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1、课时跟踪训练(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质 根底稳固一、选择题1(2022湖北七市高三联考)设直线m与平面相交但不垂直，那么以下说法中正确的选项是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直解析对于A，在平面内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，只要m，过直线m必有并且也只有一个平面与平面垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面，C错误；对于D，与直线m平行且与平面垂直的平面有无数个，D错误应选B.答案B2(
2、2022浙江卷)互相垂直的平面，交于直线l，假设直线m，n满足m，n，那么()Aml Bmn Cnl Dmn解析对于选项A，l，l，m，m与l可能平行，也可能异面，应选项A不正确；对于选项B，D，m，n，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，应选项B，D不正确对于选项C，l，l.n，nl.应选C.答案C3(2022湖南长沙模拟)，为平面，l是直线，假设l，那么“，是“l的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由，l可以推出l；反过来，假设l，l，那么根据面面垂直的判定定理，可知，.所以假设l，那么“，是“l的充要条件答案C4如图，ABC为直角三角形，其中ACB
3、90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPCBPAPBPCCPAPBPCDPAPBPC解析M为AB的中点，ACB为直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.答案C5(2022贵阳监测)如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析A中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BPC平面APC，BCPC，所以BC平面APC，又AP平面APC，所以APB
4、C，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，应选B.答案B6.(2022湖北孝感高中期中)如下图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出以下结论：C1M平面A1ABB1；A1BNB1；平面AMC1平面CBA1.其中正确结论的个数为()A0 B1C2 D3解析在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1B1C1平面ABB1A1.因为BCAC，所以B1C1A1C1.因为M为A1B1的中点，所以C1MA1B1.因为平面A1B1C1平面ABB1A1A1B1，所以C1M平面ABB1A1.故正确由知，C1MA1B，又因为AC1A1B，C
5、1MAC1C1，所以A1B平面AMC1，所以A1BAM.因为M，N分别是A1B1，AB的中点，所以ANB1M是平行四边形，所以AMNB1.因为A1BAM，所以A1BNB1.故正确由知A1B平面AMC1，因为A1B平面CBA1，所以平面AMC1平面CBA1.故正确综上所述，正确结论的个数为3.应选D.答案D二、填空题7.(2022河北石家庄调研)如图，PA平面ABC，BCAC，那么图中直角三角形的个数为_解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，那么PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角
6、形答案48如下图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，就有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC等)三、解答题9(2022山东青岛质检)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积解(1)证明：由得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD.同
7、理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BCG.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC平面BCD，平面ABC平面BDCBC，AO平面ABC，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOABsin60，所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin120.10(2022云南省高中毕业班统一检测)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，ABBC2a，AC2a，E是PA的中点(1)求证：平面BED平面PAC；(2)求点E到平面PBC的距离解(1)证明：在平行
8、四边形ABCD中，ABBC，四边形ABCD是菱形，BDAC.PC平面ABCD，BD平面ABCD，PCBD.又PCACC，BD平面PAC，BD平面BED，平面BED平面PAC.(2)设AC交BD于点O，连接OE，如图在PCA中，易知O为AC的中点，E为PA的中点，EOPC.PC平面PBC，EO平面PBC，EO平面PBC，点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离PC平面ABCD，PC平面PBC，平面PBC平面ABCD，交线为BC.在平面ABCD内过点O作OHBC于点H，那么OH平面PBC.在RtBOC中，BC2a，OCACa，OBa.SBOCOCOBBCOH，OHa.点E到平面PBC的距离
9、为a.能力提升11空间四边形ABCD中，ABCD2，ADBC3，M，N分别是对角线AC与BD的中点，那么MN与()AAC，BD之一垂直 BAC，BD不一定垂直CAC，BD都不垂直 DAC，BD都垂直解析连接BM，DM，AN，CN，在ABC和ACD中，ABCD，ADBC，ACCA，故ABCCDA.又M为AC中点，BMDM.N为BD的中点，MNBD.同理可证MNAC，应选D.答案D12如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，那么在三棱锥ABCD中，以下命题正确的选项是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平
10、面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，那么CDAB.又ADAB，CDADD，故AB平面ADC.平面ABC平面ADC.应选D.答案D13(2022内蒙古包头一模)直线a，b，平面，且满足a，b，有以下四个命题：对任意直线c，有ca；存在直线c，使cb且c；对满足a的任意平面，有；存在平面，使b.其中正确的命题有_(填序号)解析因为a，所以a垂直于内任一直线，所以正确；由b得内存在一直线l与b平行，在内作直线ml，那么mb，ma，再将m平
11、移得到直线c，使c即可，所以正确；由面面垂直的判定定理可得不正确；假设b，那么由b得内存在一条直线l与b平行，必有l，即有，而b的平面有无数个，所以正确答案14如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为_解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值当PCDE时，PC的长度最小，此时PC.答案15(2022北京海淀区零模)如下图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA，E是侧棱
12、PA上的动点(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)如果E是PA的中点，求证：PC平面BDE；(3)不管点E在侧棱PA的任何位置，是否都有BDCE？证明你的结论解(1)因为PA平面ABCD，所以VPABCDS正方形ABCDPA12，即四棱锥PABCD的体积为.(2)证明：如下图，连接AC交BD于点O，连接OE.因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，又E是PA的中点，所以PCOE，因为PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC平面BDE.(3)不管点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE.证明如下：因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC，因为PA底面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDP
13、A，又ACPAA，所以BD平面PAC.因为不管点E在侧棱PA的任何位置，都有CE平面PAC，所以不管点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE.16.(2022全国卷 )如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)假设PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解(1)证明：由BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，又CDPDD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如下图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，又AD
14、ABA，可得PE平面ABCD.设ABx，那么由可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而ABDCPAPD2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin6062.延伸拓展(2022山东青岛质检)如下图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，点D是BC的中点，BCBB1.(1)求证：A1C平面AB1D；(2)试在棱CC1上找一点M，使得MBAB1，并说明理由解(1)证明：如下图，连接A1B交AB1于点O，连接OD.O，D分别是A1B，BC的中点，A1COD.A1C平面AB1D，OD平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)M为CC1的中点理由如下：在正三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，四边形BCC1B1是正方形M为CC1的中点，D是BC的中点，B1BDBCM，BB1DCBM.又BB1DBDB1，CBMBDB1，BMB1D.ABC是正三角形，D是BC的中点，ADBC.平面ABC平面BB1C1C，平面ABC平面BB1C1CBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C.BM平面BB1C1C，ADBM.ADB1DD，BM平面AB1D.AB1平面AB1D，MBAB1.