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1、第3课时 数学归纳一、填空题1 平面内有n(n2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，那么这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为_解析：设最多分成的圆弧的段数为f(n)，那么由题图容易发现，f(2)422，f(3)932，f(4)1642.答案：n22(2022江西吉水一中)设nN*，那么46n5n1除以20的余数为_解析：取n1，那么46n5n1242549，被20除余数为9.答案：93用f(n)表示凸n边形的内角和，那么f(k1)f(k)_.解析：因为由凸k边形变为凸k1边形时，其内角增加了一个三角形的内角和，所以f(k1)f(k).答案：4用数
2、学归纳法证明“123n321n2(nN*)时，从nk到nk1时，该式左边应添加的代数式是_解析：当nk1时，左边12k(k1)k21，从nk到nk1时，应添(k1)k2k1.答案：2k15.(江苏南京模拟)用数学归纳法证明不等式的过程，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_解析：不等式的左边增加的式子是.答案：6用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是_解析：n1时，2113，n2,3，9时2n103，n010.答案：107数列an中，a12，an1(nN*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜想得出an的表达式为_
3、解析：a12，a2，a3，a4，猜想an.答案：an二、解答题8用数学归纳法证明：.证明：(1)当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立(2)假设当nk时等式成立，即，那么，即当nk1时等式成立由(1)(2)知，等式成立9(2022江西莲塘一中测试)用数学归纳法证明：1.证明：(1)当n1时，左边1，右边，命题成立(2)假设当nk时命题成立，即1F，那么当nk1时，左边1.上式说明当nk1时命题也成立由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立10(2022通州市高三素质检测)用数学归纳法证明不等式：1(nN*且n1)证明：(1)当n2时，不等式的左边为1，故n2时表达式成立；(2)假设当nk(
4、k1，kN*)时不等式成立，即1那么，当nk1时，由k2得1111当k2时，k2k10成立，故当nk1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，当n1，nN*时不等式都成立1试证：当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64整除证明：证法一：(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立(2)假设当nk时，f(k)32k28k9能被64整除由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1时命题也成立根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立证法二：(1)当n1时，f(1)328964，命题显然成立(2)假设当nk时，f(k)32k28k9能被64整除，由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，nk1时命题成立根据(1)(2)可知，对任意的nN*命题都成立2Sn1，求证： 1(n2，kN*)证明：(1)当n2时， 11，即n2时命题成立(2)设nk(k2，kN*)时命题成立，即S2k11，当nk1时，S2k111，故当nk1时，命题成立由(1)(2)知，对nN*，n2，不等式S2n1都成立