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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思学案 18 同角三角函数的基本关系式及诱导公式导学目标： 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出2， 的正弦、余弦、正切的诱导公式 .2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x 1，sin xcos xtan x. 自主梳理1同角三角函数的基本关系(1) 平方关系： _. (2) 商数关系： _. 2诱导公式(1)sin( 2k ) _， cos( 2k) _ ， tan( 2k) _，kZ. (2)sin() _， cos( ) _，tan( ) _. (3)sin() _，cos( ) _，tan( ) _. (4)sin() _，cos
2、( ) _，tan( ) _. (5)sin2 _，cos2 _. (6)sin2_，cos2_. 3诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：上述过程体现了化归的思想方法自我检测1(2010全国)cos 300等于( ) A32 B12C.12 D.322 (2009 陕 西 ) 若3sin cos 0 ， 则1cos2sin 2 的 值 为( ) A.103 B.53C.23 D 2 3(2010福建龙岩一中高三第三次月考) 是第一象限角，tan 34，则 sin 等于( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
3、第 1 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A.45 B.35C45 D 354cos(174)sin(174)的值是( ) A.2 B 2 C0 D.225(2011清远月考) 已知 cos(6 ) 23，则 sin( 23) _. 探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值例 1已知2x0，sin xcos x15. (1) 求 sin2x cos2x的值；(2) 求tan x2sin xcos x的值变式迁移 1 已知 sin(3 ) 2sin32 ，求下列各式的值(1)sin 4cos 5sin 2cos ；(2)sin2 sin 2 . 探究点二利用诱导公式化简、
4、求值例 2(2011合肥模拟)已知 sin255，(0 ，) (1) 求sin2cos32 的值；(2) 求 cos 234的值变式迁移 2 设f( ) 1sin2cos32 sin22 (1 2sin 0)，则f236精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思_. 探究点三综合应用例 3在ABC中，若 sin(2 A) 2sin( B) ，3cos A2cos( B) ，求ABC的三个内角变式迁移 3 (2011安阳模拟) 已知ABC中， sin Acos A15，(1) 求 sin
5、 Acos A；(2) 判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3) 求 tan A的值转化与化归思想的应用例(12 分 ) 已知 是三角形的内角，且sin cos 15. (1) 求 tan 的值；(2) 把1cos2 sin2用 tan 表示出来，并求其值多角度审题由 sin cos 15应联想到隐含条件sin2cos21，要求tan ，应当切化弦，所以只要求出sin ，cos 即可【答题模板】解(1) 联立方程sin cos 15，2cos21，由得 cos 15 sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.2 分 是三角形的内角，sin 4535，4 分 tan 43.6分
6、 (2)1cos2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos2sin2cos2tan2 11tan2，8 分 tan 43，1cos2 sin2tan211tan210 分 43211 432257.12分 【突破思维障碍】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思由 sin cos 15及 sin2cos21 联立方程组， 利用角 的范围， 应先求 sin 再求 cos .(1) 问切化弦即可求(2) 问应弦化切，这时应注意“1”的活用【易错点剖析】在求解
7、 sin ，cos 的过程中，若消去cos 得到关于 sin 的方程，则求得两解，然后应根据 角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解1由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围2注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号注意“1”的灵活代换3应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断( 满分： 75 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分) 1 (2011荆州模拟 ) 已知ABC中，cos Asin A125， 则 cos A等于 ( ) A.1213B.513C513D12132 已 知tan
8、 512， 且为 第 二 象 限 角 ， 则sin 的 值 等 于( ) A.15B115C.513D5133(2011许昌月考) 已知f() ，则f( 313) 的值为 ( ) A.12B13C12D.134设f(x) asin( x) bcos( x ) ，其中a、b、 、 都是非零实数，若f(2 002)1，则f(2 003)等于( ) A 1 B 0 C1 D2 5 (2010全国 )记cos(80) k， 那么tan 100等于( ) A.1k2kB1k2kC.k1k2Dk1k2题号12345 答案二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分) 精选学习资料 - - - - - -
9、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思6(2010全国 ) 已知 是第二象限的角，tan 12，则 cos _. 7sin21 sin22 sin23 sin289 _. 8(2010东北育才学校高三第一次模拟考试) 若 tan 2，则sin cos sin cos cos2 _. 三、解答题 ( 共 38 分) 9(12 分) 已知f( ) . (1) 化简f( ) ；(2) 若 是第三象限角，且cos( 32) 15，求f( ) 的值10(12 分) 化简：k kkk (kZ) 11(14 分)(2011 秦皇岛模
10、拟) 已知 sin ，cos 是关于x的方程x2axa0(aR) 的两个根(1) 求 cos3(2) sin3(2 ) 的值；(2) 求 tan( ) 1tan 的值答案自主梳理1(1)sin2cos2 1 (2)sin cos tan 2.(1)sin cos tan (2)sin cos tan (3) sin cos tan (4)sin cos tan (5)cos sin (6)cos sin 自我检测1C cos 300 cos(36060) cos 60 12. 2A 3sin cos 0，sin2 cos21，sin2110，1cos2sin 2 1cos22sin 3sin
