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1、精选优质文档-倾情为你奉上 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考
2、题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，其考点包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。在中考中，动态几何形成的函数关系和图象问题命题形式主要有选择题和解答题。其考点类型主要有两类，一是根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象或求相应变量的值；二是根据条件研究动元素的变化趋势（特殊位置）来判断函数图象。动点变化的载体可以是三角形、特殊四边形或圆等平面图形，也可以是直线、双曲线或抛物线等函数图象。动态几何形成的函数关系和图象问题的重点和难点在于应用数形
3、结合的思想准确地进行分类。一. 单动点形成的函数关系和图象问题例1（根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象）真题显示：（2013年河北省3分）如图，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = SEPF，则y与t的函数图象大致是【 】A B C D思路点拨：从点P的运动轨迹分析，分三段考虑，点P在AD上运动，点P在DC上运动，点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象。 考点分析：本题应用了数形结合思想和分类
4、思想对动点问题的函数图象进行探究，根据梯形的性质，应用勾股定理和锐角三角函数定义求出y与t的函数关系，根据一次函数（正比例函数）的图象作出判断。拓展延伸：改变已知条件，可使问题得到变形或延伸，如：变形1：将题干中的等腰梯形变形为同一底上的两底角为特殊角的梯形，把应用勾股定理求两腰长变成应用等腰直角三角形和含30度角的直角坐标三角形的性质求两腰长：如图，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE = EF =DE =5 ， FB =，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = SEPF，则y与t的函数关系式为 。变形2：将题干
5、中的y = SEPF变形为y = SAPF：如图，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = SAPF，则y与t的函数关系式为 。例2（根据条件研究动点的变化趋势或特殊位置来判断函数图象）真题显示：（2013年北京市4分） 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是【 】A. B. C. D. 思路点拨：由所给的四个选项分析，应用特殊元素
6、法，根据当AP=x=1时，APO的面积y的值来对选项作出选择。满分答题：如图，当AP=x=1时，APO为等边三角形，它的面积y，此时，点（1，）应在y=的一半与之间，只有A选项符合。故选A。考点分析：本题应用了数形结合思想和特殊元素法对动点问题的函数图象进行探究，根据等边三角形的判定和性质，应用点的坐标所在位置作出判断。拓展延伸：不改变已知条件，改变问题的所求可使问题得到延伸，如：变形1：不改变已知条件，求使y最大时，x的取值：如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，APO的面积为y，则使y最大时，x的取值是【 】A. B. C. 1 D. 变形2：不改变
7、已知条件，求使y等于一个值时，x的取值：如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，APO的面积为y，则当y=时，x的取值是【 】A. 1 B. C. 1或 D. 例3（以直线、双曲线或抛物线等函数图象为载体，根据条件求函数关系式）真题显示：（ 2013年广西贵港11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若
8、经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由思路点拨：（1）略。（2）当点P在MP之间时，如答图所示，作辅助线构造梯形，利用求出S关于x的表达式；同理可得当点P在CM之间时，利用求出S关于x的表达式。求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围。（3）略。考点分析：应用分类思想，作辅助线，构造梯形，应用转换思想将所求面积转换为梯形面积与两个直角三角形面积的关系来建立函数关系式；根据曲线上点的坐标与方程的关系，构造并解一元二次方程，求出自变量的取值范围。拓展延伸：改变载体的范围，可使问题得到拓展和
9、延伸，如：变形1：设点P（x，y）是该抛物线上的一个动点，求S关于x的函数关系式：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C，对称轴与x轴交于点D， 设点P（x，y）是该抛物线上的一个动点（与点C不重合），PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。变形2：设点P（x，y）是该抛物线在x轴上方的一个动点，求S关于x的函数关系式并求S的最大值：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C，对称轴与x轴交于点D， 设点P（x，y）是该抛物线在x轴上方的一个动点（与点C不重合），PCD的面积为S，（1）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）问x
