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1、考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1（2011安徽高考文科10）函数在区间上的图象如图所示，则n可能是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，则，由=0可知，结合图象可知函数应在（0，）递增，在递减，即在处取得极大值，由知存在.2.（2011辽宁高考理科11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意xR，则f（x）2x+4的解集为（）（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）【思路点拨】先构造函数，求其导数，将问题转化为求单
2、调性问题即可求解【精讲精析】选B.构造函数，则，又因为，所以，可知在R上是增函数，所以可化为，即，利用单调性可知，选B.3（2011安徽高考理科10）函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是（）（A） (B) (C) (D) 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值.【精讲精析】选B.函数的导数则在上大于0，在上小于0，由图象可知极大值点为，结合选项可得m=1,n=2.二、填空题4.（2011广东高考理科12）函数在 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值时x的值.
3、【精讲精析】由解得或，列表如下：02+0-0+增极大值减极小值增当时，取得极小值.【答案】25（2011辽宁高考文科16）已知函数有零点，则的取值范围是 【思路点拨】先求，判断的单调性结合图象找条件本题只要使的最小值不大于零即可【精讲精析】=由得，由得，在处取得最小值只要即可，【答案】6.（2011江苏高考12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值.【精
4、讲精析】设则，过点P作的垂线，所以，t在上单调递增，在上单调递减，.【答案】三、解答题7（2011安徽高考理科16）设，其中为正实数（1）当时，求的极值点；（2）若为上的单调函数，求的取值范围.【思路点拨】（1）直接利用导数公式求导，求极值. （2）求导之后转化为恒成立问题.【精讲精析】对求导得，（1）当令，则.解得，列表得x+0-0+极大值极小值所以，是极小值点，是极大值点.（2）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0,知在R上恒成立，因此并结合a0,知.8.（2011福建卷理科18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x
5、（单位：元/千克）满足关系式，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求a的值.（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得的值.（2）利润为=(每千克产品的售价-每千克产品的成本) 销售量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值. 【精讲精析】（1）因为时，所以所以.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润从而于是，当变化时，的变化情况如下表，40单调递增
6、极大值42单调递减由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.9.（2011福建卷文科22）已知a，b为常数，且a0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f(e)=2（e=2.71828是自然对数的底数）.（1）求实数b的值.（2）求函数f（x）的单调区间.（3）当a=1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个tm，M，直线y=t与曲线y=f（x）（x，e）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由.【思路点拨】(1) ;(2)对函数求导得
7、导函数，由导函数得单调区间，必要时分类讨论；（3）列表判断的单调性和极值、最值情况，再结合的草图即可探究出是否存在满足题意的.【精讲精析】(1)由得（2）由（1）可得从而因为故： 当时，由得；由得； 当时，由得；由得.综上，当时，函数的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为.当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0,1）.(3)当时，由（2）可得，当在区间上变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增又，所以函数的值域为.据此可得，若则对每一个直线与曲线都有公共点；并且对每一个，直线与曲线都没有公共点.综上，当时，存在最小的实数，最大的实数，使得对每一个，直线
8、与曲线 都有公共点.10（2011江苏高考17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设.（1）某广告商要求包装盒的侧面积S最大，试问应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【思路点拨】本题主要考查的是从实际生活中提取数学模型，然后利用数学知识进行解决，所以解决本题的关键是正确地列出侧面积和容积的表达式，然后根据二次函
