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1、4.1 弧度制与任意角的三角函数考点一象限角与终边相同的角1.若角是第二象限角,则是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角2.(2019长春模拟)若角的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角的取值集合是()A. B.C.D.3.下列各角中,与角330的终边相同的是()A.150B.-390C.510D.-1504.与-2 010终边相同的最小正角是_.【解析】1.选C.因为是第二象限角,所以+2k+2k,kZ,所以+k+k,kZ.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.综上,是第一或第三象限角.2.选D.因为直线y=
2、-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角的取值集合为=k-,kZ.3.选B.与角330的终边相同的角为=k360+330(kZ),令k=-2,可得=-390.4.因为-2 010=(-6)360+150,所以150与-2 010终边相同,又终边相同的两个角相差360的整数倍,所以在0360中只有150与-2 010终边相同,故与-2 010终边相同的最小正角是150.答案:1501.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360360范围内的角和,写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角,再加上360的整数倍,即得区
3、间角集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k360+(0360,kZ)的形式,即找出与已知角终边相同的角,再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角.3.求或n(nN*)所在象限的方法(1)将的范围用不等式(含有k)表示.(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论,得到或n(nN*)所在的象限.提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角的终边逆时针旋转180可得角+180的终边,类推可知+k180(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角.【秒杀绝招】结论法解T1,若角是第一(或二)
4、象限角,则是第一或第三象限角;若角是第三(或四)象限角,则是第二或第四象限角.排除法解T2,终边在直线上,是k,终边在射线上是2k,排除A,B;直线y=-x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D.考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式【典例】1.若扇形的圆心角=120,弦长AB=12 cm,则弧长l=_cm.2.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为_.【解题导思】序号联想解题1由扇形的圆心角想到弧长公式l=|r2由扇形的周长想到扇形面积公式S=lr,周长=l+2r,转化为函数求最值【解析】1.设扇形的半径为r cm,如图.由sin 60=得r=4cm,所以l
5、=|r=4=(cm).答案:2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积S=lr=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时=2(rad).答案:2有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.1.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.【解析】设圆心角是,半径是r,则解得(舍去)或所以扇形的圆
6、心角为 rad.2.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?【解析】设圆心角是,半径是r,则2r+r=40.又S=r2=r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时210+10=40,=2,所以当r=10,=2时,扇形的面积最大.考点三任意角三角函数的定义及应用命题精解读考什么:(1)三角函数符号判断,比较大小、解不等式,运用定义求值等等.(2)考查数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.怎么考:与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函数值等等.学霸好方法1.三角函
7、数值符号的判断方法(1)先分别判断每个三角函数值的符号.(2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号.2.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置.(2)根据不等式组定出角的范围.(3)求交集,找单位圆中公共的部分.(4)写出角所满足的范围.三角函数符号判断【典例】(2019衡水模拟)若sin cos 0,则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选D.由0,得0,所以cos 0.又sin cos 0,所以sin baB.bcaC.abcD.cab2.(2020盐城模拟)已知,是第一象限角,且sin sin ,则()A.B.cos D.
8、tan tan 【解析】1.选A.b=cos 55=sin 35sin 33=a,c=tan 35sin 35=b,所以cba.2.选D.因为,是第一象限角,所以sin 0,sin 0,又sin sin ,所以sin2sin20,所以1-cos21-cos2,所以cos2 0,所以tan2tan2,因为tan 0,tan 0,所以tan tan .三角函数式如何比较大小?提示:对于较为简单的三角不等式,在单位圆中,利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态,注意实线与虚线),再通过大小找到其所满足的角的区域,由此写出不等式的解集.运用定义求值【典例】1.(2019南昌模拟)已知角的终边在直
9、线y=-x上,且cos 0,则tan =_.2.(2019许昌模拟)设是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos =x,则tan =_.【解析】1.如图,由已知,角的终边在第二象限,在其终边上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tan =-1.答案:-12.因为是第二象限角,所以cos =x0,即x0,则()A.sin 20B.cos 0C.sin 0D.cos 20【解析】选A.因为tan 0,所以(kZ)是第一、三象限角.所以sin ,cos 都可正、可负,排除B,C.而2(2k,2k+)(kZ),结合正、余弦函数图象可知,A正确.取=,则tan =10,而cos
10、 2=0,所以D不正确.2.若角的终边经过点P(-,m)(m0)且sin =m,则cos 的值为_.【解析】由已知r=,所以sin =m,因为m0,所以m=,所以r=2,所以cos =-.答案:-3.函数y=lg sin x+的定义域为_.【解析】要使函数有意义,则有即解得(kZ),所以2kx+2k,kZ.所以函数的定义域为.答案:1.已知点M在函数y=log3x的图象上,且角的终边所在的直线过点M,则tan =()A.-B.C.-3D.3【解析】选C.因为点M在函数y=log3x的图象上,所以a=log3=-1,即M,所以tan =-3.2.已知角的终边过点P(-3cos ,4cos ),其中,则sin =_,tan =_.【解析】因为,所以cos 0,所以r= =-5cos ,所以sin =-,tan =-.答案:- -