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1、高一数学函数的对称性知识点总结一、函数自身的对称性探究定理 1. 函数 y=f 的图像关于点A 对称的充要条件是f+f=2b 证明： （必要性）设点P 是 y=f 图像上任一点，点P关于点 A的对称点 P（2ax，2by）也在 y=f 图像上，2by=f 即 y+f=2b 故 f+f=2b ，必要性得证。（充分性）设点P 是 y=f 图像上任一点，则y0=f f+f=2b f+f=2b ，即 2by0=f 。故点 P（2ax0，2by0）也在 y=f 图像上，而点P与点 P 关于点 A 对称，充分性得征。推论：函数y=f的图像关于原点o 对称的充要条件是f+f=0 定理 2. 函数 y=f 的
2、图像关于直线x=a 对称的充要条件是f=f即 f=f （证明留给读者）推论：函数y=f 的图像关于y 轴对称的充要条件是f=f 定理 3. 若函数 y=f 图像同时关于点A和点 B成中心对称（ ab） ，则 y=f 是周期函数，且2ab 是其一个周期。若函数 y=f 图像同时关于直线x=a 和直线 x=b 成轴对称（ ab） ，则 y=f 是周期函数，且2ab 是其一个周期。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页若函数y=f图像既关于点A 成中心对称又关于直线x=b 成轴对称（ ab） ，则 y=f 是周期函数，且4ab
3、 是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y=f 图像既关于点A 成中心对称，f+f=2c ，用 2bx 代 x 得：f+f2a=2c （*）又函数 y=f 图像直线 x=b 成轴对称，f=f代入（ *）得：f=2c f2+x（ * ） ，用 2（ab） x 代 x 得f2+x=2cf4+x代入（ * ）得：f=f4+x,故 y=f 是周期函数，且 4ab 是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理 4. 函数 y=f 与 y=2bf 的图像关于点A成中心对称。定理 5. 函数 y=f 与 y=f 的图像关于直线x=a 成轴对称。函数 y=f 与 ax=f 的图像关于直线x+y=a
4、 成轴对称。函数 y=f 与 xa=f 的图像关于直线xy=a 成轴对称。定理 4 与定理 5 中的证明留给读者，现证定理5 中的设点 P是 y=f 图像上任一点， 则 y0=f 。记点 P 关于直线xy=a 的轴对称点为P （x1，y1） ，则 x1=a+y0,y1=x0 a，x0=a+y1,y0=x1 a代入 y0=f 之中得 x1a=f 点 P （x1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页y1）在函数 xa=f 的图像上。同理可证：函数 xa=f 的图像上任一点关于直线xy=a的轴对称点也在函数y=f 的图像上。
5、故定理5 中的成立。推论：函数y=f 的图像与 x=f 的图像关于直线x=y 成轴对称。三、三角函数图像的对称性列表注：上表中kZ y=tanx 的所有对称中心坐标应该是，而在岑申、 王而冶主编的浙江教育出版社出版的21 世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是，这明显是错的。四、函数对称性应用举例例 1：定义在R 上的非常数函数满足：f 为偶函数，且f=f,则 f 一定是（） （第十二届希望杯高二第二试题）是偶函数，也是周期函数是偶函数，但不是周期函数是奇函数，也是周期函数是奇函数，但不是周期函数解： f
6、为偶函数， f=f. f 有两条对称轴x=5 与 x=10，因此 f 是以 10 为其一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页个周期的周期函数，x=0 即 y 轴也是 f 的对称轴，因此f还是一个偶函数。故选例 2：设定义域为R的函数 y=f 、y=g 都有反函数，并且f 和 g-1 函数的图像关于直线y=x 对称，若 g=1999，那么 f=（） 。（A）1999； （B）XX； （c）XX； （D）XX 。解： y=f 和 y=g-1 函数的图像关于直线y=x 对称，y=g-1 反函数是 y=f ，而 y=g-1 的
7、反函数是 :y=2+g, f=2+g, 有 f=2+g=XX 故 f=XX, 应选（ c）例 3. 设 f 是定义在 R上的偶函数，且f=f,当 1x0时，f= x，则 f=_ （第八届希望杯高二第一试题）解： f 是定义在 R上的偶函数 x=0 是 y=f 对称轴；又 f=f x=1 也是 y=f 对称轴。故 y=f 是以 2 为周期的周期函数， f=f=f=f=0.3 例 4. 函数 y=sin 的图像的一条对称轴的方程是（）x=x=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页x= x= 解：函数 y=sin 的图像的所有对称轴的方程是2x+ =k+ x= , 显然取 k=1 时的对称轴方程是x=故选例 5. 设 f 是定义在 R上的奇函数， 且 f= f, 当 0 x1时，f=x ，则 f= （）0.5 0.5 1.5 1.5 解： y=f 是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；又 f= f=f ，即 f=f ，直线x=1 是 y=f 对称轴，故y=f 是周期为 2 的周期函数。f=f=f=f= 0.5 故选精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页