10、为何值时，S取得的最大值，并求出最大值。二. 双（多）动点形成的函数关系和图象问题例4（已知函数图象，根据图象探讨动点在运动过程中的性质）真题显示：（2013年四川南充3分） 如图（1），点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BEEDDC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图形如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：AD=BE=5cm；当0t5时，；直线NH的解析式为；若ABE与QBP相似，则t=秒。其中正确的结论个数为【 】A. 4 B. 3 C. 2
11、 D. 1思路点拨：从图（2）可知，在点M时BPQ的面积开始达到最大，此时两动点运动了5秒钟，对应图（1），点P、Q分别运动到点E、C处，结合速度都是1cm/秒，得到BC=BE=5cm，而根据矩形对边相等的性质即可得出正确的结论。 当0t5时，就是点P在BC上运动，从而根据锐角三角函数定义把BPQ的高PF用t来表示，即可根据三角形面积公式求出BPQ的面积为y关于t的函数关系式，从而得出正确的结论。 求出图（2）中点N、C的坐标，应用待定系数法求出直线NH的解析式，从而得出错误的结论。 当ABE与QBP相似时，点P在DC上，根据相似比列式即可求得t的值，从而得出正确的结论。满分答题：根据图（2）
12、可得，当点P到达点E时点Q到达点C， 点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，BC=BE=5cm。AD=BE=5，故结论正确。如图1，过点P作PFBC于点F，根据面积不变时BPQ的面积为10，可得AB=4。ADBC，AEB=PBF。PF=PBsinPBF=t。当0t5时，。故结论正确。根据57秒面积不变，可得ED=2，当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11，点H的坐标为（11，0）。设直线NH的解析式为y=kx+b，将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：，解得：。直线NH的解析式为：。故结论错误。如图2，当ABE与QBP相似时，点P在DC上，tanPBQ
13、=tanABE=，即。解得：t=。故结论正确。综上所述，正确，共3个。故选B。考点分析：对双动点问题的函数图象的分析，准确使用分类思想，根据矩形的性质、锐角三角函数定义、相似三角形的性质和曲线上点的坐标与方程的关系，应用待定系数法和上述几何性质求函数关系式，对各选项作出判断。拓展延伸：改变条件和结论，或改变研究的载体，可使问题得到变形和延伸，如：变形1：改变条件和结论，求y与t的函数关系式并探究相似三角形的存在性：如图，点E为矩形ABCD边AD上一点，AB=4cm，AD=BE=5cm，ED=2 cm，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BEEDDC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运
14、动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，BPQ的面积为ycm2，求y与t的函数关系式。变形2：改变研究的载体，根据图形进行探究：如图（1），点E为等腰梯形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BEEDDC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图形如图（2）（曲线OM、NH均为抛物线的一部分），则下列结论：AD=3cm；当0t5时，；点P运动的距离为。其中正确的结论个数为【 】A. 4 B. 3 C. 2 D. 1例5（已知函数图象，根据已知探讨双动点在运动过程中形成的性质，
15、并求函数关系式）真题显示：（2013年江苏连云港12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0t5）以P为圆心，PA长为半径的P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系，并求S的最大值？（3）若P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围。思路点拨：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度
16、表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得ADC=90，再利用BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可。（2）利用BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答。（3）分点Q、D重合前和点Q、D重合后两种情况讨论。当点Q、D重合前，CQ与P相切前，P与线段QC只有一个交点，求出CQ与P相切时t的取值即可求得这一时间内P与线段QC只有一个交点的范围；点Q、D重合后，P与线段QC只有一个交点。综合二者即得结论。满分答题：（1）A（8，0），B（0，6），OA=8，OB=6。点Q的速度是1
17、个单位长度/秒，OQ=t。AQ=OAOQ=8t。P的直径为AC，ADC=90。，即，解得。当点Q与点D重合时，AD=AQ，解得。当时，点Q与点D重合。（2），即，解得。点Q、D重合前，即时，QCD的面积为。，当t=时，S有最大值为。点Q、D重合后，即时，QCD的面积为。，当时，S随t的增大而增大。当t=5时，S有最大值为：。综上所述，S与t的函数关系式为。15，S的最大值为15。（3）点Q、D重合前，即时，CQ与P相切时t的值最大，此时，CQAB，AQ=8t，BAO=QAC，AOB=ACQ=90，ACQAOB。，即，解得t=。P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为。点Q、D重合后，即时，P与
18、线段QC只有一个交点。考点分析：根据勾股定理、圆周角定理和锐角三角函数定义列出方程求解即可解决问题（1）；应用分类思想分两种情况列二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值而解决问题（2）；根据直线与圆的位置关系和相似三角形的判定与性质解决问题（3）。拓展延伸：不改变已知条件，改变问题的所求可使问题得到变换，如：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0t5）以P为圆心，PA长为半径的P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、
19、QC（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当t为何值时，DQ=2AD？（3）求线段QC所在直线与P相切时t的值。三. 线动形成的函数关系和图象问题例6：（直线平移形成的函数关系问题）真题显示：（2013年甘肃天水12分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点。（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）。思路点拨：（1）略。（2）根据已
20、知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。（3）综合利用几何变换和相似关系求解：进行翻折变换，将NOB沿x轴翻折，注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。还可以进行旋转变换，将NOB绕原点顺时针旋转90求解。满分答题：（1）抛物线的解析式是(过程略)。（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1。直线OB的解析式为y=x。直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：。
21、点D在抛物线上，可设D（x，）。又点D在直线上，即。抛物线与直线只有一个公共点，解得：m=4。此时x1=x2=2，。D点的坐标为（2，2）。（3）直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），点A关于直线OB的对称点A的坐标是（0，3）。根据轴对称性质和三线合一性质得出ABO=ABO，设直线AB的解析式为，过点（4，4），4k2+3=4，解得：k2=。直线AB的解析式是。NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即点N在直线AB上。设点N（n，）。又点N在抛物线上，解得：n1=，n2=4（不合题意，舍去）。N点的坐标为（）。如图，将NOB沿x轴翻折，得到N1OB1，则N1（），B1（4，4）
22、。O、D、B1都在直线y=x上。由勾股定理，得OD=，OB1=，P1ODNOB，NOBN1OB1，P1ODN1OB1。点P1的坐标为（）。将OP1D沿直线y=x翻折，可得另一个满足条件的点P2（）。综上所述，点P的坐标是（）或（）。考点分析：根据曲线上点的坐标与方程的关系，应用待定系数法和平移的性质求一次函数的解析式，根据抛物线与直线只有一个公共点的代数意义，应用一元二次方程根的判别式求出m的值及点D的坐标；应用分类思想，根据相似三角形的判定与性质和轴对称的性质求出点P的坐标。拓展延伸：改变运动的主体，可使问题得到变形，如：如图，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）
23、两点。（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向上平移m个单位长度后，得到的抛物线与直线OB只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标。例7：（曲线平移形成的函数关系问题）真题显示：（2013年辽宁大连3分）如图，抛物线与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 思路点拨：求出点A、D的坐标，根据抛物线平移不改变形状的性质，应用待定系数法即可求出平移后的抛物线解析式。满分答题：在中，令x=0，则y=，点A（0，），根据题意，点A、B关于对称轴对称，OAB的中位线在对称
24、轴上。顶点C的纵坐标为。根据顶点公式，得，解得b1=3，b2=3。由图可知，b0。b=3。对称轴为直线x=。点D的坐标为（，0）。设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，则，解得。平移后的抛物线的解析式为。考点分析：根据曲线上点的坐标与方程的关系，求出点A的坐标，根据三角形中位线定理和二次函数的性质求出点D的坐标，根据平移变换的性质，应用待定系数法求出平移后的抛物线解析式。拓展延伸：改变已知，可使问题得到变形，如：如图，抛物线与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D。平移抛物线，使其经过点B、D，则平移后的抛
