2022年动态几何形成的函数关系和图象问题. .pdf

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1、精品资料欢迎下载数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题， 变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀

2、璨夺目、精彩四射。动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，其考点包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。在中考中， 动态几何形成的函数关系和图象问题命题形式主要有选择题和解答题。其考点类型主要有两类，一是根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象或求相应变量的值；二是根据条件研究动元素的变化趋势（特殊位置）来判断函数图象。动点变化的载体可以是三角形、 特殊四边形或圆等平面图形，也可以是直线、 双曲线或抛物线等函数图象。动态几何形成的函数关系和图象问题的重点和难点在于应用数形结合的

3、思想准确地进行分类。一. 单动点形成的函数关系和图象问题例 1（根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象）真题显示： （2013年河北省 3分） 如图，梯形 ABCD 中，AB DC ，DE AB ，CFAB ，且 AE = EF = FB = 5，DE = 12 ，动点 P从点 A出发，沿折线AD-DC-CB 以每秒 1个单位长的速度运动到点B停止 . 设运动时间为 t 秒， y = SEPF，则 y与t 的函数图象大致是【】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页精品资料欢迎下载ABCD思路点拨： 从点 P

4、的运动轨迹分析，分三段考虑，点P 在 AD上运动，点P 在 DC上运动，点P在 BC上运动，分别求出y 与 t 的函数表达式，继而可得出函数图象。考点分析： 本题应用了数形结合思想和分类思想对动点问题的函数图象进行探究，根据梯形的性质，应用勾股定理和锐角三角函数定义求出 y 与 t 的函数关系， 根据一次函数 （正比例函数）的图象作出判断。拓展延伸： 改变已知条件，可使问题得到变形或延伸，如：变形 1：将题干中的等腰梯形变形为同一底上的两底角为特殊角的梯形，把应用勾股定理求两腰长变成应用等腰直角三角形和含30 度角的直角坐标三角形的性质求两腰长：如图，梯形ABCD 中， ABDC ，DE AB

5、 ， CFAB ，且 AE = EF =DE =5 ， FB =5 3，动点 P从点 A出发，沿折线 AD-DC-CB以每秒 1 个单位长的速度运动到点B停止 . 设运动时间为t 秒， y = S EPF，则 y 与 t 的函数关系式为 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页精品资料欢迎下载变形 2：将题干中的y = SEPF变形为 y = SAPF：如图，梯形ABCD中， AB DC ，DE AB ，CFAB ，且 AE = EF = FB = 5，DE = 12 ，动点 P从点 A出发，沿折线 AD-DC-CB以

6、每秒 1 个单位长的速度运动到点B停止 . 设运动时间为t 秒， y = S APF，则 y 与 t 的函数关系式为 。例 2（根据条件研究动点的变化趋势或特殊位置来判断函数图象）真题显示： （2013 年北京市4 分） 如图，点 P是以 O为圆心， AB为直径的半圆上的动点， AB=2 ，设弦 AP的长为 x，APO的面积为 y，则下列图象中，能表示y 与 x 的函数关系的图象大致是【】A. B. C. D. 思路点拨： 由所给的四个选项分析，应用特殊元素法，根据当AP=x=1 时， APO的面积 y 的值来对选项作出选择。满分答题： 如图，当 AP=x=1时， APO为等边三角形，它的面积

7、y3144，此时，点（ 1，34）应在 y=12的一半与12之间， 只有 A选项符合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页精品资料欢迎下载故选 A。考点分析： 本题应用了数形结合思想和特殊元素法对动点问题的函数图象进行探究，根据等边三角形的判定和性质，应用点的坐标所在位置作出判断。拓展延伸： 不改变已知条件，改变问题的所求可使问题得到延伸，如：变形 1：不改变已知条件，求使y 最大时， x 的取值：如图，点 P是以 O为圆心， AB为直径的半圆上的动点，AB=2 ，设弦 AP的长为 x，APO的面积为y，则使 y 最

8、大时， x 的取值是【】A. 12 B. 14 C. 1 D. 2变形 2：不改变已知条件，求使y 等于一个值时，x 的取值：如图，点 P是以 O为圆心， AB为直径的半圆上的动点，AB=2 ，设弦 AP的长为 x，APO的面积为y，则当 y=34时， x 的取值是【】A. 1 B. 14 C. 1或3 D. 3例 3（以直线、双曲线或抛物线等函数图象为载体，根据条件求函数关系式）真题显示：（ 2013年广西贵港11 分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2yaxbxc交 y 轴于点 C （0，4），对称轴 x=2 与 x 轴交于点 D，顶点为 M ，且 DM=OC+OD（1）求该抛物

