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1、考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013辽宁高考理科12）设函数满足则x0时,f(x)（ ）有极大值，无极小值 有极小值，无极大值既有极大值又有极小值 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。【解析】选D.由题意知，由得,当时,即,则当时,故在(0,+)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013新课标高考文科12）与（2013新课标高考理科11）相同已知函数 ，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用在处的切线为制定参数的标准.
2、【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当时，故.当时，由于上任意点的切线斜率都要大于，所以，综上.3. （2013新课标全国高考文科11）与(2013新课标全国高考理科T10)相同设已知函数，下列结论中错误的是（ ）A.，B.函数的图象是中心对称图形C.若是的极小值点，则在区间单调递减D.若是的极值点，则【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0R,使f(x0)=0,A正确.B项,假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数,所以f(x+
3、m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对xR恒成立,故3m+a=0,得m=-,n=m3+am2+bm+c=f ,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B正确.C项,由于=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x0,必定有一个极大值点x1,若x1x0,则f(x)在区间(-,x0)上不单调递减,C错误.D项,若x0是极值点,则一定有.故选C.4.（2013安徽高考文科10）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数是 ( )A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函
4、数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以，所以是方程的两根，所以解方程得，由上述可知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1x2,如图, 数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.5.（2013安徽高考理科10）若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是 ( )A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(
5、x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以 ，所以是方程的两根，所以解方程得，不妨设 由题意知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x10, 单调递增,因此g(x)= 至多有一个零点,不符合题意,应舍去.当a0时,令=0,解得x= 因为,函数g(x)单调递增;时，函数g(x)单调递减.所以x=是函数g(x)的极大值点,则g0,即ln+1-1=-ln(2a)0,所以ln(2a)0,所以02a1,即0a因为0x1x2,所以f(x1)=lnx1+1-2ax1=0,f(x2)=lnx2+1-
6、2ax2=0.则f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1)17. （2013天津高考文科8）设函数. 若实数a, b满足, 则 （ ）A. B. C. D. 【解题指南】先由确定a,b的大小，再结合的单调性进行判断.【解析】选A. 因为所以在其定义域内是单调递增的，由知又因为，故在上也是单调递增的，由 知，所以，因此。8.(2013浙江高考理科T8)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=
7、1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解题指南】当k=1,2时,分别验证f(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选C.当k=1时,f(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f(1)0,故排除A,B;当k=2时,f(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f(1)=0,在x=1附近左侧,f(x)0,所以x=1是f(x)的极小值点.9.(2013浙江高考文科T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.【解析】选B.因为f(
8、x)0(x(-1,1),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x(-1,0)时,f(x)为增函数,x(0,1)时,f(x)为减函数,所以选B. 10. （2013大纲版全国卷高考文科10）已知曲线（ ）A. B. C. D.【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出的值.【解析】选D.由题意可知，点在曲线上，因为，则，解得二、填空题11. （2013广东高考文科12）若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.【解析】对y=ax2-lnx求导得,而x轴的斜率为0,所以在点(1,a)处
9、切线的斜率为,解得.【答案】.12. （2013新课标高考理科16）若函数的图像关于直线对称，则的最大值为_.【解题指南】首先利用数的图像关于直线对称求出的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以，得，又，而，.得即，解得，.故，则令，即，则或或.当变化时，的变化情况如下表：故的最大值为.【答案】16三、解答题13. （2013大纲版全国卷高考文科21）已知函数（I）求；（II）若【解析】（I）当时，.令，得，.当时，在是增函数；当时，在是减函数；当时，在是增函数.（II）由得.当，时，所以在是增函数，于是当时，.综
10、上，的取值范围是.14. （2013江苏高考数学科20）设函数，其中为实数。（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。【解题指南】(1)先对f(x)=lnx-ax求导,利用条件f(x)在(1,+)上是单调减函数求出a的范围,再利用g(x)在(1,+)上有最小值求出a的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化.【解析】(1)令,考虑到f(x)的定义域为(0,+),故a0,进而解得xa-1,即f(x)在(a-1,+)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+)上是单调减函
