2022年数学期末知识点总复习 .pdf

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1、原 命 题若 p则 q否 命 题若 p 则 q逆 命 题若 q则 p逆 否 命 题若 q 则 p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互数学期末知识点总复习简易逻辑知识要点1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p 或 q( 记作“ pq” ) ；p 且 q( 记作“ pq” ) ；非 p( 记作“ q” ) 。3、“或”、“且”、“非”的真值判断（1）“非 p”形式复合命题的真假与F 的真假相反；（

2、2）“ p 且 q”形式复合命题当P与 q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“ p 或 q”形式复合命题当p与 q 同为假时为假，其他情况时为真4、四种命题的形式：原命题：若P则 q；逆命题：若q 则 p；否命题：若P则 q；逆否命题：若q 则 p。(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是逆否命题5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：( 原命题逆否命题 ) 、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一

3、定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件。若 pq 且 qp, 则称 p 是 q 的充要条件，记为p? q. 7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出( 与已知、公理、定理) 矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。立体几何知识要点一、知识提纲（一）空间的直线与平面平面的基本性质三个公理及公理三的三个推论和它们的用途斜二测画法空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线公理四（平行线的传递性）等角定理异面直线的判定：判定定理、反证法异面直线所成的角：定义（求法）、范围直线和平面平

4、行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页直线和平面垂直直线和平面垂直：定义、判定定理三垂线定理及逆定理5. 平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质6. 平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7. 直线和平面所成的角与二面角平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角二面角：定义、范围、二面角的平面角、直二面角互相垂直的平面及其判定

5、定理、性质定理8. 距离点到平面的距离直线到与它平行平面的距离两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段（四）简单多面体与球9. 棱柱与棱锥多面体棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质直棱柱和正棱锥的直观图的画法10. 多面体欧拉定理的发现简单多面体的欧拉公式正多面体11. 球球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离球的体积公式和表面积公式二、常用结论、方法和公式

6、1.从一点 O 出发的三条射线OA、OB、OC，若 AOB= AOC ，则点 A 在平面 BOC上的射影在 BOC 的平分线上；2. 已知 :直二面角MAB N 中， AE M，BFN,EAB=1,ABF=2，异面直线 AE 与 BF 所成的角为，则;coscoscos213.立平斜公式： 如图，AB 和平面所成的角是1， AC 在平面内， BC 和 AB 的射影 BA1成2，设 ABC=3,则 cos1cos2=cos3；BCADA1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面

7、直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二

8、面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；特别 :对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。7.空间距离的求法（1） 两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此

9、，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则 S侧cos=S底；9.已知 :长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,因此有cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有 cos2+cos2+cos2=2; 10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F E=2；并且棱数 E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12. 柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积

10、公式是V柱体=Sh.其中 S是柱体的底面积，h是柱体的高 . 13.直棱柱的侧面积和全面积S直棱柱侧= c(c 表示底面周长，表示侧棱长 ) S棱柱全=S底+S侧14棱锥的体积:V棱锥=Sh31，其中 S是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。15.球的体积公式V=334R，表面积公式24 RS；掌握球面上两点A、B 间的距离求法：（1）计算线段AB 的长，（ 2）计算球心角AOB 的弧度数； (3)用弧长公式计算劣弧AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页的长；空间向量1空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：空间的

11、一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下baABOAOBbaOBOABA)(RaOP运算律：加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律：baba)(3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b记作ba/当我们说向量a、b共线（或a/b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线4共线向量定理及其推论：共线向量定理： 空间任意两个

12、向量a、b（b0），a/b的充要条件是存在实数 ，使ab. 推论：如果l为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点 P 在直线l上的充要条件是存在实数t 满足等式tOAOPa其中向量a叫做直线l的方向向量 . 5向量与平面平行：已知平面和向量ar，作OAauu u rr，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量ar平行于平面，记作：/ar通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6共面向量定理：如 果 两 个 向 量,a brr不 共 线 ，pr与 向 量,a brr共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数,x y使精选学习资料

13、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页pxaybrrr推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,x y，使MPxMAyMBu uu ruuu ruuu r或对空间任一点O，有OPOMxMAyMBuuu ruuuu ruu u ruuu r式叫做平面MAB的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量, ,a b crrr不共面，那么对空间任一向量pr，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z，使pxaybzcrrrr推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数, ,x y