9、线的解析式；（2）设点 P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，PCD的面积为 S，求 S关于 x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，若经过点P的直线 PE与 y 轴交于点E，是否存在以O 、P、E为顶点的三角形与 OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页精品资料欢迎下载思路点拨： （1）略。（2）当点 P在 MP之间时，如答图所示，作辅助线构造梯形，利用CODPDEPEOCSSSS梯形求出 S关于 x 的表达式；同理可

10、得当点P在 CM之间时，利用PDECODPEOCSSSS梯形求出 S关于 x 的表达式。求出抛物线与x 轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围。（3）略。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页精品资料欢迎下载考点分析： 应用分类思想，作辅助线，构造梯形，应用转换思想将所求面积转换为梯形面积与两个直角三角形面积的关系来建立函数关系式；根据曲线上点的坐标与方程的关系，构造并解一元二次方程，求出自变量的取值范围。拓展延伸： 改变载体的范围，可使问题得到拓展和延伸，如：变形 1：设点 P（x，y）是该抛物线上的一个动点，求S

11、关于 x 的函数关系式：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21yx2x42交 y 轴于点 C，对称轴与x轴交于点D， 设点 P（x，y）是该抛物线上的一个动点（与点C不重合）， PCD的面积为S，求 S关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。变形 2：设点 P （x，y）是该抛物线在x 轴上方的一个动点，求S关于 x 的函数关系式并求 S的最大值：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21yx2x42交 y 轴于点 C，对称轴与x轴交于点D， 设点 P（x， y）是该抛物线在x 轴上方的一个动点（与点C不重合）， PCD的面积为S，（1）求 S关于 x 的函数关系式，并写出

12、自变量x 的取值范围；（2）问 x 为何值时， S取得的最大值，并求出最大值。二. 双（多）动点形成的函数关系和图象问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页精品资料欢迎下载例 4（已知函数图象，根据图象探讨动点在运动过程中的性质）真题显示： （2013 年四川南充3 分） 如图（1），点 E为矩形 ABCD 边 AD上一点， 点 P，点 Q同时从点B出发，点P 沿 BE ED DC 运动到点C 停止，点Q沿 BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设 P，Q出发 t 秒时， BPQ的面积为 ycm2，已知

13、y 与 t 的函数关系的图形如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：AD=BE=5cm；当0t 5 时，22yt5； 直线 NH的解析式为5yt272； 若 ABE 与 QBP 相似， 则 t=294秒。其中正确的结论个数为【】A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 思路点拨： 从图（ 2）可知，在点M时BPQ的面积开始达到最大，此时两动点运动了 5 秒钟，对应图 （ 1） ， 点 P、 Q分别运动到点E、 C处， 结合速度都是1cm/秒， 得到 BC=BE=5cm ，而根据矩形对边相等的性质即可得出正确的结论。当 0t 5 时，就是点P在 BC上运动，从而根据锐角三角函数定义把B

14、PQ的高 PF用 t 来表示，即可根据三角形面积公式求出BPQ 的面积为y 关于 t 的函数关系式，从而得出正确的结论。求出图（ 2）中点 N、C的坐标，应用待定系数法求出直线NH的解析式，从而得出错误的结论。当 ABE 与QBP相似时，点P 在 DC上，根据相似比列式即可求得t的值，从而得出正确的结论。满分答题： 根据图（ 2）可得，当点P到达点 E时点 Q到达点 C，点 P、Q的运动的速度都是1cm/秒， BC=BE=5cm。AD=BE=5 ，故结论正确。如图 1，过点 P作 PF BC 于点 F，根据面积不变时 BPQ 的面积为10，可得 AB=4。AD BC ， AEB= PBF 。精

15、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页精品资料欢迎下载AB4sinPBFsinAEBBE5。 PF=PBsin PBF=45t 。当 0t 5 时，21142yBQ PFttt2255。故结论正确。根据 57 秒面积不变，可得ED=2，当点 P运动到点C时，面积变为0，此时点 P走过的路程为BE+ED+DC=11，点 H的坐标为（ 11，0）。设直线 NH的解析式为y=kx+b，将点 H（11，0），点 N（7，10）代入可得：11kb07kb10，解得：5k255b2。直线 NH的解析式为：555yt22。故结论错误。

