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1、用拉格朗日乘数法解决一类与凸函数有关的多元函数条件最值北京丰台二中 甘志国 （ 特级教师 ）临沂大学附中戴桂斌 凸函数的定义及性质凸函数的定义 当 区间 时， 若函数 （ ）满足 （ ） （） 恒成立且（ ） 的解集是孤立的点集 ， 即 （ ）是减 （ 增）函数 ， 则 （ ）是 上的上 （ 下）凸函数 例如 ， （ ） （ ，）， （ ） （ ， ）， （ ） （ ） 都是上凸函数凸函数的性质函数 （ ）是区间 上的上凸函数 ?函数 （ ）是区间 上的下凸函数凸函数的性质 （ 琴生不等式 ）若函数 （ ）是区间 上的上 （ 下）凸函数 ， 则 ? ， ， （ ），总有 ? （） （ ）， 当
2、且仅当 时取等号 与凸函数有关的一类多元函数条件最值定理 若 （ ）是闭区间 ， 上的上凸函数，变量 ， ， ， （ ），且 定值 （ 有 ）， 则（） （ ） ?， 当且仅当 时取等号 （） （ ） ? （ ） ? （ ） ? ?（ ?表示不超过 的最大整数， 下同 ），当且仅当 ， ， 中有 （ 请注意这里的“ 有”并不是“ 有且仅有 ”的意思 ， 而是 “ 至少有 ”的意思 ， 下同 ） 个取 或 时取等号 ， 具体的情形是： 当 ? 时， 当且仅当， ， 中有 ?个取 ， ?个取 ， 个取 ? ? 时取等号 ； 当 时， 当且仅当， ， 中有 个取 ， 个取 时取等号 定理 若 （ ）
3、 是闭区间 ， 上的下凸函数， 变量 ， ， ， （ ），且 定值 （ 有 ）， 则（） （ ） ?， 当且仅当 时取等号 （） （ ） ? （ ） ? （ ） ? ?，当 且 仅 当， ， 中有 个取 或 时取等号 ， 具体的情形与定理（）相同 由凸函数的性质立得定理（），由凸函数的性质 及定理 立得定理 ，所以下面只需证明定理（）定理 （ ）的证明 当 时， 得 ， 可得欲证成立； 当 时 ， 得 ， 也可得欲证成立 下面再证当 时欲证成立先用数学归纳法证明：若 （ ）是 ， 上的上凸函数， 变量 ， ， ， （ ），且 定值 （ ）， 则当且仅当， ， 中有 个的值是或 时， （ ） （
4、 ） （ ）取到最小值 先证 时成立 ， 即证 ：若 （ ）是 ， 上的上凸函数， 变量 ， 满足， ， 且 定值 （ ）， 则当且仅当 ， 或 ， 时， （ ） （ ） 取到最小值 设 （ ， ， ） （ ） （ ） （ ），由拉格朗日乘数法知， 函数 （ ） （ ）的最小值 点 （ ?， ?） 在 所 给 区 域 的 边 界 上 或 满 足（ ?）（ ?） ，? 中学数学杂志 年第 期名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - -
5、- - 对于后者 ， 由 （ ）是 ， 上的减函数， 得 ?， 所以得最小值点（ ?， ?），? 而由定理 （）知， 函数 （ ） （ ）的最大值点是，?，所以函数 （ ） （ ）即 （ ） （ ）的值域是单元素 集 可 得 能 在 某 个 区 间 上 取 值， 所 以 （ （ ） （ ） （ ）（ ）， （ ）（ ）， ， ， 这与 “ 能在某个区间上取值”矛 盾！ 所 以 前 者 成 立，即 ? ， 或 ? ， 得 时成立 假设 （ ） 时成立 ， 下证 时也成立 即证 ：若变量 ， ， ， （ ） 且 定值 （ 有（ ） （ ） ）， 则当且仅当 ， ， 中有 个的值是 或 时， （ ）
6、 （ ） （ ）取到最小值 设 （ ， ， ， ） （ ） （ ） （ ） （ ），由拉格朗日乘数法知， 函数 （ ） （ ） （ ）的最小值点（ ?， ?， ? ）在所给区域的边界上或满足（ ?）（ ?） （ ? ） ，? ?对于后者 ， 由 （ ）是 ， 上的减函数 ， 得? ? 所以最小值点（ ?， ?， ?） ， ，? 而由定理 （）知， 函数 （ ） （ ） （ ） 的最大 值点是 ， ，?， 所以函数 （ ） （ ） （ ）即 （ ） （ ） （ ） （ ）的值域是单元素集 可得 ， ， 均能在某个区间上取值， 所以（ （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）（ ），（ ）同理 ，