25、物线的解析式为 。例8：（直线旋转形成的函数关系问题）真题显示：（2013年重庆市B4分）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线ABx轴。垂足为B，直线AB与直线交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线交于点Q，则点Q的坐标为 。思路点拨：由图形可知，要求点Q的坐标，即求直线CD、OA的交点，由于直线OA已知，故只要求直线CD即可；要求直线CD，只要求得点C、D的坐标即可。从而可作辅助线：过点P 作EFx轴，交y轴与点E，交AB于点F，从而求得点C、D的坐标。考点分析：通过作辅助线，根据旋转
26、的性质，应用全等三角形的判定和性质得出EP=DF，从而根据直线上点的坐标与方程的关系得出点A、C的坐标，应用待定系数法求出直线CD的解析式，从而解方程组求得。拓展延伸：替换已知的等价条件，可使问题不变，如：如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线ABx轴。垂足为B，直线AB与直线交于点A，且OB=2，连接CD，直线CD与直线交于点Q，则点Q的坐标为 。四. 面动形成的函数关系和图象问题例9（平面几何中，面动平移形成的函数关系问题）真题显示：（2013年青海西宁3分）如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三
27、角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合。设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为【 】A B C D思路点拨：把动态作静态来对待，矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）除开始和结束外是等腰梯形，要求它的的面积y与重叠部分图形的高为x的函数图象，由于下底一定，高为x，故只要把上底用x来表示即可求得y关于x的函数关系式从而判断出函数的图象。从而，如图，连接IE，由EGHECD可求得上底GH关于x的表达式，问题得到解决。满分答题：如图，连接IE，
28、 根据题意，CD=3，EF=4，FI=x，EI=4x，易得，EGHECD，即。y关于x的函数图象是抛物线在的一段，且当x=4时，y=6。故选B。考点分析：通过作辅助线，根据相似三角形的判定和性质表示出上底的长，即可根据梯形面积公式求出关于x的函数表达式，根据二次函数的图象和性质作出判断。拓展延伸：改变条件和结论，可使问题得到变形和延伸，如：变形1：改变自变量x的定义，求y与x的函数关系式：如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自左向右匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合。设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部
29、分）的面积为y，等腰三角形自左向右运动的距离为x，那么y关于x的函数关系式为 。变形2：改变动态的主体，使问题得到变形：如图，矩形的长和宽分别是3和2，等边三角形的边长是2，如果此三角形的一边和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至与另一宽重合。设矩形与等边三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为【 】A B C D例10（直角坐标系中，面动平移形成的函数关系问题）真题显示：（2013年湖北宜昌12分）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O
30、，C两点做抛物线（a为常数，a0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=时：请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当txt+4，的值随x的增大而减小，当xt+4时，的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围思路点拨：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值。（2）求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代
31、入函数，若该点满足函数解析式，即表示该顶点在函数图象上；反之，该顶点不在函数图象上。如图1，过点E作EKx轴于点K则EK是ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线即可求得t=2。（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是，则，由此可以求得a与t的关系式。由求得取得最大值时的x值，同时由时，取得最小值0，得出当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。从而由题意，得，结合，求出t的取值范围。满分答题：（1）点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，点A的坐标是（t，4）。直线OA：y2=kx（k为常数，k0），4=kt，则（k0）。（2