9、数的最值和导数法求最值求解.【精讲精析】设包装盒的高为，底面边长为由已知得.（1），所以当时，S取得最大值.（2）.由得，(舍)或.当时；当时，所以当时取得极大值，也是最大值,此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.11.（2011江苏高考19）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（1）设，若和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.【思路点拨】本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时要注意挖掘已知的信息，注意条件的转化，函数和在区间上单调性一致，可以转化为导数之
10、积恒为正来处理.【精讲精析】解法一：.（1）由题意得，在上恒成立.因为，故，进而，即在区间上恒成立，所以，因此的取值范围是.（2）令，解得，若，由得，又因为，所以函数和在上不是单调性一致的.因此.现设.当时，；当时，.因此，当时，故由题设得且，从而，于是，因此，且当时等号成立.又当时，),从而当时，,故函数和在上单调性一致.因此的最大值为.解法二：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即即（2）当时，因为函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，即，设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为则；当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，即，当时，因为，函数和
11、在区间（a, b）上单调性一致，所以，即而x=0时，不符合题意， 当时，由题意：.综上可知，.12. （2011新课标全国高考理科21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）如果当，且时，求的取值范围.【思路点拨】第（1）问，对函数求导得，对应切线的斜率，切点即在切线上又在原函数上，利用上述关系，建立方程组，求得的值；第（2）问，首先化简函数式，再来证明不等式成立即可，必要时分类讨论.【精讲精析】（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（2）由（1）知，所以.考虑函数，则.(i)设，由知，当时，h(x)递减.而，故当时， ，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且
12、x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0可得,x时，h(x)3,所以c-20,所以令得: ; 令得:,当时，即当时，函数y在（0，2）上是单调递减的，故建造费最小时r=2.当时，即时，函数y在（0，2）上是先减后增的，故建造费最小时.18.（2011辽宁高考理科21）已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.(1)讨论f（x）的单调性；（2）设a0，证明：当0x时，f（+x）f（x）；（3）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B
13、两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：【思路点拨】(1)要先考虑定义域，再求导数，然后对进行讨论，从而得到所求函数的单调性；（2）可先构造函数，将所证结论转化为证明恒成立，再对求导，利用单调性可解决问题；（3）先设A（，），B（，），结合(1) 可知且先增后减，利用（2）的结论，可证 ，从而，确定的取值范围，最后利用(1)的结论得证【精讲精析】(1)的定义域为，.若，则，所以在单调递增.若，则由得，且当时，当时， ，所以在单调递增，在单调递减. 综上所述，当a0时，在单调递增，当a0时，在单调递增，在单调递减，（2）设函数，则，.当时，而，所以.故当时，. （3）由(1)可得，当时，函数y=
14、f（x）的图象与x轴至多只有一个交点，故，从而的最大值为，且不妨设A（，），B（，），则，由（2）得从而，于是 由(1)知， 19（2011北京高考理科T18）已知函数.（1）求的单调区间； （2）若对于任意的，都有，求k的取值范围.【思路点拨】求导后，分k0与k0时，f(x)与的情况如下：+0-0+0所以的单调增区间是和；单调减区间是.当时，与的情况如下：-0+0-0所以的单调减区间是和；单调增区间是.（2）当时，因为，所以不会有，.当时，由（1）知在上的最大值是.所以等价于，解得.故当，时，k的取值范围是.20（2011北京高考文科T18）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最
15、小值.【精讲精析】（1）.令，得，与的情况如下：-0+所以的单调递减区间是；单调递增区间是.（2）当，即时，函数在上单调递增，所以在区间上的最小值为；当，即时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最小值为.当，即时，函数在上单调递减，所以在区间上的最小值为.21（2011湖南高考文科T22）设函数（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个极值点，记过点的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用分类讨论思想、函数和方程相互转化的思
16、想分析解决问题的能力.【精讲精析】（1）的定义域为,令当故上单调递增当的两根都小于0，在上，故上单调递增当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，因为，所以，又由(1)知，于是，若存在，使得则即亦即再由（1）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得22.（2011江西高考理科19）设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围.（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值.【思路点拨】（1）要使在上存在单调递增区间，需在上存在大于零的解，即得a的取值范围.（2）首先求出在上的最小值为f(4),从而求出a的值，进一步易求在该区间上的
