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1、1 习题 7-3 齐次方程 1. 求下列微分方程的通解 : (1)220 xyyyx; 解.22221yyxdyyydxxxx, 令yux, 则yxu,dyduuxdxdx, 代入方程 , 得2211dududyuxuudxxu, 得 22222ln1ln1uuxCuuCxyyxCx. (2)220 xydxxydy. 解.22dyxyxydxxyyx, 令yux, 则yxu,dyduuxdxdx, 代入方程 , 得22212ln2lndudxuxuuduuxCyxxCdxux. 2. 求下列初值问题的解 : (1)12xxyyyxy; 解.222lnyxxC, 代入1x,2y, 得4C. (
2、2)222212201xxxyydxyxyxdyy. 解.222222212221yydyyxyxxxdxyxyxyyxx, 令yux, 则yxu,dyduuxdxdx, 2 代入方程 , 得232222112121duuuduuuuuxxdxuudxuu22221211111uuyxdudxCxCuuxuyx, 代入1x,1y, 得1C. 3. 设有连结0,0O与1,1A的一段向上凸的曲线OA, 对于OA上的 任一点,P x y, 弧OP与弦OP围成图形的面积为2x, 求OA的方程 . 解. 设曲线方程yy x, 则201112222xy x dxxyxyyxyx, 即4yyx, 解得4ln
3、yx Cx, 代入1x,1y, 得1C, 故 曲线方程为14lnyxx. 4. 求微分方程22yyyxyx的通解 . 提示: 令zy. 解. 令zy, 则2yz,2dydzzdxdx, 代入方程 , 得 32222222dzzdzzzdxxzxdxxzx, 齐次方程 , 解得332Cxzzx, 即 312232yyxCx. 5. 求解初值问题:0sintan06xxy dyydxy. 提示: 令sinzy. 3 解. 令sinzy, 则arcsinyz,211dydzdxdxz, 代入方程 , 得 2211zxdzzdzzdxdxzxzz, 齐次方程 , 解得22xzzC, 即 22 sinsinxyyC, 代入0 x,6y, 得14C, 故 24sin8 sin1yxy.