16、如图 2，当 ABE与QBP相似时，点P在 DC上，tan PBQ=tan ABE=34，PQ3BQ4，即11t354。解得： t=294。故结论正确。综上所述，正确，共3 个。故选B。考点分析： 对双动点问题的函数图象的分析，准确使用分类思想，根据矩形的性质、锐角三角函数定义、相似三角形的性质和曲线上点的坐标与方程的关系，应用待定系数法和上述几何性质求函数关系式，对各选项作出判断。拓展延伸： 改变条件和结论，或改变研究的载体，可使问题得到变形和延伸，如：变形 1：改变条件和结论，求y 与 t 的函数关系式并探究相似三角形的存在性：如图，点E为矩形 ABCD 边 AD上一点， AB=4cm ，

17、AD=BE=5cm ，ED=2 cm ，点 P，点 Q同时从点 B出发，点P沿 BE ED DC 运动到点C停止，点Q沿 BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设 P， Q出发 t 秒时， BPQ的面积为ycm2，求 y 与 t 的函数关系式。变形 2：改变研究的载体，根据图形进行探究：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页精品资料欢迎下载如图（ 1），点 E 为等腰梯形ABCD边 AD上一点，点P，点 Q同时从点B出发，点P沿BE ED DC 运动到点C停止，点 Q沿 BC运动到点C停止，它们运动的速度都

18、是1cm/s，设P，Q出发 t 秒时， BPQ的面积为ycm2，已知 y 与 t 的函数关系的图形如图（2）（曲线 OM 、NH均为抛物线的一部分），则下列结论：AD=3cm ；4cosPBQ5；当 0 t 5时，22yt5；点 P运动的距离为617。其中正确的结论个数为【】A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 例 5 （已知函数图象， 根据已知探讨双动点在运动过程中形成的性质，并求函数关系式）真题显示：（2013 年江苏连云港12 分） 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A、B 的坐标分别为（8，0）、（ 0，6）动点Q从点 O 、动点 P从点 A同时出发，分别沿着 OA方向、A

19、B方向均以 1 个单位长度 / 秒的速度匀速运动， 运动时间为t （秒）（0t 5） 以P为圆心， PA长为半径的P与 AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结 CD 、QC （1）求当 t 为何值时，点Q与点 D重合？（2）设 QCD的面积为S，试求 S与 t 之间的函数关系，并求S的最大值？（3）若P 与线段 QC只有一个交点，请直接写出t 的取值范围。思路点拨： （1）根据点A 、 B的坐标求出OA 、OB ，利用勾股定理列式求出AB ，根据点Q的速度表示出OQ ，然后求出AQ ，再根据直径所对的圆周角是直角可得ADC=90 ，再利用BAO的余弦表示出AD ，然后列出方程求解即可。（

20、2）利用 BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q 、 D 重合前与重合后两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页精品资料欢迎下载种情况表示出QD ，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答。（ 3）分点 Q 、 D重合前和点Q、D重合后两种情况讨论。当点Q 、D重合前，CQ与P 相切前，P与线段 QC只有一个交点，求出CQ与P 相切时 t 的取值即可求得这一时间内P与线段 QC只有一个交点的范围；点 Q 、 D重合后，P 与线段 QC只有一个交点。综合二者即得结论。满分答题： （1） A（8， 0

21、） ， B （ 0， 6） ， OA=8 ， OB=6 。 2222ABOAOB8610。点 Q的速度是1 个单位长度 / 秒， OQ=t 。AQ=OA OQ=8 t。P 的直径为 AC ， ADC=90 。ADOAcosBAOACAB，即AD82t10，解得8ADt5。当点 Q与点 D重合时， AD=AQ ，8t8t5，解得40t13。当40t9时，点 Q与点 D重合。（2）CDOBsinBAOACAB，即CD62t10，解得6CDt5。点Q、D重合前，即400t13时，813DQAQAD8ttt855，QCD的面积为2111363924SDQ CDt8ttt2255255。22392439

22、2048Sttt255251313，当t=2013时， S 有最大值为4813。点Q、D重合后，即40t513时，813DQADAQt8tt855，QCD的面积为211 1363924SDQ CDt8ttt2255255。223924392048Sttt255251313，当40t513时，S随 t 的增大而增大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页精品资料欢迎下载当 t=5 时， S有最大值为：23924S5515255。综上所述， S与 t 的函数关系式为22392440tt 0t25513S392440ttt

