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1、1 高数 A补充题二 1. 证明:sinfxxx在,上一致连续 . 证.0,sinsin2fxfxxxxxxx, 故取2, 当xx时,fxfx, 证毕. 2. 证明:fxx在1,上一致连续 . 证.0,2xxxxxxxx, 故取2, 当xx时, fxfx, 证毕 . 3. 设fx与g x在区间I上一致连续 , 证明:fxg x也在I上 一致连续 . 证.0,10, 当1xx时,2fxfx, 又20, 当2xx时,2g xg x, 取12min,0, 当xx时, fxg xfxg xfxfxg xg x, 证毕 . 4. 设fx在,a上连续,limxfx存在, 证明:fx在,a上 一致连续 .
2、证.0,0X, 当,x xX时,fxfx; 又fx在,1a Xa上一致连续 , 故10, 当1xx时, fxfx, 故取1min 1, 当xx时, 必有 ,1x xa Xa, 或者, x xX, 故必有fxfx, 证毕. 2 5. 用定义证明:1fxx在0,1上连续 , 但非一致连续. 证.0,00,1x, 当002xxx时,02xx, 此时0fxfx002002xxxxxxx, 要使0fxfx, 只要0202xxx, 即 2002xxx, 故取200min,022xx, 当0 xx时, 均有 0fxfx, 因此fx在0 x处连续 ; 另一方面 , 取1nxn,11nyn, 则0nnxy, 而1nnfxfy, 故fx在0,1上不一致连续 , 证毕. 6. 证明:1cosxfxex在0,1上非一致连续. 证. 取12nxn,122nyn, 则0nnxy, 而 121nnnfxfye, 故fx在0,1上不一致连续, 证毕 . 7. 证明:2sinfxx在,上非一致连续. 证. 取2nxn,22nyn, 则0nnxy, 而1nnfxfy, 证毕. 8. 讨论2fxx在(1), l l,(2),上的一致连续性. 解.(1) 一致连续 , 因为fx在, l l上一致连续 ; (2) 不一致连续 , 取nxn,1nyn, 则0nnxy, 而 1nnfxfy.