11、数,故(1,+)(a-1,+),从而a-11,即a1.令g(x)=ex-a=0,得x=lna.当xlna时, lna时, 0.又g(x)在(1,+)上有最小值,所以lna1,即ae.综上,有a(e,+).(2)当a0时,g(x)必为单调增函数;当a0时,令=ex-a0,解得alna,因为g(x)在(-1,+)上是单调增函数,类似(1)有lna-1,即00,得f(x)存在唯一的零点.(ii)当a0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函数f(x)在ea,1上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外,当x0时, ,故f(x)在(0,+)上是单调增函数,所以f(x)只有
12、一个零点.(iii)当0ae-1时,令f(x)=-a=0,解得x=a-1.当0x0,当xa-1时, 0,即0ae-1时,f(x)有两个零点.实际上,对于0ae-1,由于f(e-1)=-1-ae-10,且函数f(x)在e-1,a-1上的图象连续,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x(0,a-1)时,f(x)=0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a-1,+)上的情况,先证f()=a(a-2-)e时,exx2.设h(x)=ex-x2,则=ex-2x,再设 =ex-2x,则=ex-2.当x1时, =ex-2e-
13、20,所以在(1,+)上是单调增函数.故当x2时, =ex-2x =e2-40,从而h(x)在(2,+)上是单调增函数,进而当xe时,h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20.即当xe时,exx2.当0ae时，f()=a(a-2-)0,且函数f(x)在a-1, 上的图象连续,所以f(x)在(a-1, )上存在零点.又当xa-1时,f(x)= 0,故f(x)在(a-1,+)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+)上只有一个零点.综合(i),(ii),(iii)可知,当a0或a=e-1时,f(x)的零点个数为1,当0ae-1时,f(x)的零点个数为2. 15. （2013湖南高考理科22）已
14、知，函数.(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a),求g(a)的表达式.(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解题指南】(1)首先是去掉绝对值符号,然后利用导数求出函数的单调区间,再求出f(x)在区间0,4上的最大值为g(a).(2)首先要根据函数的单调性讨论出a取什么范围时可能存在两点,在该两点处的切线相互垂直,然后利用两互相垂直的直线斜率之积等于-1去讨论求解.【解析】（1）当时，；当时，.因此，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增. ，则在上单调递减，.若，则在上单调递减
15、，在上单调递增，所以 g(a)=maxf(0),f(4).而，故当时；当时，.综上所述，（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求.当时， 在上单调递减，在上单调递增.若存在，使曲线在，两点处的切线互相垂直，则，且，即，亦即，由，得x1+2a(2a,3a),.故(*)成立等价于集合A=x|2ax3a与集合B=的交集非空.因为，所以当且仅当02a1,即0a0。（）求l的长度(注:区间(,)的长度定义为-)；（）给定常数k （0，1），当1-ka1+k时，求l长度的最小值。【解题指南】（1）求出方程的两个根；（2）利用导数求函数的最小值。【解析】（1）因为方程ax-(1+a2)x2=0(a
16、0)有两个实根故f(x)0的解集为x|x1xx2，因此区间，区间长度为。（2） 设则，令，由于0k0),所以f(1)=1,f(1)=-1,所以y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f(x)= ,x0可知:当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f(x)=0,解得x=a;因为x(0,a)时,f(x)0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上:当a0时,函数f(x)无极值,当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 21.(
17、2013福建高考理科T20)已知函数的周期为,图象的一个对称中心为,将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式.(2)是否存在,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数,若不存在,说明理由.(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在内恰有2 013个零点.【解题指南】第(3)问要求考生化整体到局部,先研究函数在一个周期内图象的性质,再从特殊到一般地解决问题.【解析】(1)由函数f(x)=sin(x+)
18、的周期为,0,得=2,又曲线y=f(x)的一个对称中心为,(0,),故,得=,所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin x.(2)当x时, sinx,0cos2xcos2xsinxcos2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在内是否有解,设G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x,则G(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x,所以G(x)0,G(x)在内
19、单调递增.又，.且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0,即存在唯一的满足题意.(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0,当sin x=0,即x=k(kZ)时,cos 2x=1,从而x=k(kZ)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程,xk(kZ),现研究x(0,)(,2)时方程解的情况,令,x(0,)(,2),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x)在x(0,)(,2)的交点情况, ,令h(x)=0,得或.当x变化时,h(x)和h(x)变化情况如下表当x0且x趋近于0时,h(x)趋
20、向于-,当x且x趋近于时,h(x)趋向于+,当x1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内无交点,在(,2)内有2个交点;当a-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内无交点;当-1a1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内有2个交点,由函数h(x)的周期性,可知当a1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)内恰有2013个交点;当a=1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)(,2)内有3个交点,由周期性,2 013=3671,所以n=671
