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1、岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二） 数学（理科） 分值：150 分时量：120 分钟 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。 1.已知复数 z=(1+ i)(3-i)(i 为虚数单位)，则 Z 的虚部为 A.2B.2iC.4D.4i 2.已知集合 A=x|x+10， B=x|xa，若 AB=R ，则实数 a 的值可以为 A.2B.1C.0D. -2 3.若 aa log 2 3, A. ab c b log 4 7,c
2、0.74,则实数 B.cabC. b acD. cba 4.已知数列an为等差数列，S n 为其前 n 项和，a6a3a5 3,则S 7 A.42B.21C.7D.3 r r r r r 1r 5.已知向量|a |1,b ( ,m),若(a b) (a b),，则实数 m 的值为 2 A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题 :“今有刍甍，下广三丈，袤四 丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高2 丈，问：它的体积是多少？”已知
3、1 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示， 其中网格纸上小正方形边长为 1，则该楔体的体积为 A.10000 立方尺B.11000 立方尺C.12000 立方尺D.13000 立方尺 7. 在区间-1,1上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+3)与圆x y 1相交的概率为 22 1 A. x 1 2 x5 B. 1 3 C. 2 4 D. 2 3 x 8.(2 1)(22 )的展开式中8的项的系数为 A.120B.80C.60D.40 22 9. 已知f (x)为函数 f(x)(xR)的导函数,满足 f(1)=1,且f (x) 1,则不等式 f (lg x) lg x的解集 为 A.(0,
4、 1 ) 10 B.(0, 11 )(10,)C.(,10) 1010 D.(10, +) 10.“学习强国”是由中宣部主管， 以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立 足全体党员、面向全社会的优质学习平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP. 该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战 答题四个答题模块.某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块 相邻的学习方法有 A.60 种B.192 种C.240 种D.432 种 11.已知函数 f (x) 4sin(
5、2 x 6 ),x0, 13 ，若函数 F(x)= f(x)-3 的所有零点依次记为 3 x 1,x2 ,x 3 ,L ,x n ,且x 1 x 2 x 3 L x n ，则x 1 2x 2 2x 3 L 2x n1 x n A. 50 3 2 B.21 C.100 3 D.42 12. 已知 F 为抛物线y 4x的焦点，点 A 在抛物线上，且 |AF|=5，过点 F 的动直线 l 与抛物线交于 B，C 两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与 x 轴的交点为 M. 给出下列四个命题: 在抛物线上满足条件的点 A 仅有一个; 若 P 是抛物线准线上一动点, 则| PA|+ |PO|的最小值为2 1
6、3 无论过点 F 的直线 l 在什么位置，总有OMB=OMC ; 若点 C 在抛物线准线上的射影为 D，则三点 B、O、D 在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为 A.1B.2C.3D.4 第 II 卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题5 分，共20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置.上，答错 位置，书写不清，模棱两可均不得分。 13. 在ABC 中， 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c,已知a c 2b,且 sin AcosC= 3cos AsinC， 则 b=_ 2 22 x2y2 14.已知双曲线C : 2 2 1(a,b 0)的
7、左右焦点为 F 1, F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A, B 两点， ab F 1B 与 y 轴相交于 D.若AD F 1B, ,则双曲线 C 的离心率为_ 15. 设 f(x)是定义在(0, +)上的函数，且 f(x)0,对任意 a0, b0,若经过点(a, f(a), (b,-f(b)的一次函数 与 x 轴的交点为(c,0),且 a、b、c 互不相等,则称 c 为 a, b 关于函数 f(x)的平均数,记为M f (a,b).当 f(x)=_(x 0)时，M f (a,b)为 a, b 的几何平均数ab.(只需写出一个符合要求的函数即可) 16.农历五月初五是端午节,民间
8、有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒,俗称“粽子”,古称“角黍”，是端午节大 家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸 片是由六个边长为 1 的正三角形构成的,将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该 六面体的体积为_; 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值_为(本题第一空 2 分，第二空 3 分). 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 一 21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题 17.(本小题满分 12 分) 等差数列an的公
9、差为 2,a2,a4,a8分别等于等比数列bn的第 2 项、第 3 项、第 4 项. ( 1)求数列an和bn的通项公式; (2)若数列cn满足 18.(本小题满分 12 分) 如图， 直三棱柱ABC A 1B1C1 中， D,E分别是AB,BB 1 的中点，AA 1 AC CB 3 cc 1 c 2L n b n1 ,求数列cn的前 2020 项的和. a 1 a 2 a n 2 AB 2. 2 (1 )证明:BC1平面A 1CD ； (2)求二面角D A 1C E 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) x2y2 1交于 C， D 两点,设直线 OA, OB， OC， 设直线 l 与抛
10、物线x 2y交于 A， B 两点,与椭圆 42 2 OD( O 为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,k3,k4,若 OAOB. ( 1)证明:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标; (2)是否存在常数 ，满足k1k2 (k 3 k 4 )?并说明理由. 20.(本小题满分 12 分) 新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热选择，为提高市场销售业绩，某公司 设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销和“没有采用促 销”的营销网点各选取了 50 个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们 J 的年销售总额，并按年销售 总额增长的百分点分成 5
11、组: -5,0)，0,5), 5,10), 10,15)，15,20, 分别统计后制成如图所示的频率分布直 方图,并规定年销售总额增长 10 个百分点及以上的营销网点为“精英店”. 4 （1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有 99%的把握认为“精英店与采用促销活动有 关”； (2)某“精英店 ”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价 x i (单位:元)和日销 y i (单位:件) ( i=1,2,.,10 )的一组数据后决定选择 y abx 作为回归模型进行拟合.具体数据如下表 , 表中的 2 w i x i 2(i 1,2,L ,10 根据上表数据计算 a，b 的值; 已知
12、该公司产品的成本为 10 元/件，促销费用平均 5 元/件,根据所求出的回归模型，分析售价 x 定 为多少时日利润 z 可以达到最大. n(ad bc)2 附:K (ab)(cd)(ac)(bd) 2 附:对应一组数据 (u 1,v1),(u2 ,v 2 ),(u 3,v3 ),L (u n ,v n )，其回归直线 v= + u 的斜率和截距的最小 5 二乘法估计分别为 (v y)(u i i1 10 i u) (u i1 10 u. v ,a i u)2 21. (本小题满分 12 分) 若函数 f (x) e ae xxmx(m1)R)为奇函数，且x x0时 f(x)有极小值f (x 0
13、 ). (1)求实数 a 的值与实数 m 的取值范围; (2)若f (x0) (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 =1-sin ( 00)，M 为该曲线上的任意一点. (1)当|OM | 2 恒成立，求实数 m 的取值范围. e 3 时，求 M 点的极坐标; 2 (2)将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值. 2 6 23.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 若函数f (x) 1 (x1)2. 4 (1)证明: f(x)+|f(x)-2|2 ; (2)若存在 xR ,且 x-1，使得 1 f (x) |m2m1|成立,求 m 的取值范围. 4f (x) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17