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1、【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第8章 第8节 曲线与方程(理) 新人教B版一、选择题1平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是()A一条直线B一个圆C一个椭圆D双曲线的一支答案A解析过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面内，直线l与的交点C也是平面、的公共点点C的轨迹是平面、的交线2已知椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线一支D抛物线答案A解析|QF1|PF1|PQ|PF1|PF2|2a，动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆点
2、评关于轨迹方程的问题(1)定义法求轨迹方程已知点F1(1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是()A.1B1C.1D1答案C解析依题意得，|PA|PF2|，又|PA|PF1|AF1|2，故|PF1|PF2|2，点P的轨迹为椭圆，方程为1.若点P到直线y2的距离比它到点A(0,1)的距离大1，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案D解析由条件知，点P到直线y1的距离与它到点A(0,1)的距离相等，P点轨迹是以A为焦点，直线y1为准线的抛物线正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABC
3、D上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是()A圆B抛物线C双曲线D直线答案B解析由P向AD作垂线垂足为N，由题意知|PN|21|PM|21，|PN|PM|，即动点P到直线AD的距离等于动点P到点M的距离，点P的轨迹是抛物线在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在圆外)在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD.设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为()A双曲线B椭圆C圆D抛物线答案A解析由OP交O于M可知|PF|PO|PM|PO|OM|OF|(F在圆外)，P点的轨迹为双曲线，故选A.已知动圆M与圆C1：(x
4、4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程分析设动圆M的半径为r，则|MC1|rr1，|MC2|rr2，则|MC1|MC2|r1r2定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程解析如图，设动圆M的半径为r，则由已知得|MC1|r，|MC2|r.|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，24|AB|.根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆(2)直译法求轨迹方程已知平面上两定点A、B的距离是2，动点M满足条件1，则动点M的轨迹是()A直线B圆C椭圆D双曲线答案B解析以线段AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0
5、)，设M(x，y)，1，(1x，y)(1x，y)1，x2y22，故选B.设x1、x2R，常数a0，定义运算“*”，x1x*a)的轨迹是()A圆B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分答案D解析x1x*a)2，则P(x,2)设P(x1，y1)，即，消去x得，y4ax1(x10，y10)，故点P的轨迹为抛物线的一部分故选D.已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()答案A解析由log2x，log2y,2成等差数列得2log2ylog2x2y24x(x0，y0)，故选A.(2014广州模拟)已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角
6、形的直角顶点P的轨迹方程为()Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x2)Dx2y24(x2)答案D(2014上海徐汇一模)在平面直角坐标系中，动点P和点M(2,0)，N(2,0)满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为_答案y28x解析由题意可知(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，由|0，可知44(x2)0，化简，得y28x.(3)代入法求轨迹方程动点A在圆x2y21上移动，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24B(x3)2y21C(2x3)24y21Dy2答案C解析设中点M(x，y)，则动点A(2x3,2y)，A在圆x2y21上，(2x3)2(2y)21，即(
7、2x3)24y21，故选C.平面直角坐示系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线B椭圆C圆D双曲线答案A解析设C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1，3)，12，解得又121，x2y50，表示一条直线设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是_答案x24y21解析设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x24y21，即为所求3(2014山东青岛一模)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y28x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦
8、点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：xy100上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于()A5B6C7D8答案B解析由题意可知，p4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，4)，QN：y4，直线QN，MN关于l：xy100对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于y轴解得N(6，4)，故x0等于6.故选B.4(2014北京朝阳期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且ODBE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是()Ayx(1x)(0x1)Bxy(1y)(0y1)Cyx2(0
9、x1)Dy1x2(0x1)答案A解析设D(0，)，E(1,1)(01)，所以线段AD方程为yx(0x1)，线段OE方程为y(1)x(0x1)，联立方程组(为参数)，消去参数得点G的轨迹方程为yx(1x)(0x1)，故A正确5(2014河南开封第二次模拟)已知双曲线M：1和双曲线N：1，其中ba0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率是()A.BC.D答案A解析解方程组得x2，由c2，化简得10.所以，e.6(2013芜湖模拟)方程1的曲线即为函数yf(x)的图象，对于函数yf(x)，有如下结论；f(x)在R上单调递减；函数F(x)4f(x)3x不存在零
10、点；函数yf(x)的值域是R；若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称，则函数yg(x)的图象就是方程1确定的曲线其中正确命题的序号是()ABCD答案D解析当x0，y0时，方程为1，此时方程不成立当x0，y0，y0时，方程为1，即y3.当x0时，方程为1，即y3.作出函数的图象如图，由图象可知，函数在R上单调递减所以成立由F(x)4f(x)3x0得f(x)x.因为双曲线1和1的渐近线为yx，所以F(x)4f(x)3x没有零点，所以正确由图象可知函数的值域为R，所以正确若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称，则函数yg(x)的图象就是方程1，即1，所以错误，综上正确，故选D.二、填空题7(
11、2014北京模拟)ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_答案1(x3)8过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为_答案xy10解析设l1：y1k(x1)，则l2：y1(x1)，l1与x轴交点A(1，0)，l2与y轴交点B(0,1)，设AB中点M(x，y)，则消去k得，xy10.9已知两条直线l1：2x3y20和l2：3x2y30，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是_答案(x1)2y265解析设圆心P(x
12、，y)，动圆半径为r，P到l1、l2的距离分别为d1、d2，由题意知d169r2d144，dd25，即25，整理得，(x1)2y265.三、解答题10已知双曲线1的左右顶点分别为A1、A2，点P是双曲线上任一点，Q是P关于x轴的对称点，求直线A1P与A2Q交点M的轨迹E的方程解析由条件知A1(3,0)，A2(3,0)，设M(x，y)，P(x1，y1)，则Q(x1，y1)，|x1|3，直线A1P：y(x3)，A2Q：y(x3)，两式相乘得，点P在双曲线上，1，整理得1(xy0).一、解答题11(2013安徽名校联盟联考)设定点M(2,4)，动点N在圆x2y24上运动，线段MN的中点为点P.(1)
13、求点P的轨迹方程；(2)设直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程解析(1)设P点坐标为(x，y)，N点坐标为(x0，y0)，则由中点坐标公式有N点在圆x2y24上，xy4.(2x2)2(2y4)24，(x1)2(y2)21，即点P的轨迹方程为(x1)2(y2)21.(2)因直线l在x轴、y轴上的截距相等，故l的斜率存在且不为0，当直线l在x轴、y轴上的截距都为0时，设直线l的方程为ykx，即kxy0.直线l与(x1)2(y2)21相切，1k，故直线l的方程为yx.当l在x轴、y轴上的截距均不为0时，设直线l的方程为1，即xya0.直线l与(x1)2(y2)21相切
14、，则有1，解得a1或a1.故直线l的方程为xy10或xy10，综上可知l的方程为yx或xy10或xy10.12(2014大纲全国理)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解析(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得，y24
15、my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故MN的中点为E(2m23，)|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2(2m)2(2)2化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.13.(2014鹤壁
16、淇县检测)如图所示，已知C为圆(x)2y24的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在直线上，且0，2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程解析圆(x)2y24的圆心为C(，0)，半径r2，0，2，MQAP，点M是AP的中点，即QM是线段AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|2，又|AC|22，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.14(2015银川市质检)已知动圆过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为4.(1)求动圆圆心的轨迹C的方
17、程；(2)过点F(1,0)的直线交轨迹C于A，B两点，交它的准线于点N，已知1，2，求证12为定值解析(1)设动圆圆心为O1(x，y)，当O1不在y轴上时，则有|O1M|O1A|，化简整理可得y24x(x0)；当O1在y轴上时，O1即为O，则O(0,0)也满足方程y24x.动圆圆心的轨迹C的方程为y24x.(2)证法一：设直线AB的方程为xmy1，则N(1，)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y24my40，由1，2可知y11y1，y22y2，则11，21.1222()220.证法二：由1，2可知120，.分别过点A，B作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则.由可知1120.- 10 -