23、525513。154813，S 的最大值为15。（3）点 Q、D重合前，即400t13时， CQ与P 相切时 t 的值最大，此时，CQ AB ， AQ=8 t ，BAO= QAC ，AOB= ACQ=90 ， ACQ AOB 。ACAQOAAB，即2t8t810，解得 t=167。P 与线段 QC只有一个交点，t 的取值范围为160t7。点 Q 、D重合后，即40t513时，P 与线段 QC只有一个交点。考点分析： 根据勾股定理、圆周角定理和锐角三角函数定义列出方程求解即可解决问题（1）；应用分类思想分两种情况列二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值而解决问题（ 2）；根据直线与圆的位置关

24、系和相似三角形的判定与性质解决问题（ 3）。拓展延伸： 不改变已知条件，改变问题的所求可使问题得到变换，如：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 点 A、B的坐标分别为 （8，0）、 （0，6）动点 Q从点 O 、动点 P从点 A同时出发， 分别沿着 OA方向、 AB方向均以1 个单位长度 /秒的速度匀速运动，运动时间为t （秒）（ 0t 5）以P为圆心， PA长为半径的P与 AB 、 OA的另一个交点分别为点C、D，连结 CD 、QC （1）当 t 为何值时，点Q与点 D重合？（2）当 t 为何值时， DQ=2AD ？（3）求线段QC所在直线与P相切时 t 的值。精选学习资料 - - -

25、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页精品资料欢迎下载三. 线动形成的函数关系和图象问题例 6：（直线平移形成的函数关系问题）真题显示： （2013 年甘肃天水12 分） 如图 1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过 A （ 3，0）、 B（4， 4）两点。（1）求抛物线的解析式；（2）将直线 OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求 m的值及点 D的坐标；（3）如图2，若点N 在抛物线上，且 NBO= ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足POD NOB的点 P坐标（点P、 O 、D分别与点N、O 、B对

26、应）。思路点拨： （1）略。（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：yxm由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和 D点坐标。（3）综合利用几何变换和相似关系求解：进行翻折变换，将NOB沿 x 轴翻折，注意求出P点坐标之后，该点关于直线y= x 的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。还可以进行旋转变换，将NOB 绕原点顺时针旋转90求解。满分答题： （1）抛物线的解析式是2yx3x( 过程略 ) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

27、 - -第 12 页，共 26 页精品资料欢迎下载（2）设直线 OB的解析式为y=k1x，由点 B （4，4） ，得：4=4k1，解得： k1=1。直线 OB的解析式为y=x。直线 OB向下平移m个单位长度后的解析式为：yxm。点 D在抛物线2yx3x上，可设D（x，2x3x） 。又点 D在直线yxm上， 2x3xxm， 即2x4xm0。抛物线与直线只有一个公共点，164m0，解得： m=4 。此时 x1=x2=2，2yx3x2。D 点的坐标为（ 2， 2） 。（3）直线 OB的解析式为y=x，且 A （ 3，0） ，点 A关于直线OB的对称点 A的坐标是（0，3） 。根据轴对称性质和三线合一

28、性质得出ABO= ABO ，设直线 AB 的解析式为2yk x3，过点（ 4，4） ， 4k2+3=4，解得： k2=14。直线 AB 的解析式是1yx34。NBO= ABO ，ABO= ABO ，BA 和BN重合，即点N在直线AB 上。设点 N（n，1n34） 。又点 N在抛物线2yx3x上，21n3n3n4，解得： n1=34，n2=4（不合题意，舍去）。N 点的坐标为（345416，） 。如图，将 NOB沿 x 轴翻折，得到N1OB1，则 N1（345416， -） ，B1（4， 4） 。O 、 D 、B1都在直线y= x 上。由勾股定理，得OD=2 2， OB1=4 2，P1OD NO

29、B ，NOB N1OB1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页精品资料欢迎下载P1OD N1OB1。111OPOD2 21ONOB24 2。点 P1的坐标为（345832， -） 。将OP1D沿直线 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点P2（453328，） 。综上所述，点P的坐标是（345832， -）或（453328，） 。考点分析： 根据曲线上点的坐标与方程的关系，应用待定系数法和平移的性质求一次函数的解析式，根据抛物线与直线只有一个公共点的代数意义，应用一元二次方程根的判别式求出 m的值及点D的坐标； 应用