7、有（ ）（ ） （ ） ，所以 这与 “ ， ， 均能在某个区间上取值”矛盾 ！所以前者成立， 即 ? ， 或 ? ， 或 或 ? ， 可不妨设? ， ， 得函数 （ ） （ ） （ ）取到最小值?函数 （ ） （ ） （ ）取到最小值 再由 “ 假设 （ ） 时成立 ” 可得“ 时也成立 ” 下面再用已证的结论来证定理（）当 （ ）取 最 小 值 时，可 设 ， ， 中 有 （ ，） 个取 ， 个取 ， 另 个取 （ ） ， 所以 （ ） ， （ ，），因为 （ 得 ）， 所以 显然成立 ， 下证 成立 此时取等号的条件有两种情形：（） 得 ， ， 中有 个取 ， 个取 ， 另 个取 ? 即
8、 ， ， 中有 个取 ， 个取 （） 得 ， ， 中有 个取 ， 个 取 ， 另 个 取 ? ? 即 ， ， 中有 个取 ， 个取 欲证 成立 证毕 推论 设 （ ） 个不小于 的变数 ， ，之和是定值 （ ） （）若函数 （ ）（ ）是上凸函数， 则 （ ） （ ） （ ）的取值范围是（ ） （ ） （ （ ） ）， ?（当 且 仅当某 个 （ ， ）时 （ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ （ ） ）； 当且仅当 时 （ ） （ ） （ ）?；（）若函数 （ ）（ ）是下凸函数， 则 （ ） （ ） （ ）的取值范围是中学数学杂志 年第 期 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
9、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - ?，（） （ ） （ （ ） ）?（ 当且仅当 时 （ ） （ ） （ ）?； 当且仅当某 个 （ ， ） 时 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ （ ） ）证明 （） 设 （ ）是闭区间 ， 上的上凸函数当 时 ， （ ） 所以 （ ） 当 （ ） 时， 得 ， 所以由定理（）可得欲证成立当 （ ） 时， 得 ，所以由定理 （）也可得欲证成立（） 由凸函数的性质及（）可得 结论的应用例 已知 （ ，）， ，当取得最
10、大值时， 在 ， ， 这 个数中等于 的数共有 （） 个 个 个 个解 因为 （ ） 是下凸函数且是二阶可导函数， 所以由定理（）知 ： 当 取得最大值时， 在 ， 这 个数中有个数为 或 可设其中有 （ ，）个 ，个 ，另一个数为（ ） 再由 ，得 练习 ： （ 年华约自主招生数学试题第 题）已知 （ ，）， ，当 取得最大值时， 在 ， ， 这 个数中等于 的数共有 （） 个 个 个 个答案 ： 练习 ： （ 第 题）设实数 ， ， 满足如下两个条件：（） （ ，）；（） 试求 ： 的最大值 ， 并说明理由 答案 ： 当且仅当， ， 这 个数中有个数是，个数是 ， 个数是时， 取到最大值
11、， 且最大值是例 在锐角 中 ， 求证 ：（） ；（） 证明 （）因为函数 （ ） 在 ， ?上是上凸函数且是二阶可导函数， 所以由定理（）可得 ： 若 ， ， ， ?， ， 则 （ 当且仅当 ， ， 中有两个均取时取等号 ） 所以欲证成立 （）因为函数 （ ） 在 ，?上是上凸函数且是二阶可导函数， 所以由定理（）可得 ： 若 ， ， ，?， ， 则 （ 当且仅当 ， ， 中有两个均取时取等号 ） 再由 （）中证得的结论得， 若 ， ， ， ?， ， 则 （ 当且仅当 ， ， 中有两个均取时取等号 ） 所以欲证成立 练习： 在 中，求 的取值范围 答案 ： 取值范围是 （ ， 例 （ 首届世界数学锦标赛（ 青年组 ） 团体赛第 题）已知 ， ， ， 且 ， 求 的整数部分 解 设 （ ） （ ），得 （ ） （ ）（ ），所以函数 （ ）是上凸函数 由推论 （）可得 的取值 范 围 是 （， ， 所 以 的整数部分是 练习 ： （ 第二届世界数学锦标赛（ 青年组 ）团体赛第 题）已知 ， ， 且 ， 求 的整数部分 答案 ： 整数部分是 中学数学杂志 年第 期名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -