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1、学习必备欢迎下载因式分解a2+4ab+4b2的分解因式分解（分解因式） Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。定义：把一个 多项式 化为几个最简 整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作 分解因式 ）。意义： 它是中学数学 中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习
2、它，既可以复习的整式四则运算 ，又为学习 分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式 乘法为相反变形。同时也是解 一元二次方程 中公式法的重要步骤因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法 、公式法 。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法 和十字相乘法 ，待定系数法 ，双十字相乘法 ，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法， 换元法 ，长除法 ，短除法 ，除法等。注意三原则左上因式分解1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1
3、 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载归纳方法： 北师大版八下课本上有的1提公因式法。2公式法。3分组分解法。4凑数法。 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 5组合分解法。6十字相乘法。7双十字相乘法。8配方法 。9拆项法。10换元法。11长除法。12加减项法。13求根法。14图象法。15主元法。16待定系数法。17特殊值法。18因式定理法。提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式 。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形
4、式，这种分解因式的方法叫做提取公因式 。具体方法： 当各项 系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数 ；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的 最大公约数 。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为 正数。提出“ - ”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。例如： -am+bm+cm=-(a-b-c)m a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。注意：把 2a+1/2 变成 2(a+1/4
5、) 不叫提公因式公式法如果把 乘法公式 反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法 。平方差公式 : (a+b)(a-b)=a2-b2 反过来为 a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式 ：(a+b)2=a2+2ab+b2 反过来为 a2+2ab+b2=(a+b)2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式) 的平方和的形式，另一项是这两个数(或式) 的积的 2 倍。两根式 ：ax2+bx+c=a(x-(- b+(b2 -4ac)/2a)(x-(-b-(b2 -4ac)
6、/2a) 立方和公式 ：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式 ：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载完全立方公式 ：a33a2b+3ab2b3=(ab)3公式： a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如： a2+4ab+4b2 =(a+2b)2 。分解因式技巧1分解因式技巧掌握：等式左边必须是多项式分解因式的结果必须是以乘积的形式表示每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
7、；分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。2提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：
8、二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把 ax 和 ay 分一组， bx 和 by 分一组，利用 乘法分配律 ，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题：1 5ax+5bx+3ay+3by 解法： =5x(a+b)+3y(a+b) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载=(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面
9、一样，把5ax 和 5bx 看成整体，把 3ay和 3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2 x3-x2+x-1 解法： =(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2 ，然后相合轻松解决。3 x2-x-y2-y 相关公式解法： =(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。十字相乘法这种方法有两种情况。x2+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常
10、数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1 的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例： x2-2x-8=(x-4)(x+2)kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有 k=ab，n=cd，且有 ad+bc=m时，那么 kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d) 图示如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载ac bd 例如： (7x+2)(x-3)中 a=1 b=7 c=2 d=-3 因为72 1-3 - 37=-21，12=
11、2，且 -21+2=-19 ，所以=(7x+2)(x-3)十字相 乘法口诀 ：首尾分解，交叉相乘，求和凑中拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数 的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c -a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a) +bc(a+b) +ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b) -ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c
12、(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如： x2+3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5)应用因式定理对于多项式 f(x)=0 ，如果 f(a)=0 ，那么 f(x) 必含有因式 x-a 例如： f(x)=x2+5x+6 ，f(-2)=0，则可确定 x+2 是 x2+5x+6 的一个因式。
13、( 事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3) ) 注意： 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q 为互质整数时）该多项式值为零，则 q 为常数项约数， p 最高次项系数约数2对于多项式 f(a)=0,b为最高次项系数， c 为常数项，则有a 为 c/b 约数换元法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数 ，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。例如在分解 (x2+x+1)(x2+x+2)-
14、12时，可以令 y=x2+x, 则原式=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y+2-12=y2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x2+x+5)(x2+x-2) =(x2+x+5)(x+2)(x-1)也可以参看右图。求根法令多项式 f(x)=0,求出其根为 x1，x2，x3，xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x -xn) 例如在分解 2x4+7x3-2x2-13x+6时，令 2x4 +7x3-2x2-13x+6=0 ，则通过 综合除法 可知，该方程的根为0.5 ，-3 ，-2，1所以 2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+