11、117sin2103. 3B 4A cos( 174) sin( 174) cos( 44) sin( 44) cos( 4)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思sin( 4) cos4sin42. 523解析sin( 23) sin(23 ) sin(6) 2 cos(6 )23. 课堂活动区例 1解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断解由 si
12、n xcos x15得，12sin xcos x125，则 2sin xcos x2425. 2x0， sin x0，即 sin xcos x0. 则 sin xcos xsin2x 2sin xcos xcos2x1242575. (1)sin2xcos2x(sin xcos x)(sin xcos x) 15 75725. (2) 由sin xcos x15sin xcos x75，得sin x35cos x45，则 tan x34. 即tan x2sin xcos x346545158. 变式迁移 1 解 sin(3 ) 2sin32 ， sin 2cos . sin 2cos ，即 t
13、an 2. 方法一( 直接代入法 ) ：(1) 原式2cos 4cos 52cos 2cos 16. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2) 原式sin22sin cos sin2cos2sin2sin2sin214sin285. 方法二( 同除转化法 ) ：(1) 原式tan 45tan 22452 216. (2) 原式 sin22sin cos sin22sin cos sin2cos2tan22tan tan2185. 例 2解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：k2
14、的本质是： 奇变偶不变 ( 对k而言，指k取奇数或偶数) ，符号看象限 ( 看原函数，同时可把 看成是锐角 ) 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1) 负角变正角，再写成2k ，02；(2) 转化为锐角三角函数解(1) sin255，(0 ，) ，cos 55，sin 255. sin2cos32cos sin sin cos 13. (2) cos 55，sin 255，sin 2 45，cos 2 35，cos23422cos 2 22sin 2 210. 变式迁移 2 3 解析f( ) 2sin cos cos 1sin2sin cos22sin cos cos 2si
15、n2 sin cos 2sin sin 2sin 1tan ，f2361tan2361tan461tan 63. 例 3解题导引先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cos A 求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角 诱导公式在三角形中常用结论有：AB C；A2B2C22. 解由已知得sin A2sin B，3cos A2cos B，22得 2cos2A 1，即 cos A22. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(1) 当 cos A22时
16、， cos B32，又A、B是三角形的内角，A4，B6，C(AB) 712. (2) 当 cos A22时， cos B32. 又A、B是三角形的内角，A34，B56，不合题意综上知，A4，B6，C712. 变式迁移 3 解(1) sin Acos A15，两边平方得12sin Acos A125，sin Acos A1225. (2) 由(1)sin Acos A12250，且 0A，可知 cos A0，cos A0，sin Acos A75，由，得sin A45，cos A35，tan Asin Acos A43. 课后练习区1D A为ABC中的角，cos Asin A125，sin A5
17、12cos A，A为钝角， cos A0. 代入 sin2Acos2A1，求得 cos A1213. 2C 已知 tan 512，且 为第二象限角，有 cos 11tan21213，所以 sin 513. 3C f( ) sin cos cos tan cos ，f( 313) cos( 313) cos(10 3) cos312. 4C f(2 002) asin(2 002 ) bcos(2 002 ) asin bcos 1，f(2 003) asin(2 003 ) bcos(2 003 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
18、8 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思asin2 002( ) bcos2 002 ( ) asin( ) bcos( ) (asin bcos ) 1. 5B cos( 80) cos 80 k，sin 80 1cos2801k2. tan 100 tan 80 1k2k. 6255解析tan 12，sin cos 12，又 sin2cos21， 是第二象限的角，cos 255. 7.892解析sin21 sin22 sin23 sin289sin21 sin22 sin245 sin2(902) sin2(901)sin21 sin22222 cos22 cos21 (
19、sin21 cos21) (sin22 cos22) (sin244 cos244) 12 4412892. 8.165解析原式tan 1tan 1cos2sin2cos231tan2 1315165. 9解(1)f( ) sin cos tan tan sin cos . (5 分) (2) 是第三象限角，且cos( 32) sin 15，sin 15，(8分) cos 1sin21152265，f( ) cos 265. (12 分) 10解当k为偶数 2n (nZ) 时，原式nn nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共
20、 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 sin sin cos cos cos 1；(6 分 ) 当k为奇数 2n1 (nZ)时，原式nnsinnn sin cos sin cos 1. 当kZ 时，原式1. (12分) 11解由已知原方程的判别式0，即( a)24a0，a4 或a0. (3分) 又sin cos asin cos a，(sin cos )212sin cos ，则a2 2a1 0，(6 分) 从而a12或a12( 舍去 ) ，因此sin cos sin cos 12. (8 分) (1)cos3(2) sin3(2) sin3cos3(sin cos )(sin2 sin cos cos2 ) (12)1 (1 2) 22. (11 分) (2)tan() 1tan tan 1tan (sin cos cos sin ) 1sin cos 11212. (14分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页