直线的方向向量，即可获解(3)求点面距，需先求出平面的法向量n，则距离
19、d.解析(1)证明：连接OC，由CACBCDBD2，ABAD，知CO，AO1.在AOC中，AC2AO2OC2，则AOOC.又AOBD，BDOCO，因此AO平面BCD.(2)解：如图建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，(1,0，1)，(1，0)，|cos，|.即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.(3)(1,0，1)，设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得令y1，则n(，1，)所以点E到平面ACD的距离为d.14(2014天津河西区二模)如图，在几何体ABCA1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别
20、为A、B、C，且ABBC，AA1BB14，ABBCCC12，E为AB1的中点(1)求证：CE平面A1B1C1；(2)求二面角B1AC1C的大小；(3)设点M为ABC所在平面内的动点，EM平面AB1C1，求线段BM的长解析因为点B1在平面ABC内的正投影为B，所以B1BBA，B1BBC，又ABBC，如图建立空间直角坐标系Bxyz，B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，E(1,0,2)，(1)证明：设平面A1B1C1的法向量n1(x，y，z)，(2,0,0)，(0,2，2)，由，即，取y1，得n1(0,1,1)，又(1，2,2)，因为n1011(2)210，所以n1，所以CE平面A1B1C1.(2)设平面AB1C1的法向量n2(x，y，z)，(2,0，4)，(0,2，2)，由，即，取y1，得n2(2,1,1)，同理，平面ACC1的法向量n3(1,1,0)，所以cosn2，n3，由图知，二面角B1AC1C的平面角是钝角，所以二面角B1AC1C的平面角是.(3)设点M的坐标为(a，b,0)，则(a1，b，2)，由EM平面AB1C1，得，即解得，所以M(3，2,0)，|.- 14 -