15、2)(x-1)图象法令 y=f(x) ，做出 函数 y=f(x) 的图象，找到函数图像与X轴的交点 x1,x2,x3, xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x -xn) 与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。例如在分解 x3 +2x2-5x-6时，可以令 y=x3; +2x2 -5x-6. 作出其图像，与x 轴交点为 -3，-1，2 则 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法将 2 或 10代入 x，求出数 p，将数 p 分解质因
16、数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 2 或 10的和与差的形式，将2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。例如在分解 x3+9x2+23x+15 时，令 x=2，则x3 +9x2+23x+15=8+36+46+15=105，将 105分解成 3 个质因数的积，即105=357 注意到多项式中最高项的系数为1，而 3、5、7分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值，则 x3+9x2+23x+15可能等于 (x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 1
17、0 页学习必备欢迎下载首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如在分解 x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式 ，因而只能分解为两个二次因式。于是设 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d) 相关公式=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得 a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4解得 a=1，b=1，c=-2，d=-4则 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)也可以参看右图。双十字相乘法双十字相乘法属于
18、因式分解的一类，类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f x、y 为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用。例：分解因式： x2+5xy+6y2+8x+18y+12分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：图如下，把所有的 数字交叉相连即可x 2y 2 x 3y 6 原式 =(x+2y+2)(x+3y+6) 双十字相乘法其步骤为：先用十字相乘法分解2 次项，如十字相乘图中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y) 先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y²+18y+1
19、2=(2y+2)(3y+6) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出错。利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解例：对于二次多项式aX2+bX+c(a0) aX2+bX+c=aX2+(b/a)X+(c/a)X. 当=b2- 4ac0时，=a(X2-X1-X2+X1X2) =a(X-X1)(X-X2). 多项式因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解
20、；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。” 几道例题1分解因式 (1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2解：原式 =(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)
21、-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2求证：对于任何 实数 x,y ，下式的值都不会为33：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5解：原式 =(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x
22、-2y)当 y=0时，原式 =x5 不等于 33；当 y 不等于 0 时，x+3y，x+y，x-y ，x+2y，x-2y 互不相同，而 33 不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。3ABC的三边 a、b、c 有如下关系式： -c2+a2+2ab-2bc=0 ，求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明： -c2+a2+2ab-2bc=0 ，(a+c)(a -c)+2b(a-c)=0(a -c)(a+2b+c)=0 a、b、c 是ABC的三条边，a+2b+c0ac=0，即 a=c，ABC为等腰三角形。精选学习资料 - - - - - -
23、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载4把-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n -1) 分解因式。解：- 12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)- 6xny(n -1) =-6xny(n - 1)(2xn y -3x2y2+1) 四个注意因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例可供参考例 1 把a2b2+2ab+4分解因式。解： a2b2+2ab+4=（a22ab+b24）=（ab+2）（ab2）这里的“负”，指“负号”。如果
24、多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如9x2+4y2=（3x）2（2y）2=（3x+2y）（ 3x2y）=（3x2y）（3x+2y）的错误例 2 把12x2nyn+18xn+2yn+16xnyn1 分解因式。解：12x2nyn+18xn+2yn+1 6xnyn1=6xnyn1（2xny3x2y2+1）这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式； 这里的“ 1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉 1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半
25、途而废的意思。其中 包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y25x2y29y2=y2（4x45x29）=y2（x2+1）（4x29）的错误。考试时应注意：在没有说明化到实数时，一般只化到有理数 就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。应用1 应用于多项式除法。2 应用于高次方程的求根。3 应用于分式的 通分与约分顺带一提，梅森 合数分解
26、已经取得一些微不足道的进展：1，p=4r+3，如果 8r+7 也是素数，则： (8r+7)|(2P-1)。即（ 2p+1）| （2P-1）. 例如：23|(211-1);；11=42+3 47|(223-1);；23=45+3 167|(283- 1);,.83=420+3 。2, ，p=2n32+1,，则（ 6p+1）|(2P-1)，例如： 223|(237-1);；37=2233+1 439|(273-1)；73=22233+1 3463|(2577-1);；577=22222233+1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，
27、共 10 页学习必备欢迎下载，。3，p=2n3m 5s-1, 则（8p+1）| （2P-1）. 例如； 233|(229-1)；29=235-1 ;1433|(2179-1)；179=22335 -1 1913| （2239-1）；239=222235 -1 ，。因式分解公式平方差公式(a+b)(a-b)=a2;-b2; 完全平方公式（a+b）2;=a2;+2ab+b2; （a-b）2=a2-2ab+b2; 立方和（差）立方公式两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。即 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 证明如下：（a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 所以 a3-b3=（a-b）3-3(a2)b+3ab2=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b) =(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页