30、分类思想，根据相似三角形的判定与性质和轴对称的性质求出点 P的坐标。拓展延伸： 改变运动的主体，可使问题得到变形，如：如图，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、 B（ 4，4）两点。（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向上平移m个单位长度后，得到的抛物线与直线OB只有一个公共点D ，求 m的值及点D的坐标。例 7：（曲线平移形成的函数关系问题）真题显示：（2013 年辽宁大连3 分） 如图，抛物线29yxbx2与 y 轴相交于点A，与过点 A平行于 x 轴的直线相交于点B （点 B在第一象限）抛物线的顶点C在直线 OB上，对称轴与x 轴相交于点D 平移抛物线，使其经过点A、D

31、，则平移后的抛物线的解析式为 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页精品资料欢迎下载思路点拨： 求出点 A、D的坐标，根据抛物线平移不改变形状的性质，应用待定系数法即可求出平移后的抛物线解析式。满分答题： 在29yxbx2中，令 x=0，则 y=92，点 A（0，92），根据题意，点A、B关于对称轴对称， OAB 的中位线在对称轴上。顶点 C的纵坐标为199224。根据顶点公式，得2944b92414，解得 b1=3，b2=3。由图可知，b021，b 0。b= 3。对称轴为直线x=332 12。点 D的坐标为（32，

32、0） 。设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，则93mn0429n2，解得9m29n2。平移后的抛物线的解析式为299yxx22。考点分析： 根据曲线上点的坐标与方程的关系，求出点 A的坐标， 根据三角形中位线定理和二次函数的性质求出点 D的坐标， 根据平移变换的性质，应用待定系数法求出平移后的抛物线解析式。拓展延伸： 改变已知，可使问题得到变形，如：如图，抛物线29yxbx2与 y 轴相交于点A，与过点A平行于 x 轴的直线相交于点B（点 B在第一象限）抛物线的顶点C在直线 OB上，对称轴与x 轴相交于点D。平移抛物线，使其经过点B、D，则平移后的抛物线的解析式为 。精选学习资料 -

33、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页精品资料欢迎下载例 8：（直线旋转形成的函数关系问题）真题显示：（2013 年重庆市B4 分） 如图，平面直角坐标系中，已知直线yx上一点P（1，1），C为 y 轴上一点，连接PC ，线段 PC绕点 P顺时针旋转900至线段 PD ，过点 D作直线 AB x轴。垂足为B，直线 AB与直线yx交于点 A ，且 BD=2AD ，连接 CD ，直线 CD与直线yx交于点 Q，则点 Q的坐标为 。思路点拨： 由图形可知， 要求点 Q的坐标， 即求直线CD 、OA的交点， 由于直线 OA已知，故只要求直线

34、CD即可；要求直线CD ，只要求得点C、 D的坐标即可。从而可作辅助线：过点 P 作 EF x轴，交 y 轴与点 E，交 AB于点 F，从而求得点C、D的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页精品资料欢迎下载考点分析： 通过作辅助线，根据旋转的性质，应用全等三角形的判定和性质得出 EP=DF ，从而根据直线上点的坐标与方程的关系得出点 A、C的坐标， 应用待定系数法求出直线CD的解析式，从而解方程组求得。拓展延伸： 替换已知的等价条件，可使问题不变，如：如图，平面直角坐标系中，已知直线yx上一点P （1，1），

35、 C 为 y 轴上一点，连接PC ，线段 PC绕点 P顺时针旋转900至线段 PD ，过点 D作直线 AB x轴。垂足为B，直线 AB与直线yx交于点 A，且 OB=2 ，连接 CD ，直线 CD与直线yx交于点 Q，则点 Q的坐标为 。四. 面动形成的函数关系和图象问题例 9（平面几何中，面动平移形成的函数关系问题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页精品资料欢迎下载真题显示： （2013 年青海西宁3 分）如图，矩形的长和宽分别是4 和 3，等腰三角形的底和高分别是3 和 4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并

36、且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合。设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么 y 关于 x 的函数图象大致应为【】A B C D思路点拨： 把动态作静态来对待，矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）除开始和结束外是等腰梯形，要求它的的面积y 与重叠部分图形的高为x 的函数图象，由于下底一定，高为 x，故只要把上底用x 来表示即可求得y 关于 x 的函数关系式从而判断出函数的图象。从而， 如图，连接 IE，由 EGH ECD可求得上底GH关于 x 的表达式， 问题得到解决。满分答题： 如图，连接IE，根据题意， CD=3

