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1、第 2 节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知 识 梳 理 1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：sin cos tan_ 2三角函数的诱导公式 1特殊角的三角函数值 0 6 4 3 2 32 sin 0 12 22 32 1 0 1 cos 1 32 22 12 0 1 0 tan 0 33 1 3 不存在 0 不存在 2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”与“偶”指的是诱导公式 k2 中的整数 k 是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在 k2
2、 中，将 看成锐角时 k2 所在的象限 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误(1)sin()sin 成立的条件是 为锐角()(2)六组诱导公式中的角 可以是任意角()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()(4)若 sin(k)13(kZ)，则 sin 13.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)对于 R，sin()sin 都成立(4)当 k 为奇数时，sin 13，当 k 为偶数时，sin 13.2sin 600的值为()A12 B32 C.12 D.32 答案 B 解析 sin 600sin(360240)s
3、in 240sin(18060)sin 6032.3已知 sin2 35，2，则 tan()A.34 B34 C43 D.43 答案 C 解析 sin2 cos 35，又 2，则 sin 1cos245，则 tan sin cos 43，故选 C.4已知 sin cos 43，0，4，则 sin cos 的值为()A.23 B23 C.13 D13 答案 B 解析 sin cos 43，12sin cos 169，sin cos 718.又(sin cos)212sin cos 29，又0，4，sin cos 23.5(必修 4P22B3 改编)已知 tan 2，则sin cos sin co
4、s 的值为_ 答案 3 解析 原式tan 1tan 121213.6(2020嘉兴期末)已知 Psin 56，cos 56是角 的终边上一点，则 cos _；角 的最小正值是_ 答案 12 53 解析 Psin 56，cos 56是角 的终边上一点，所以 cos sin 5612，sin cos 5632，所以2k53(kZ)，所以当 k0 时，角 取最小正值53.考点一 同角三角函数基本关系式的应用【例 1】(1)(2021浙江教育绿色评价联盟适考)已知 为第二象限角，且 3sin cos 0，则 sin()A.1010 B.3 1010 C1010 D3 1010(2)已知 sin cos
5、 18，且5432，则 cos sin 的值为()A32 B.32 C34 D.34(3)若 tan 34，则 cos22sin 2()A.6425 B.4825 C1 D.1625 答案(1)A(2)B(3)A 解析(1)由 3sin cos，两边平方得 9sin21sin2，则 sin 1010，又 为第二角限角，所以 sin 0，则 sin 1010，故选 A.(2)5432，cos 0，sin sin，cos sin 0.又(cos sin)212sin cos 121834，cos sin 32.(3)tan 34，则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin214ta
6、n 1tan26425.感悟升华(1)利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，利用(sin cos)212sin cos，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【训练 1】(1)已知 sin cos 2，(0，)，则 tan()A1 B22 C.22 D1(2)若 3sin cos 0，则1cos22sin cos 的值为()A.103 B.53 C.23 D2(
7、3)已知 sin 13，0，则 tan _，sin 2cos 2_ 答案(1)A(2)A(3)24 2 33 解析(1)由sin cos 2，sin2cos21，得：2cos22 2cos 10，即()2cos 120，cos 22.又(0，)，34，tan tan 341.(2)3sin cos 0cos 0tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103.(3)因为 0，所以 tan sin cos sin2cos2 sin21sin224，又 022，所以 sin 20，cos 20，所以 sin 2cos 2
8、sin 2cos 2212sin 2cos 2 1sin 2 33.考点二 诱导公式的应用 【例 2】(1)化简：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)；(2)设 f()2sin（）cos（）cos（）1sin2cos32 sin22(12sin 0)，求 f236的值 解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050 sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330 sin(18060)cos(18030)cos(
9、36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 30323212121.(2)f()（2sin）（cos）cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos（12sin）sin（12sin）1tan，f2361tan2361tan46 1tan6 3.感悟升华(1)诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了 化简：统一角，统一名，同角名少为终了(2)含 2 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5)cos()cos.【训练
10、2】(1)已知 Asin（k）sin cos（k）cos(kZ)，则 A 的值构成的集合是()A1，1，2，2 B1，1 C2，2 D1，1，0，2，2(2)化简：tan（）cos（2）sin32cos（）sin（）_ 答案(1)C(2)1 解析(1)当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2；k 为奇数时，Asin sin cos cos 2.(2)原式tan cos（cos）cos（）sin（）tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1.考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合 应用 【例 3】(1)已知 tan6 33，则 tan56 _(2