17、最大值为f(2).【精讲精析】23（2011陕西高考理科T19）如图，从点P1（0，0）作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；，记点的坐标为（）（1）试求与的关系（）；（2）求【思路点拨】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标； （2）尝试求出通项的表达式，然后再求和【精讲精析】（1）设点的坐标是，在点处的切线方程是，令，则（）（2），于是有，即24（2011陕西高考理科T21）设函数定义在上，导函数，（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围
18、；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论【精讲精析】（1），（为常数），又，所以，即，；，令，即，解得，当时，是减函数，故区间是函数的减区间；当时，是增函数，故区间是函数的增区间；所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是（2），设，则，当时，即，当时，因此函数在内单调递减，当时，=0，；当时，=0， （3）满足条件的不存在证明如下：证法一
19、假设存在，使对任意成立，即对任意有 但对上述的，取时，有，这与左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立证法二 假设存在，使对任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而时，的值域为，当时，的值域为，从而可以取一个值，使，即,，这与假设矛盾不存在，使对任意成立25.（2011陕西高考文科T21）设，（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）求的取值范围，使得对任意0成立【思路点拨】（1）先求出原函数的导数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意0成立的恒成立
20、问题转化为函数的最小值问题【精讲精析】（1）由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间.当（1，+）时，0，是增函数，故（1，+）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为(2)，设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即当x1时，=0,即综上所述，当x=1时，当0x1时，（3）由（1）知的最小值为1，所以，对任意，成立即从而得26（2011浙江高考理科22）设函数，R（1）若为的极值点，求实数；（2）求实数的取值范围，使得对任意的（0,3，恒有4成立注：为自然对数的底数【思路点拨】（）利用是极值点的必
21、要条件，注意解出值后要进行检验；（）恒成立问题，时显然满足题意，时只需4此题主要考查了函数极值的概念、导数的基本运算、导数的应用，不等式等基础知识，同时也考查了推理论证能力，分类讨论等分析解决问题的能力.【精讲精析】（1）求导得 =2(-a)+=()(2ln x+1-). 因为x=e是f(x)的极值点，所以= ，解得 或，经检验，符合题意，所以 或.（2）当时，对于任意的实数,恒有成立， 当，由题意，首先有， 解得， 由（1）知， 令 ，则， 且 =. 又在（0，+）内单调递增，所以函数在（0，+）内有唯一零点，记此零点为，则，. 从而，当时，；当时，；当时，即 在内单调递增，在内单调递减，在
22、内单调递增.所以要使对恒成立，只要 成立. ，知 将代入得，又，注意到函数在1,+)内单调递增，故.再由以及函数2xlnx+x在（1, +)内单调递增，可得.由解得，.所以综上，的取值范围为.27.（2011浙江高考文科21）设函数（1）求的单调区间.（2）求所有实数，使对恒成立.注：为自然对数的底数. 【思路点拨】（1）题中直接由导数的正负来确定其单调区间；（2）题中不等式恒成立问题，只需【精讲精析】(1）因为，其中， 所以. 由于，所以的增区间为（0，）,减区间为（,+）（2）由题意得， ，即， 由（1）知在1,a内单调递增,故在内单调递增， 要使对恒成立， 只要 解得28.（2011天津
23、高考文科T19）已知函数，其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）证明：对任意在区间内均存在零点【思路点拨】（1）由导数的几何意义求切线方程；（2） 利用导数研究函数的单调性；（3） 对分区间讨论函数零点.【精讲精析】 （1）当时，所以曲线在点处的切线方程为（2），令，解得因为，以下分两种情况讨论： 若变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是.若，当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是（3）由（2）可知，当时，在内单调递减，在内单调递增，以下分类讨论：当时，在（0，1）内单调递减，所以对任意在区间（0，1）内均存在零点.若所以内存在零点.所以内存在零点.所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点.当时，在内单调递减，在内单调递增，若 所以内存在零点.若.所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点.综上所述，对任意在区间（0，1）内均存在零点. 30