37、，EF=4 ，FI=x ，EI=4x，易得， EGH ECD ，GHEICDEF，即GH4x34。33GH4x3x44。21133yGHCDFI3x3xx3x 0 x42248。y关于 x 的函数图象是抛物线在0 x4的一段，且当x=4 时， y=6。故选 B。考点分析： 通过作辅助线，根据相似三角形的判定和性质表示出上底的长，即可根据梯形面积公式求出关于x 的函数表达式，根据二次函数的图象和性质作出判断。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页精品资料欢迎下载拓展延伸： 改变条件和结论，可使问题得到变形和延伸，如：变

38、形 1：改变自变量x 的定义，求y 与 x 的函数关系式：如图，矩形的长和宽分别是4 和 3，等腰三角形的底和高分别是3 和 4，如果此三角形的底和矩形的宽重合， 并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自左向右匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合。设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，等腰三角形自左向右运动的距离为x，那么 y 关于 x 的函数关系式为。变形 2：改变动态的主体，使问题得到变形：如图，矩形的长和宽分别是3 和 2，等边三角形的边长是2，如果此三角形的一边和矩形的宽重合， 并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至与另一宽重合。设矩形与等边三角形重叠部分（阴影部分）

39、的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么 y 关于 x的函数图象大致应为【】A B C D例 10（直角坐标系中，面动平移形成的函数关系问题）真题显示：（2013 年湖北宜昌12 分） 如图 1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边 BC在 x 轴正半轴上滑动，点C的坐标为（ t ，0），直角边AC=4 ，经过 O ，C两点做抛物线1yax xt（a 为常数， a0），该抛物线与斜边AB交于点 E，直线 OA ：y2=kx（k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页精品资料欢迎下载为常数， k 0）（1）填空：用含t

40、 的代数式表示点A的坐标及k 的值： A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=14时：请你验证：抛物线1yax xt的顶点在函数21yx4的图象上；当三角板滑至点E为 AB的中点时，求t 的值；（3）直线 OA与抛物线的另一个交点为点D，当 t xt+4，21yy的值随 x 的增大而减小，当 xt+4 时，21yy的值随 x 的增大而增大，求a 与 t 的关系式及t 的取值范围思路点拨： （1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k 的值。（ 2）求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数21yx4，若该点满足函数解

41、析式21yx4，即表示该顶点在函数21yx4图象上；反之，该顶点不在函数21yx4图象上。如图 1，过点 E作 EK x轴于点 K则 EK是ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线11yx xt4即可求得t=2 。（ 3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D 横坐标是4tat，则4t4tat，由此可以求得a 与 t 的关系式。由2221t2t2yya xa2at2at求得21yy取得最大值时的x 值t2x2at，同时由4xtat时，21yy取得最小值0，得出当t24xt2atat时，21yy的值随 x 的增大而减小，当4xtat时，21yy的值随精选学

42、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页精品资料欢迎下载x 的增大而增大。从而由题意，得t2t2at，结合at1，求出 t 的取值范围。满分答题：（1）点 C的坐标为（ t ，0） ，直角边AC=4 ，点 A的坐标是（ t ，4） 。直线 OA ：y2=kx（k 为常数， k0） ，4=kt ，则4kt（k 0） 。（2）当 a=14时，2111yx xtxtx44，其顶点坐标为2tt216，。对于21yx4，当 x=t2时，221tty4216。点2tt216，在抛物线21yx4上。当 a=14时，抛物线1yax xt的顶

43、点在函数21yx4的图象上。如图 1，过点 E作 EK x轴于点 K，AC x轴，AC EK 。点 E是线段 AB的中点，K为 BC的中点。EK是ACB的中位线。EK=12AC=2 ，CK=12BC=2。E（ t+2，2） 。点 E在抛物线11yx xt4上，1t2t2t24，解得 t=2 。当三角板滑至点E为 AB的中点时， t=2 。（3） 如图 2， 由4yxtyax xt得4xax xtt，解得4xtat，或 x=0（不合题意，舍去） 。点 D的横坐标是4tat。当4xtat时，21yy=0，由题意得4t4tat，即at1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

