《高数无穷级数复习ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数无穷级数复习ppt课件.ppt（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数正正项项级级数数幂级数幂级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数泰勒级数泰勒级数0)(xRn为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容2 nnnuuuuu32111 1、常数项级数、常数项级数 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散3性质性质1 1
2、: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. . 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). .1
3、1、常数项级数、常数项级数4常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛5定义定义0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法若若 1nnu收敛收敛
4、( (发散发散) )且且)(nnnnvuuv , ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .6(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果lvunnn lim,则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛; (3) 当当 l时时, 若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;7设设 1nnu为正项级数为正项级数,如如果果0lim lnunn (或或 nnnulim),则则级级数数 1nnu发发散散;如如果果有有
5、1 p, 使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.(3) (3) 极限审敛法极限审敛法8(4) (4) 比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 D DAlembertAlembert 判别法判别法) )设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效.(5) (5) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果 nnnulim)( 为数或为数或 , ,则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级
6、数发散; ;1 时失效时失效. .9定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. . )1()1(111nnnnnnuu 或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,则则级数收敛级数收敛, , 且其和且其和1us , , 其余 项其余 项nr的绝对值的绝对值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法10定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定定理理 若若 1
7、nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.定义定义: :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 0nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法115 5、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛
8、域如如果果Ix 0,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛,12则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .函数项级数函数项级数)(1xunn 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域, ,(3) (3) 和函数和函数在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs, ,称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. .13(1) (1) 定义定义形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,00时时当当
9、 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.6 6、幂级数、幂级数nnnxa 014如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;2 2、幂级数、幂级数(1) (1) 收敛性收敛性15如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收
10、敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论16定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(
11、3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;17a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (2)(2)幂级数的运算幂级数的运算18b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收
12、敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次.193 3、幂级数展开式、幂级数展开式 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数.nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点0 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数.(1) 定义定义20定理定理 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xU
13、内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. .21(3) 展开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收
14、则级数在收敛区间内收b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.22),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常见函数展开式常见函数展开式23)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x
15、24(5) 应用应用a.a.近似计算近似计算b.b.欧拉公式欧拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit 25二、例题二、例题;)()(:1111nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 e11nnnlim又又, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散26;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim
16、11 nnn21lim , 121 ,21收敛收敛 nnn根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛27 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,时时当当0a原级数收敛；原级数收敛；,时时当当10 a原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim nnnn原级数也发散原级数也发散28敛？敛？是条件收敛还是绝对
17、收是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数 1ln)1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛29,ln)1(1级数级数是交错是交错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：nnnnnnnln11limln1lim ),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf, 0ln11lim1 nnnn,), 1(上单增上单增在在,ln1单减单减即即xx ,1ln1时单减时单减当当故故 nnn知此交错级数收敛，知此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条
18、件收敛30.)1)(1(0敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn敛半径为敛半径为的收的收, 111 x收收敛敛域域为为, 20 x即即则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs两边逐项积分两边逐项积分31 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( xxxs.)2(12x 32.1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例4 4解解,32)1l
19、n(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(133 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x34的幂级数的幂级数成成的和函数展开的和函数展开将级数将级数)1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解设法用已知展开式来解设法用已知展开式来解的展开式，的展开式，是
20、是分析分析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x3521sin21cos221cos21sin2 xx 01202)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),(36一一、 选选择择题题: :1 1、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11nn； ( (B B) ) 11nnn；
21、 ( (C C) ) 1321nn； ( (D D) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11)45( nn； ( (B B) )11)54( nn； ( (C C) )111)45()1( nnn； ( (D D) ) 11)5445(nn. .测测 验验 题题375 5、设、设a为非零常数为非零常数, ,则当则当( )( )时时, ,级数级数 1nnra收敛收敛 . . (A) (A)1 r； (B) (B)1 r； (C) (C)ar ； (D) (D)1 r. .6 6、幂级数、幂级数 11)1()1(nnn
22、nx的收敛区间是的收敛区间是( ).( ). (A) (A) )2 , 0(； (B) (B) )2 , 0； (C) (C) 2 , 0(； (D) (D) 2 , 0. .383 3、下列级数中、下列级数中, ,收敛的是收敛的是( )( ) (A) (A) 1222) !(nnn； (B) (B) 1!3nnnnn； (C) (C) 22sin1nnn； (D) (D) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和数列、部分和数列 ns有界是正项级数有界是正项级数 1nnu收敛的收敛的 ( ( ) ) (A)(A)充分条件；充分条件； (B) (B)必要条件；必要条件； (C)(C)充要条件；充
23、要条件； (D) (D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 . .397 7、若幂级、若幂级 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为:1R 10R; ; 0nnnxb的收敛半径为的收敛半径为:2R 20R, ,则幂级数则幂级数 0)(nnnnxba的收敛半径至少为的收敛半径至少为( )( ) (A)(A)21RR ； (B) (B)21RR ； (C)(C) 21,maxRR； (D) (D) 21,minRR . .8 8、当、当0 k时时, ,级数级数21)1(nnknn 是是( )( ) (A) (A)条件收敛；条件收敛； (B) (B)绝对收敛；绝对收敛； (C) (C)发散；发散
24、； (D) (D)敛散性与敛散性与值无关值无关k. .409 9、0lim nnu是是级级数数 1nnu收收敛敛的的( ( ) ) ( (A A) )充充分分条条件件； ( (B B) )必必要要条条件件； ( (C C) )充充要要条条件件； ( (D D) )既既非非充充分分又又非非必必要要条条件件 . .1 10 0、幂幂级级数数 1)1(nnxnn的的收收敛敛区区间间是是( ( ) ) ( (A A) ) )1,1( ； ( (B B) ) 1,1( ； ( (C C) ) )1,1 ； ( (D D) ) 1,1 . .二、二、 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: : 1 1
25、、 1222) !(nnn； 2 2、 1223cosnnnn . .41三、判别级数三、判别级数 11ln)1(nnnn的敛散性的敛散性 . .四、求极限四、求极限 )2(842lim312719131nnn . .五、五、 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间: :1 1、 153nnnnxn； 2 2、 122nnnxn. .六、六、 求幂级数求幂级数 1)1(nnnnx的和函数的和函数 . .七、七、 求数项级数求数项级数 12!nnn的和的和 . .八、八、 试将函数试将函数2)2(1x 展开成展开成的幂级数的幂级数x. .42测验题答案测验题答案一、一、1 1、B B； 2 2、B B； 3 3、C C； 4 4、C C； 5 5、D D； 6 6、C C； 7 7、D D； 8 8、A A； 9 9、B B； 10 10、A A. .二、二、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛、收敛. .三、条件收敛三、条件收敛. .四、四、48. . ( (提示提示: :化成化成 nn3323122) )五、五、1 1、)51,51 ； 2 2、)2, 2( . .六、六、 0, 0)1 , 0()0 , 1(),1ln()11(1)(xxxxxs. .七、七、e2. .)2 , 2(,2)2(1 1112xxnxnnn八