32、）当a=时，其顶点坐标为。对于，当x=时，。点在抛物线上。当a=时，抛物线的顶点在函数的图象上。如图1，过点E作EKx轴于点K，ACx轴，ACEK。点E是线段AB的中点，K为BC的中点。EK是ACB的中位线。EK=AC=2，CK=BC=2。E（t+2，2）。点E在抛物线上，解得t=2。当三角板滑至点E为AB的中点时，t=2。（3）如图2，由得， 解得，或x=0（不合题意，舍去）。点D的横坐标是。当时，=0，由题意得，即。又，当时，取得最大值。又当时，取得最小值0，当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。由题意，得，将代入得，解得。综上所述，a与t的关系式为，t的取值范围为。考点
33、分析：根据数形结合思想求出点A的坐标，从而应用直线上点的坐标与方程的关系求出k的值；由二次函数的性质求出抛物线y1的顶点坐标，根据曲线上点的坐标与方程的关系验证抛物线的顶点在函数的图象上；根据平行的判定和三角形中位线的性质即可求t的值；同样根据二次函数的性质和曲线上点的坐标与方程的关系可列式求解方程组得到a与t的关系式和t的取值范围。拓展延伸：改变条件，可使问题得到变形，如：如图，平面之间坐标系中，RtABC的ACB=90，CAB=30，直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=，经过O，C两点做抛物线（a为常数，a0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx
34、（k为常数，k0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=1时：请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值。例11（平面几何中，面动旋转形成的函数关系问题）真题显示：（2011年广东省9分）如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90，固定ABC，将DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止。现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)（1）问：始终与AGC相似的
35、三角形有 及 ；（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）（3）问：当x为何值时，AGH是等腰三角形。思路点拨：（1）要求始终与AGC相似的三角形，根据两角对应相等的判定，由等腰直角三角形的性质、三角形外角定理和旋转的性质可知AGC和HAB、HGA各有两组对应角相等，从而得出结论。 （2）利用AGCHAB得对应边的比即可得y关于x的函数关系式。 （3）考虑GAH是等腰三角形底角和顶角两种情况分别求解即可。满分答题：（1）在AGC和HAB中， AGC=B+BAG=B+900GAC=1350GAC， BAH=BAC+EAFEAC=900+450GAC，A
36、GC=BAH。又ACG=HBA=450，AGCHAB。在AGC和HGA中，CAG=EAFCAF=450CAF，H=1800ACHCAH=18001350CAF=450CAF，CAG=H。又AGC=HGA，AGCHGA。综上所述，始终与AGC相似的三角形有HAB 和HGA。 （2）AGCHAB，即。 又BC=，。 y关于x的函数关系式为。 （3）当GAH= 45是等腰三角形.的底角时，如图1， 可知。 当GAH= 45是等腰三角形.的顶角时, 如图2， 在HGA和AGC中 AGH=CGA，GAH=C=450， HGAAGC。 AG=AH， 当或时，AGH是等腰三角形。考点分析：根据相似的三角形的
37、判定，由等腰直角三角形的性质、三角形外角定理和旋转的性质，可得出始终与AGC相似的三角形；结合应用勾股定理，根据相似三角形的性质可得y关于x的函数关系式；根据等腰三角形的判定，应用分类思想分两种情况求解。拓展延伸：改变条件，可使问题得到变形，如：如图（1），RtABC和RtEFD中，AC与DE重合，AB= EF=1，BAC=DEF=90， ACB=EDF=30，固定ABC，将DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止。现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)（1）问：始终与AGC相似的三角形是 ；（2）设
38、CG=x，BG=y，求y关于x的函数关系式；（3）问：当x为何值时，HGA是等腰三角形。例12（直角坐标系中，面动旋转形成的函数关系问题）真题显示：（2013年湖北咸宁12分）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90后得到COD。（1）点C的坐标是 ，线段AD的长等于 ；（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由思路点拨：（1
39、）首先求出直线与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而根据旋转的性质得出C点坐标以及线段AD的长。 （2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式。（3）略考点分析：根据直线上点的坐标与方程的关系求出点A、B的坐标，从而根据旋转的性质求出C点坐标以及线段AD的长：根据等腰三角形的判定和性质、直角三角形中线性质求出点M的坐标，应用待定系数法求出抛物线的解析式。拓展延伸：改变条件，可使问题得到变形，如：如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90后得到COD。（1）点C的坐标是 ，线段AD的长等于 ；（2）点M在CD上，且CM=OM，求点M的坐标。专心-专注-专业