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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 不等式高考 总复习探讨高考复习要 立足于基础 学问和基本 方法的把握 ,但要防止简 单的重复和 排列,要在提高上 下 功夫, 因此复习时 要 凸现针对性, 要在学情分 析的基础上 查漏补缺； 启示性, 要提高学 生的 学问迁移 才能, 做到举一反 三；概括性,要帮忙同学 归纳典型的 解 题方法, 提高复习 效率 ,综合性,要把关联知 识综合起来 复习,形成一个较 为完整的知 识体系；不等关系渗 透到高中数 学的方方面 面,处理不等关 系需要同学 有较强的应 变 才能、综合才能；纵观近年来 的高考试题 ,从题型上来 看,挑选、填空题主要 考查不等
2、式 的 性质、比较大小和 解简洁不等 式；解答题主要 考查含参数 的不等式解 法 、参数范畴的 确定和求函 数的最值, 综 合数列、 三角、 解析几何的 不等式的证 明是常考常 新的试题； 所以高考总 复习重点要 放在这 些知 识点上, 帮忙同学熟 练把握常用 方 法和技巧 ,提高分析问 题和解决问 题的才能； 如何在不等 式的复习中 抓 住重点兼 顾难点,提高复习效 一、展现学问网 络率 ,笔者认为要 抓 好以下四 个环节；展现学问网 络 可以帮忙 同学形成完 整的学问结 构,总体把握知 识之间的内 在联系；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - -
3、 - - - - - - - 二、难点再现懂得基础知 识是正确应 用学问解决 问题的关键 ,在解决实际 问题时由于 对 学问的内 涵把握不到位 ,条件不具备 时错用结论 ,或者凭主观 臆测理所当 然 认为某结 论成立, 导致解题错 误 时有发生 ；同学在解题 时需要考虑 的问题较多 ,精力简洁分 散 ,在遇到难点 时 往往难以 做到用心研 究；在复习的第 二环节中集 中再现教科 书中的难点 ,让同学集中 精力透彻理 解这些难点 ,教学效果会 更好；本章的学问 难点主要有 ：1有关不等式 性质假如,就有,反之如,就当时有；当时有；,那么,但不肯定成立；、独立时,假如,且如,就,当的取值范畴 是,
4、而当、有关联时,的取值范畴 会缩小,也有类似的 结论；或如果,就有,反之如,就有或或；2有关均值不 等式当时,必成立, 但不肯定有；,只有当能做到时,才能取到“ ” 号；当时,有3有关不等式 证明方法分析法的本 质是“ 索果导因” ,查找命题成 立的充分条 件,而不是必要 条件,书写的格式要规范,可以采纳反 证法,使书写与学 生习惯写法 一样；4有关肯定值 不等式教科书将代入来证明,此方法在研 究抽象函数 时常常用到 ；三、学问拓展把本章与其 他各章学问 结合起来, 就能得到非 常有用的结 论,这些学问通 过集中讨论 ,加深懂得,在解题时就 能运用自如 ；解决问题的 思路从何而 来,当你的大脑
5、 中储存着大 量与题意有 关联的学问 信息时,你的联想名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就会 产生,你就会从你 的 学问结构 中调动有关 的学问与之 匹配,这些学问既 有课本学问 又 有 拓展知 识,所以拓展知 识起到了桥 梁作用, 对拓展学问 的 讨论, 既可起到复 习巩固所学 基 础学问的 作用,也可在探究解题思路时 起到启示性 作 用,一举两得；本章的拓展学问主要有 ：1实数的性质如,就必有时,；当,或,就；对任意的实 数、；如如,就当,；当时,；值 和 最 小 值 , 就；如当时,必有,就对 于 常 数,
6、如 存 在 最 大；2不等式的性 质如,当时,有；当时,有；如,当时,有；当时,有；如要证明,只需找到一 个数,并证明且,即可证明；3均值不等式对任意的实 数,必有时,有,而当时,有,此两式合起 来,即当；如,且,就,且；4其他当 时,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当时,在区间内单调递减,当区间内单调递增；而在区间上 单调递增；四、方法探求不等问题综 合性强,思维才能要 求高,解决问题的 方法多,如特值检验 法 、凑配法、换元法、判别式法、倒数变换法 等,这些方法较 常见且相对简洁,同学易把握,除此之外,复习时
7、老师 仍要借助一 些典型例题 ,补充一些重 要 的方法,拓宽解题思 路,强化思维训 练,帮忙同学构 建思维模式 ,造就思维依 托和合理的 思 维定势；1图象法例 1（2006 年浙江高考文 4）已知,就（）易得到（A）（ B）图象,从图上很容（C）（ D）分析与解：如图,作出及和的答案 （D）；2图形法例 2（2005 年浙江高考理 10）已知向量,满意：对任意,恒有,；就（）,（D）,（A）（B）（C）分析与解： 如图, 设,就名师归纳总结 即；由于对任意,恒有,即,所以必有,第 4 页,共 18 页,应选（ C）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
8、3用因式分解 法求最值分例 3 已知：,且变,求的最小值；,就析与解将形成,当且仅当,即,时取“ ” 号,的最小值是；4用线性规划 法求最值例 4 设,且,求的取值范,围；下,分析与解：通过作出满 足条件的平 面区域求代 数式值的范 围 ；由得,又,所以此题即 是在线性约 束条件求目标函数的取值范畴 ,答案是；5用“ 乘 1 法” 求最值例 5 解以下各题满意,求的最小值；）（1）如正数、（2）如、,且,求的最小值（3）设,、为正常数,就的最小值是（. .分析与解： 把已知条件 变 形为一边 是 1 的等式 ,然后用求最 值的代数式 去 乘此式往 往能较简捷地 求 出 代 数式 的 最 值 ；
