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1、5 正弦函数的图像与性质前面我们借助单位圆学习了正弦函数前面我们借助单位圆学习了正弦函数y=sin x的基的基本性质，下面画出正弦函数的图像，然后借助正本性质，下面画出正弦函数的图像，然后借助正弦函数的图像，进一步研究它的性质弦函数的图像，进一步研究它的性质.1.1.理解正弦函数的性质理解正弦函数的性质. .（难点）（难点）2 2. .掌握正弦函数图像的掌握正弦函数图像的“五点作图法五点作图法”. ”. ( (重点重点) )(1) (1) 列表列表. .(2) (2) 描点描点. .按上表值作图按上表值作图. .(3) (3) 连线连线. .63232656734233561120212301
2、21232123002112, 0,sinxxy1.1.用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？-223xy0211-xy探究点探究点1 1 正弦函数正弦函数y=y=sinxsinx的图像的图像23 函数函数2 , 0,sinxxy图像的几何作法图像的几何作法1oA作法作法: :(1)(1)等分等分. .(2)(2)作正弦线作正弦线. .(3)(3)平移平移. .61P1M/1p(4)(4)连线连线. .2.6232356764332531162因为终边相同的角的三角函数值相同，因为终边相同的角的三角函数值相同， 所以所以y=y=sinxsinx的图像在
3、的图像在 与与y=sinx,x0,2y=sinx,x0,2的图像相同的图像相同. .2,4 ,0 ,2,4 ,23.3.正弦曲线正弦曲线正弦函数的图像叫作正弦曲线正弦函数的图像叫作正弦曲线.与与x轴的交点轴的交点)0, 0()0,()0 ,2(图像的最高点图像的最高点图像的最低点图像的最低点) 1,(234.4.五点作图法五点作图法xy-11-12232) 1 ,2(简图作法简图作法(1)(1)列表列表( (列出对图像形状起关键作用的五点坐标列出对图像形状起关键作用的五点坐标).).(3)(3)连线连线( (用光滑的曲线顺次连接五个点用光滑的曲线顺次连接五个点).).(2)(2)描点描点( (
4、定出五个关键点定出五个关键点).).O)0 ,(点不在多，五个就行点不在多，五个就行思考思考 “五点法五点法”作图有何优、缺点作图有何优、缺点? ?提示提示: : “五点法五点法”就是列表描点法中的一种就是列表描点法中的一种. .它的优它的优点是抓住关键点、迅速画出图像的主要特征点是抓住关键点、迅速画出图像的主要特征; ;缺点是缺点是图像的精度不高图像的精度不高. .Oy=1y=1y=y=-1 1观察正弦函数观察正弦函数 y=sin x(xR) y=sin x(xR) 的图像的图像. .xy1-147 235 223 2 22322523724想一想：想一想： 1.1.我们经常研究的函数性质有
5、哪些？我们经常研究的函数性质有哪些？3.3.你能从中得到正弦函数的哪些性质？你能从中得到正弦函数的哪些性质？2.2.正弦函数的图像有什么特点？正弦函数的图像有什么特点？探究点2 正弦函数y=sinxy=sinx的性质正弦函数正弦函数 y=sinxy=sinx的定义域为的定义域为R R1.1.定义域定义域2.2.值域值域从正弦函数的图像可以看出，正弦曲线夹在两从正弦函数的图像可以看出，正弦曲线夹在两条平行线条平行线y=1y=1和和y=-1y=-1之间，所以值域为之间，所以值域为-1,1-1,1A= x x2k ,kZ2设,B= x x2k ,kZ23当当xAxA时，函数取得最大值时，函数取得最大
6、值1 1，反之，若函，反之，若函数取得最大值数取得最大值1 1时，时，xA.xA.当当xBxB时，函数取得最小值时，函数取得最小值-1-1，反之，若，反之，若函数取得最小值函数取得最小值-1-1时，时，xB.xB.由正弦函数图像可以看出，当自变量由正弦函数图像可以看出，当自变量x x的值增加的值增加2 2的整数倍时，函数值重复出现，即的整数倍时，函数值重复出现，即正弦函数是周期正弦函数是周期函数，它的最小正周期是函数，它的最小正周期是2.2.3 3 周期性周期性由于正弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我由于正弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我们可以选取任意一个们可以选取任意一个x x值，
