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1、第二章函数、导数及其应用第十二节导数的综合应用第一课时导数与不等式问题课时规范练A组基础对点练1已知函数f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是()A.B.C(，2 D(，2)答案：A2对任意xR，函数f(x)的导数存在，若f(x)f(x)，且a0，则以下说法正确的是()Af(a)eaf(0) Bf(a)f(0) Df(a)0，故g(x)为R上的单调递增函数，因此g(a)g(0)，即f(0)，所以f(a)eaf(0)，故选A.答案：A3若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：2x(xa)x.令f(
2、x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，故选D.答案：D4(2020吉林模拟)已知定义域为(0，)的函数f(x)的图像经过点(2，4)，且f(x)1，则不等式f(2x2)2x的解集为()A(0，) B(0，2)C(1，2) D(0，1)解析：令g(x)f(x)x，x(0，)，则g(x)f(x)10，所以g(x)f(x)x在(0，)上单调递增，且g(2)f(2)22.由f(2x2)2x得f(2x2)(2x2)2，即g(2x2)g(2)，所以解得1x2.故选C.答案：C5(2020昆明调研)若函数f(x)2xx21，对于任意的
3、xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为()A(，1 B(，0C(，4 D(，5解析：对任意的xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，可转化为对任意的xZ且x(，a)，2xx21恒成立令g(x)2x，h(x)x21，当x0时，g(x)h(x)，当x0或1时，g(x)h(x)，当x2或3或4时，g(x)h(x)，当x5时，g(x)h(x)综上，实数a的取值范围为(，5，故选D.答案：D6函数f(x)ln x(aR)在区间e2，)上有两个零点，则a的取值范围是()A. BC. D解析：令f(x)ln x0，xe2，)，得axln x记H(x)xln x，xe2，)，则H(x)1
4、ln x，由此可知H(x)在e2，e1)上单调递减，在(e1，)上单调递增，且H(e2)2e2，H(e1)e1，当x时，H(x)，故当a时，f(x)在e2，)上有两个零点，故选A.答案：A7做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A. BC. D解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则VR2h.设造价为y2R2a2Rhb2aR22Rb2aR2，所以y4aR.令y0，得.答案：C8(2020无锡质检)已知f(x)ax33x21(a0)，g(x)xf(x)，定义h(x)maxf(x)，g(x)
5、若存在x1，2，使得h(x)f(x)，则实数a的取值范围为()A(1，2 B(0，2)C(0，2 D(0，1解析：f(x)3ax26x3x(ax2)，g(x)xf(x)3ax36x2.存在x1，2，使得h(x)f(x)，f(x)g(x)在1，2上有解，即ax33x213ax36x2在1，2上有解，即不等式2a在1，2上有解设y(x1，2)，y0在1，2上恒成立，y在1，2上单调递减，当x1时，y取得最大值4，2a4，即a2，又a0，故实数a的取值范围为(0，2，故选C.答案：C9电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析：令yx239x4
6、00，得x1或x40，由于0x40时，y0；当x40时，y0.所以当x40时，y有最小值答案：4010直线ya与函数f(x)x33x的图像有相异的三个公共点，求a的取值范围解析：令f(x)3x230，得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图，观察得2a2时恰有三个不同的公共点B组素养提升练11若等差数列an中的a28，a4 012是函数f(x)x34x26x1的两个极值点，则log8a2 020_解析：由题意可知f(x)x28x6，又a28，a4 012是函数f(x)x34x26x1的极值点，a28，a4 012是方程x28x60的两个实根，由根与系数的关系可得a28a4 01
7、28，由等差数列的性质可得2a2 020a28a4 0128，a2 0204，log8a2 020log84.答案：12(2020西安八校联考)若函数f(x)x3x2ax在区间(1，)上单调递增，且在区间(1，2)上有零点，求实数a的取值范围解析：由f(x)在区间(1，)上单调递增，可知f(x)x22xa在(1，)上恒大于等于0，又因为函数f(x)在(1，)上单调递增，所以只需f(1)12a0即a3，又f(x)在区间(1，2)有零点，所以f(1)f(2)0，即a，综上可知a3.13设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解析：(1
8、)f(x)(12xx2)ex，令f(x)0得x1，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0；所以f(x)在(，1)，(1，)上单调递减；在(1，1)上单调递增(2)令g(x)f(x)ax1(1x2)ex(ax1)，令x0，可得g(0)0，g(x)(1x22x)exa，令h(x)(1x22x)exa，h(x)(x24x1)ex，当x0时，h(x)0，h(x)单调递减，故h(x)h(0)1a，即g(x)1a，要使f(x)ax10在x0时恒成立，需要1a0，即a1，此时g(x)g(0)0，故a1，综上所述，a的取值范围是1，)14(2020鹰潭市模拟)已知
9、函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图像在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g(x)x3x2在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)求证：0)，当a0时，f(x)的单调增区间为(0，1，减区间为1，)；当a0时，f(x)的单调增区间为1，)，减区间为(0，1；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由f(2)1，得a2，f(x)2ln x2x3，g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2，g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，且g(0)2，由题意知，对于任意的t1，2，g(t)0恒成立，所以有，m9.(3)证明：令a1此时f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上单调递增，当x(1，)时f(x)f(1)，即ln xx10，ln xx1对一切x(1，)成立，n2，nN，则有0ln nn1，0，(n2，nN)