14、 z，使OPxOAyOBzOCu uu ruu u ruuu ru uu r8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a brr， 在空间任取一点O， 作,OAa OBbuuu ruuu rrr， 则AOB叫做向量ar与br的 夹 角 ， 记 作,a brr； 且 规 定0,a brr， 显 然 有,a bb arrrr； 若,2a brr，则称ar与br互相垂直，记作：abrr. 9向量的模：设OAauuu rr，则有向线段OAuu u r的长度叫做向量ar的长度或模，记作：|ar. 10向量的数量积：a brr| | | | cos,aba brrrr已知向量ABau uu rr和轴l，

15、er是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则A Buuuu r叫做向量ABuuu r在轴l上或在er上的正射影 . 可以证明A Buuu u r的长度| | cos,|A BABa ea eu uu u ruu u rr rrr11空间向量数量积的性质：（1）|cos,a eaa er rrr r（ 2）0aba brrrr（ 3）2|aa arrr12空间向量数量积运算律：（1）()()()aba babrrrrrr （2）a bb arrrr（交换律）（3）()abca ba crrrrrrr（分配律）空间向量的坐标运算（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系

16、的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴）， z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. 令a=(a1,a2,a3),),(321bbbb，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页),(332211babababa)(,(321Raaaa332211babababaa)(,332211Rbababab332211bababa0332211babababa222321aaaaaa(用到常用的向量模与向量之间的转化：aaaaaa2) 232221232221332211|,cosbbbaaababababababa空间

17、两点的距离公式：212212212)()()(zzyyxxd. （2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量 . （3）用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面的法向量， AB 是平面的一条射线，其中 A，则点 B 到平面的距离为|nnAB. 利用法向量求二面角的平面角定理：设21,nn分别是二面角l中平面,的法向量，则21,nn所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21, nn方向相同，则为补角，21,nn反方，则为其夹角）. 证直线和平面平行定理：已知直线a平面，DCaBA,，且 CDE 三点不共

18、线，则 a的充要条件是存在有序实数对使CECDAB. （ 常设CECDAB求解,若,存在即证毕，若,不存在，则直线AB 与平面相交） . nBCAn2n1CEDAB导数知识要点导数导数的概念导数的运算导数的几何意义、 物理意义函数的单调性常见函数的导数导数的运算法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页1. 导数（导函数的简称）的定义： 设0 x 是函数)(xfy定义域的一点， 如果自变量x在0 x 处有 增 量x ， 则 函 数 值y 也 引 起 相 应 的 增 量)()(00 xfxxfy； 比 值xxfxxfxy

19、)()(00称为函数)(xfy在点0 x 到xx0之间的平均变化率；如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在， 则称函数)(xfy在点0 x 处可导， 并把这个极限叫做)(xfy在0 x 处的导数， 记作)(0 xf或0|xxy，即)(0 xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000. 注：x是增量，我们也称为“ 改变量 ” ，因为x 可正，可负，但不为零. 以知函数)(xfy定义域为A，)(xfy的定义域为B，则A与B关系为BA. 2. 函数)(xfy在点0 x 处连续与点0 x 处可导的关系：函数)( xfy在点0 x 处连续是)(xfy在点0 x 处可导的必

20、要不充分条件. 可以证明，如果)( xfy在点0 x 处可导，那么)(xfy点0 x 处连续 . 事实上，令xxx0，则0 xx相当于0 x. 于是)()()(lim)(lim)(lim0000000 xfxfxxfxxfxfxxxx).()(0)()(limlim)()(lim)()()(lim0000000000000 xfxfxfxfxxfxxfxfxxxfxxfxxxx如果)( xfy点0 x 处连续，那么)(xfy在点0 x 处可导，是不成立的. 例：|)(xxf在点00 x处连续，但在点00 x处不可导，因为xxxy|，当x0 时，1xy；当x 0 时，1xy，故xyx0lim不存

21、在 . 注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数)(xfy在点0 x 处的导数的几何意义就是曲线)(xfy在点)(,(0 xfx处的切线的斜率，也 就 是 说 ， 曲 线)(xfy在 点P)(,(0 xfx处 的 切 线 的 斜 率 是)(0 xf， 切 线 方 程 为).)(00 xxxfyy4. 求导数的四则运算法则：)(vuvu)(.)()()(.)()(2121xfxfxfyxfxfxfynn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页)()(cvcvvc