44、 - - - - - - -第 21 页，共 26 页精品资料欢迎下载又2222144t2t2yyxax xtaxatxa xatt2at2at，当t2x2at时，21yy取得最大值。又当4xtat时，21yy取得最小值0，当t24xt2atat时，21yy的值随 x 的增大而减小，当4xtat时，21yy的值随 x 的增大而增大。由题意，得t2t2at，将at1代入得tt22，解得t4。综上所述， a 与 t 的关系式为at1，t 的取值范围为t4。考点分析： 根据数形结合思想求出点 A的坐标， 从而应用直线上点的坐标与方程的关系求出 k 的值；由二次函数的性质求出抛物线y1的顶点坐标，根据

45、曲线上点的坐标与方程的关系验证抛物线1yax xt的顶点在函数21yx4的图象上；根据平行的判定和三角形中位线的性质即可求 t 的值；同样根据二次函数的性质和曲线上点的坐标与方程的关系可列式求解方程组得到 a 与 t 的关系式和t 的取值范围。拓展延伸： 改变条件，可使问题得到变形，如：如图，平面之间坐标系中，Rt ABC的 ACB =90o， CAB=3 0o，直角边BC在 x 轴正半轴上滑动， 点 C的坐标为 （t ，0），直角边 AC=23，经过 O，C两点做抛物线1yax xt（a 为常数， a 0），该抛物线与斜边AB交于点 E，直线 OA ： y2=kx（k 为常数， k0）（1）

46、填空：用含t 的代数式表示点A的坐标及k 的值： A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=1 时：请你验证：抛物线1yax xt的顶点在函数2yx的图象上；当三角板滑至点E为 AB的中点时，求t 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页精品资料欢迎下载例 11（平面几何中，面动旋转形成的函数关系问题）真题显示：（2011 年广东省9 分） 如图（ 1）， ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与 DE重合， AB=AC=EF=9 ，BAC= DEF=90o ，固定 ABC ，将 DEF绕点 A顺时针旋转，当DF

47、边与 AB边重合时，旋转中止。现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线 ) 分别交 BC(或它的延长线) 于 G ，H点，如图 (2)（1）问：始终与 AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设 CG=x ，BH=y ，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）（3）问：当x 为何值时， AGH是等腰三角形。思路点拨： （1）要求始终与 AGC 相似的三角形，根据两角对应相等的判定，由等腰直角三角形的性质、三角形外角定理和旋转的性质可知AGC 和HAB 、HGA各有两组对应角相等，从而得出结论。（2）利用 AGC HAB 得对应边的比即可得y 关于

48、x 的函数关系式。（3）考虑 GAH是等腰三角形底角和顶角两种情况分别求解即可。满分答题： （1）在 AGC和HAB中，AGC= B+BAG= B+900GAC=1350GAC ，BAH= BAC+ EAF EAC=900+450GAC ，AGC= BAH 。又 ACG= HBA=450， AGC HAB 。在AGC和HGA中，CAG= EAF CAF=450CAF ，H=1800ACH CAH=18001350CAF=450CAF ，CAG= H。又 AGC= HGA ， AGC HGA 。综上所述，始终与 AGC 相似的三角形有 HAB 和HGA 。精选学习资料 - - - - - - -

49、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页精品资料欢迎下载（ 2） AGC HAB ，ACGCHBAB，即9x=y9。81y=x。又BC=22999 2，0 x9 2。y关于 x 的函数关系式为81y=0 x92x。（3）当 GAH= 45 是等腰三角形. 的底角时，如图1，可知BC9xCG222。当 GAH= 45 是等腰三角形. 的顶角时 , 如图 2，在HGA和AGC中AGH= CGA ，GAH= C=450，HGA AGC 。AG=AH ，xCGAC9当9x22或x9时， AGH 是等腰三角形。考点分析： 根据相似的三角形的判定，由等腰直角三角形的性质

50、、三角形外角定理和旋转的性质，可得出始终与AGC 相似的三角形；结合应用勾股定理，根据相似三角形的性质可得 y 关于 x 的函数关系式；根据等腰三角形的判定，应用分类思想分两种情况求解。拓展延伸： 改变条件，可使问题得到变形，如：如图（ 1）， RtABC和 RtEFD中， AC与 DE重合， AB= EF=1，BAC= DEF=90o ， ACB= EDF=30o，固定 ABC ，将 DEF 绕点 A顺时针旋转，当DF边与 AB边重合时，旋转中止。现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE ，DF(或它们的延长线) 分别交 BC(或它的延长线 ) 于 G，H点，如图 (2)（1）问：始终与