7、讨论区间值，讨论区间x,x+ 2x,x+ 2上的上的函数的性质，然后延拓到整个定义域上函数的性质，然后延拓到整个定义域上. . 思考思考1 1：观察正弦函数观察正弦函数y=sinx(xR)y=sinx(xR)的图像，能的图像，能找出正弦函数的单调区间吗？找出正弦函数的单调区间吗？2 2 ， 上增加 3,.22在区间，上减少4 4 单调性单调性选取区间选取区间 ，可知，可知322 ，在区间在区间单调性单调性在每一个区间在每一个区间_上是增加上是增加的；的；在每一个区间在每一个区间_上是减少上是减少的的.2k,2k(kZ)2232k,2k(kZ)22xy1-147 235 223 2 223225
8、23724f f( (x x) )= =s si in nx xO5 5 奇偶性奇偶性图像关于原点对称，奇函数关于原点对称图像关于原点对称，奇函数关于原点对称.根据诱导公式根据诱导公式sin(-x)=sin x，可知正弦函数是奇函数，可知正弦函数是奇函数观察正弦函数的图像，可以看到观察正弦函数的图像，可以看到1-1232y= -sinx, x 0, 22解：解：列表列表 xy例例1.1.用五点法画出用五点法画出y=-sinxy=-sinx在区间在区间0,20,2上的简图上的简图. .x x 0 0y=siny=sinx x0 01 10 0-1-10 0y=-y=-sinxsinx0 0-1-
9、10 01 10 02 22 2332.0,20,2x xsinx,sinx,y yOx x0 00 01 10 0-1-10 01 12 21 10 01 12 22 233例例2.2.用五点法画出用五点法画出y=1+sinxy=1+sinx在区间在区间0,20,2上的简图上的简图. . 2解：解：列表列表y=sinxy=sinxy=1+sinxy=1+sinxxyO-112 2 .0,20,2x xsinx,sinx,y y12 22 2330,20,2x xsinx,sinx,y y x x0 02 22 233例例3 3 利用五点法画出函数利用五点法画出函数y=sinx-1y=sinx
10、-1的简图的简图, ,并根据并根据图像讨论它的性质图像讨论它的性质. .2y=sinxy=sinxy=sinx-1y=sinx-1解：解：列表：列表：0 1 0 -1 00 1 0 -1 0-1 0 -1 -2 -1-1 0 -1 -2 -1x xy yO-1-11 12 2 2 . 0 0, ,2 2 x xs si in nx x, ,y y2 22 23 3y=sinx-1y=sinx-1画出简图：画出简图：-2-2 函数函数y=sinx-1y=sinx-1定义定义域域值域值域奇偶奇偶性性周期周期性性单调单调性性R R-2,0-2,0既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数22x
11、2k,2k(kZ)223x2k,2k(kZ)22当时，函数是增加的；当时，函数是减少的.x2k(kZ)023x2k(kZ)22当时，最大值为 ；当时，最小值为.从图像观察从图像观察y=sinx-1y=sinx-1的性质并填写下表的性质并填写下表2.2.函数函数y=sinx+|sinx|y=sinx+|sinx|的值域是的值域是_ 00，221.1.下列函数中，奇函数是下列函数中，奇函数是( )( )A.y=|sin x| B.y=-2sin xA.y=|sin x| B.y=-2sin xC. D.y=1+sin xC. D.y=1+sin xysin(x)32B B3.3.求函数求函数 的最
12、大值及取得最大值时自变的最大值及取得最大值时自变量量x x的集合的集合. .y2sin2xsinzzz z2k ,kZ ,2 因因为为使使取取得得最最小小值值的的 的的集集合合为为解：解：2x2k ,xk .24 由由得得函函数数的的最最大大值值为为y = 2-sin2x2-(-1)= 3.y = 2-sin2x2-(-1)= 3.y2sin2xx xk ,kZ .4 所所以以，使使函函数数取取得得最最大大值值的的 的的集集合合为为x xz2x,令令4 4. .用五点法画出用五点法画出y=sin2xy=sin2x一个周期的简图一个周期的简图. .1-1y= sin2x2解：解：xy x 02x0y=sin2x010-102 22 2332.4243O1.1.会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图像会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图像. .2 2. .掌握正弦函数图像的掌握正弦函数图像的“五点作图法五点作图法”.”.3.3.会利用会利用“五点作图法五点作图法”画一些简单函数的图像画一些简单函数的图像. .回顾本节课的收获回顾本节课的收获冰山在海里移动,它之所以显得庄严宏伟,是因为只有 露出水面. 海明威老人与海18