11、)已知 cos512 13，且2，则 cos12()A.2 23 B.13 C13 D2 23(3)若1sin 1cos 3，则 sin cos()A13 B.13 C13或 1 D.13或1 答案(1)33(2)D(3)A 解析(1)56 6，tan56 tan6 tan633.(2)因为512 12 2，所以 cos12 sin212 sin512.因为2，所以7125120，所以251212，所以 sin512 1cos2512 11322 23.(3)由已知得 sin cos 3sin cos，12sin cos 3sin2cos2，(sin cos 1)(3sin cos 1)0，s
12、in cos 12sin 212，sin cos 13.感悟升华(1)常见的互余的角：3 与6；3 与6；4 与4 等(2)常见的互补的角：3 与23；4 与34 等【训 练3】(1)已 知sin312，则cos6_.(2)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x，当 0 x 时，f(x)0，则 f236()A.12 B.32 C0 D12(3)设 aR，b0，2若对任意实数 x 都有 sin3x3sin(axb)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为()A1 B2 C3 D4 答案(1)12(2)A(3)B 解析(1)3 6 2，cos6 cos23 sin3 12.(2
13、)由 f(x)f(x)sin x，得 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，所以 f236 f1162 f116 f56 f56 sin56.因为当 0 x 时，f(x)0.所以 f236 01212.(3)sin3x3sin3x32 sin3x53，(a，b)3，53，又 sin3x3sin3x3sin3x43，(a，b)3，43，注意到b0，2，只有这两组故选 B.基础巩固题组 一、选择题 1.12sin（2）cos（2）()Asin 2cos 2 Bsin 2cos 2 C(sin 2cos 2)Dcos 2sin 2 答案 A 解析 12sin（2）cos
14、（2）12sin 2cos 2 （sin 2cos 2）2|sin 2cos 2|sin 2cos 2.2cos12 13，则 sin512()A.13 B.2 23 C13 D2 23 答案 A 解析 sin512 sin212 cos12 13.3(2021湖州中学质检一)若 cos()12，则()Asin()32 Bsin2 32 Ccos()12 Dcos()12 答案 D 解析 由 cos()12得 cos 12，则 sin 32，sin()sin 32，选项 A 错误；sin2 cos 12，选项 B 错误；cos()cos 12，选项 C 错误，选项 D 正确，故选 D.4已知
15、tan 12，且，32，则 sin()A55 B.55 C.2 55 D2 55 答案 A 解析 tan 120，且，32，sin 0，sin2sin2sin2cos2tan2tan211414115，sin 55.5已知 sin 55，则 sin4cos4 的值为()A15 B35 C.15 D.35 答案 B 解析 sin4cos4sin2cos22sin2135.6向量 a13，tan ，b(cos，1)，且 ab，则 cos2()A13 B.13 C23 D2 23 答案 A 解析 a13，tan ，b(cos，1)，且 ab，131tan cos 0，sin 13，cos2 sin
16、13.7已知 tan 3，则12sin cos sin2cos2的值是()A.12 B2 C12 D2 答案 B 解析 原式sin2cos22sin cos sin2cos2（sin cos）2（sin cos）（sin cos）sin cos sin cos tan 1tan 131312.8已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 019)的值为()A1 B1 C3 D3 答案 D 解析 f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin()bcos()asin bcos 3.二
17、、填空题 9sin 750_ 答案 12 解析 sin 750sin(72030)sin 3012.10(2021上海长宁区质检)已知 sin 45，则 cos2_ 答案 45 解析 由诱导公式知 cos2sin 45，故填45.11化简：sin2（）cos（）cos（2）tan（）sin32 sin（2）_ 答案 1 解析 原式sin2（cos）cos tan cos3（sin）sin2cos2sin2cos21.12已知 为钝角，sin4 34，则 sin4 _ 答案 74 解析 因为 为钝角，所以 cos4 74，所以 sin4 cos24 cos4 74.13已知 是第四象限角，且 s
18、in435，则 tan4_ 答案 43 解析 由题意，得 cos445，tan434.tan4tan421tan443.14若20，sin cos 15，则(1)sin cos _；(2)sin cos _ 答案(1)1225(2)75 解析(1)将 sin cos 15两边同时平方可得，sin22sin cos cos2125，即 2sin cos 2425，sin cos 1225.(2)由(1)得(sin cos)212sin cos 4925.20，sin 0，sin cos 0，sin cos 75.能力提升题组 15若 sin，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m 的值
19、为()A1 5 B1 5 C1 5 D1 5 答案 B 解析 由题意知 sin cos m2，sin cos m4.又()sin cos 212sin cos，m241m2，解得 m1 5.又 4m216m0，m0 或 m4，m1 5.16已知 sin()3cos(2)，|2，则()A6 B3 C.6 D.3 答案 D 解析 sin()3cos(2)，sin 3cos，tan 3，|2，3.17sin21sin22sin290_；cos21cos22cos290_ 答案 912 892 解析 sin21sin22sin290sin21sin22sin244sin245cos244cos243c
20、os21sin290(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244)sin245sin29044121912.cos21cos22cos29090(sin21sin22sin290)892.18(2020绍兴一中适应性考试)若 sin2 13，则 cos _，cos 2cos _ 答案 13 49 解析 由 sin2 13得 cos 13，故由倍角公式得 cos 2cos 2cos2cos 149.19已知 cos6 a，则 cos56 sin23 _ 答案 0 解析 cos56 cos6 cos6 a.sin23 sin26 cos6 a，cos56 sin23 0.20已知：f()sin（）cos（）cos2cos（）sin（2）tan（）.(1)化简 f()的结果为_；(2)若角 的终边在第二象限且 sin 35，则 f()_ 答案(1)cos (2)45 解析(1)f()sin（）cos（）cos2cos（）sin（2）tan（）sin（cos）sin cos sin tan cos.(2)由题意知 cos 1sin245，f()cos 45.