22、cvuvvuuv（c为常数）)0(2vvuvvuvu注：vu,必须是可导函数. 若两个函数可导，则它们和、 差、积、商必可导； 若两个函数均不可导，则它们的和、 差、积、商不一定不可导. 例如：设xxxf2sin2)(，xxxg2cos)(，则)(),(xgxf在0 x处均不可导，但它们和)()(xgxfxxcossin在0 x处均可导 . 5. 复合函数的求导法则：)()()(xufxfx或xuxuyy复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)(xf0， 则)(xfy为增函数；如果)(xf0，则)(xfy为

23、减函数 . 常数的判定方法；如果函数)(xfy在区间I内恒有)(xf=0，则)(xfy为常数 . 注：0)(xf是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy在),(上并不是都有0)(xf，有一个点例外即x=0 时 f（x） = 0，同样0)(xf是 f（x）递减的充分非必要条件 . 一般地， 如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（ x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法： （极值是在0 x 附近所有的点， 都有)(xf)(0 xf，则)(0 xf是函数)(xf的极大值，极小值同理）当函数)(xf在点0 x 处连续时，如

24、果在0 x 附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极大值；如果在0 x 附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极小值 . 也就是说0 x 是极值点的充分条件是0 x 点两侧导数异号，而不是)(xf=0. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注：若点0 x 是可导函数)(xf的极值点，则)(xf=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0 x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(xxfy，0 x使)(xf

25、=0，但0 x不是极值点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页例如：函数|)(xxfy，在点0 x处不可导，但点0 x是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较 . 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0C（ C 为常数）xxcos)(sin211)(arcsinxx1)(nnnxx（Rn）xxsin)(cos211)(arccosxxII. xx1)(lnexxaalog1)(log11)(arctan2xxxxee)(a

26、aaxxln)(11)cot(2xxarcIII. 求导的常见方法：常用结论：xx1|)|(ln. 形如).()(21naxaxaxy或).()().()(2121nnbxbxbxaxaxaxy两边同取自然对数，可转化求代数和形式 . 无理函数或形如xxy这类函数，如xxy取自然对数之后可变形为xxylnln，对两边求导可得xxxxxyyxyyxxxyylnln1ln. 积分1.定积分定义 ：设函数( )yf x在区间 , a b上连续，在区间 , a b中任取分点01211iinnaxxxxxxxbLL将区间 , a b分成n个小区间1,iixx，其长度为1(1,2, )iiixxxinL在

27、每个小区间1,iixx上任取一点i，作乘积()(1,2,)iifx inL的和：1()niiifx（1）不论对区间 , a b采取何种分法及i如何选取，记1maxiinx，当0 时和式（1）的极限存在，则此极限值称为函数( )f x在区间 , a b上的定积分，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页a1x2xboy记作badxxf)(，即iniibaxfdxxf10)(lim)(。其中)(xf叫做被积函数，dxxf)(叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限， b叫做积分上限，,ba叫做积分区间。2. 定积分的几

28、何意义1、若在,ba上0)(xf，定积分badxxf)(等于以)(xfy为曲边的,ba上的曲边梯形的面积A，即badxxf)(A。2、若在,ba上0)(xf，badxxf)(的绝对值与由直线ax，bx，0y及曲线)(xfy所围成的曲边梯形的面积A相等，即Adxxfba)(3、若在,ba上)(xf有正有负，则badxxf)(等于,ba上位于x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积如右图：badxxf)(1)(xadxxf21)(xxdxxfbxdxxf2)(123AAA。3. 定积分的性质1、badxxf)()()()(aFbFdxxfab；2、badxxkf)(badxxfk)(（k 为常数）

29、；3、badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(；（可推广的有限个可积函数的情形）4、cR有：badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(；（积分区间的可加性）4. NewtonLeibniz 公式 设函数 fx 在闭区间,ba上连续，又 F x 为 fx 在区间,ba上的一个原函数，则有：bafx dxF bF ax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页5. 基本积分表根据微积分基本公式就得到对应的积分公式：（1）dxxc；（2）1,(1)1xxc；（3）1lndxxcx；（4）,(01)lnxxaa dxc aaa且；（5）xxe dxec；（6）cossinxdxxc；（7）sincosxdxxc；（8）2sectanxdxxc；（9）2csccotxdxxc；以上 9 个公式是积分法的基础，必须熟记并灵活运用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页