21、2=1 342.综上,当a=1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n)内恰有2 013个零点. 22.（2013福建高考文科22）已知函数（,为自然对数的底数）.（I）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;（II）求函数的极值;（III）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0，欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论。【解析】方法一：（）由，得又因为曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得（），当时，为R上的增函数，所以函数无极值当时，令，得，；，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为
22、，无极大值综上，当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（）当时，令，则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解假设，此时，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故又时，知方程在上没有实数解所以的最大值为方法二：（）（）同解法一（）当时，直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解当时，方程（*）可化为，在上没有实数解当时，方程（*）化为令，则有令，得，当变化时，的变化情况如下表：当时，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是综上，得的最大值
23、为23.（2013广东高考理科21）设函数（）.（2） 当时，求函数的单调区间；（3） 当时，求函数在上的最大值.【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】（1）当时，求导可得，令可得，则当时，；当时，；当时，；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）对求导可得，因为，所以，令可得，显然而.则当时，；当时，；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.令,则,又当k=1时，所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,；当时,；所以令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,所以在上
24、恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.24.（2013广东高考文科21）设函数 (1) 当时,求函数的单调区间；(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】对函数求导得.(1)当时，由可知,在上单调递增.（2）方法一：当时，其图像开口向上，对称轴 ，且过点 （i）当，即时，在上单调递增，从而当时， 取得最小值，当时，取得最大值.（ii）当，即时，令解得，注意到，所以.因为，所以的最小值；因为，所以的最大值；综上所述，当时，的最小值,最大值.方法二：当时，对，都有，故；，故.又，所以，
25、.25. （2013湖北高考理科T22）设是正整数，为正有理数。（）求函数=的最小值；（）证明：r0, 讨论曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数. (3) 设a 0，m 0 时， 曲线yf (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。由，则 h(x)在h(x). 所以对曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数，讨论如下：当m 时,有0个公共点；当m= 时,有1个公共点；当m 时有2个公共点.(3) 令。，且。所以.30.（2013新课标全国高考理科21）已知函数f(x)=ex-ln(x+m),(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.【解
26、题指南】(1)求导，然后将代入导函数，求得，讨论分析导函数的符号，得单调性.(2)求的最小值，证明最小值即可.【解析】(1)因为，是的极值点，所以，解得所以函数，其定义域为，因为设则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，即，当时，所以在上是减函数，在上是增函数.(2)当，时，故只需证明当时，.当时，函数在单调递增.由，故在上有唯一实根，且.当时，；当时，从而当时，取得最小值.由得 故.综上，当时，.31. （2013新课标全国高考文科21）已知函数。（1）求的极小值和极大值； （2）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。【解题指南】（1）求导函数，令求极值点，列表求极值.(2)设
27、切线，表示出切线的方程，令得在轴上的截距，利用函数知识求得截距的取值范围.【解析】(1) ,令得或.列表如下0（0,2）200减函数极小值增函数极大值减函数函数的极小值为，极大值为.(2)设切点为，则切线的斜率为此时切线的方程为令，得.，由已知和（1）得 ，则当t(0,+)时,h(t)的取值范围为；当t(-,-2)时,h(t)的取值范围是(-,-3),所以当x0(-,0)(2,+)时,x的取值范围是(-,0),综上,在x轴上的截距的取值范围是(-,0).32. （2013辽宁高考文科21）证明：当时，；若不等式对恒成立，求实数的取值范围。【解题指南】构造函数，利用函数的单调性证明不等式；利用已
28、知的不等式恰当地放缩，将复杂的不等式转化为简单的不等式【解析】记，则当时，则在上是增函数，所以；当时，则在上是减函数，所以故当时，即；记，则当时，所以在上是减函数，则即，综上，当时，；由可知，当时，所以当时，不等式恒成立下面证明，当时，不等式不恒成立由可知，则当时，所以存在（例如取中较小者）满足即当时，不等式不恒成立综上，实数的取值范围为33.（2013辽宁高考理科21）已知函数.当时，求证：；若恒成立，求实数的取值范围。【解题指南】由于欲证不等式不便于直接证明，因而可以采用间接证明的方法分析法；【解析】证明：要证时，只需证记则当时，因此在上为增函数，故所以，；要证时，只需证记则当时，因此在上
29、为增函数，故所以，综上可知， ，即由知，则有设，则记，则当时，从而在上为减函数，于是当时，故在上为减函数，所以从而所以时，在上恒成立下面证明当时，在上不恒成立。由知，则有记则由前所述，当时，故在上为减函数，于是即因为当时，所以存在使得此时即当时，在上不恒成立。综上，实数的取值范围为34.（2013新课标高考理科21）已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x+2（）求a，b，c，d的值（）若x2时，f(x)kgf(x)，求k的取值范围。【解题指南】（）根据曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)可将P(0，2)分别代入到yf(x)和曲线yg(x)上，再利用在点P处有相同的切线y4x+2，对曲线yf(x)和曲线yg(x)进行求导，列出关于的方程组求解.（）构造函数，然后求导，判断函数的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】（）由已知得，.而，.故，.从而，.（）由（）知，.设，则.由题设可得，得.令，即，得，.（）若，则，从而当时，当时，即在单调递减，在单调递增，故在上有最小值为.故当时，恒成立，即.（）若当，则，当时，即在上单调递增，而,故当且仅当时，恒成立，即.