9、（ 1 ） 等 式 两 边 同乘 以, 得,当且仅当且时取等号,所以的最小值是；变形为,以下类似于 （1）的解法,答案是；（2）将名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）构造恒等式,以下类似于 （1）的解法,答案是；6用轨迹法求 最值例 6 已知,在内恒有,求实数的取值范畴；分析与解：讨论带参数的二次不等 式在有限区 间 上的性质 ,此类问题非 常常见, 由于多了一 个参变量, 对应的二次 函数的图象 就不确定了 ,但其顶点总 在 某一确定 的曲线上移 动,所以我们可 以通过画出 顶点的轨迹 ,借助图象的 直 观,
10、使问题得以 解决；抛物线的顶 点的轨迹方 程为,是一条抛物 线（如图）,此抛物线与 轴的交点是 和；设的图象通 过点时其顶 点为；从图上可以 看 出,当顶点从连 续变到 时,在 内恒有；而顶点为、时对应的的 值分别为和,由变化的连 续性得：；7用放缩法证 明不等式（1）先运算再缩 放例 8（2006 年湖北高考文 20）在（）个不同数的 排列 中,如时（即前面某数 大 于后面某 数）,就称与构成 一个逆序；一个排列的 全部逆序的总 数称为该 排列的逆序 数；记排列的逆 序数为,如排列 的逆序数,排列 的逆序数,排列 1 的逆序数；（）求、,并写出的表 达式；（）令,证明,；分析与解：（）答案是
11、,（过程略）；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）,先运算得再 将 此 式 进行 缩 放 , 且,结论成立；（2）先缩放再计 算例 9（05 学年第 一学期宁波 市高三统考 ）已知数列前项和为,且（）；（1）求证：；（ 2）求及；（3）求证：；分析与解：（ 1）由,将代入化简即得结论（过程略） ；（ 2）用累乘法可 得,用错位相减法求得（过程略）；（ 3）由（ 2）得,由于数列的前项和无法求得,所以要先将进行缩放,然后再求值；当时,有,；（3）逐步缩放例10 （ 2006年江 西 高 考 理22 ） 已 知 数
12、列 满足 ：, 且；名师归纳总结 （1）求数列的通项公式；第 7 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）证明：对于一切正整 数,有；分析与解：（ 1）将已知条件 变形为,得数列是等比数列；利用等比数 列的通项公 式可得（过程略）；（2）要证明,即要证明,可先证明（第一次缩放 ）,再 证 明（ 第 二 次 缩 放）, 依 次 类 推 最终 得 到（最终一次缩 放）这一过程可 用数学归纳 法证明,接下来用等 比数列的求 和公式运算 就能证得结 论；8用函数的单 调性证明不 等式例 11（06 年浙江 高考理）已知函数,数列 0 的第一项1
13、,以后各项按 如下方式取 定：曲线在处的切线与经过 （0,0）和（,）两点的直线 平行（如图）求证：当 时,1 ；（2）；分析与解： 1 利用导数的 几何意义易 证（过程略）；（2）由（ 1）得,即, 用 累 乘 法 得, 又 1 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,又由（ 1）得,构造函数,当时,此函数在区 间 上单调递增,于是可得,再用累乘法 得；9用二项式定 理证明不等 式例 12 已知数列满足；,是的前项和,且；（1）求的通项；（2）证明：分析与解：（1）,又,代入整理得,再用累乘法 求 得通项公式（过程
14、略） ,（ 2）由于项,所以要证明的 不等式是,把二式绽开得；又明显,所以不等式 成立；10用数学归纳 法 证明不等 式例 13（2006 年陕西高考理 22）（有改动）已知函数,其中,且存在,使；（）证明：是上的单调函数；（）设,名师归纳总结 证明：；第 9 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析与解：（ 1）由于,所以是上的递增函数；（ 2）,又是上的递增函数,即,且,有,以下用数学 归纳 法 证 明, 假 设（成 立 , 就）,即有成立,由归纳法原理得命题成 立；当时,函数为实数）是单调的,求证：或名师归纳总结 - - - - -
15、 - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12搭桥法设（1）求的最大值；恒有（2）证明对任意 实数、证明奇数项 的不等式的 拆项变换例、为互不相等 的正数,且,求证：；1314用三个“ 二次” 的关系证明不 等式同 的公共点, 如例已知二次函数 的图象与轴有两个不,且时,；（1）证明：是的一个根；（二次函数与 根的关系）（2）比较与的大 小；（不等式传递 性）（3）证明：数；,方 程的两 个根、满 足例设二次函；名师归纳总结 （1）当）设时,证明的图；象关于直线第 11 页,共 18 页（2函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
16、 - - - - 305.gi =41对称,求证；15等式与不等 式 结合证明 不等式例设,如,求证（）方程有实根；（）（）设是方程的 两个实根,就161718用凑项法证 明 肯定值不 等式对于肯定值 符号内的式 子,采纳加减某 个式子后, 重新组合, 运用肯定值 不等式的性 质 变形,是证明肯定值 不等式的 典型方法；,当例（全国高考题 ）设、,函数时,；（1）证明；（ 2）证明：当时,1920用主元思想 研 究不等式（2004 年高考福建文 22）已知 = 在区间 1, 1 上是增函数 .（）求实数 a 的 值组成的集 合 A；（）设关于 x 的方 程 = 的两个非零 实根为、x2. 试问
17、：是否存在实 数 m,使得不等式 + + | x2| 对任意 aA 及 t 1,1 恒成立？如存在,求 m的取值 范围；如不存在,请说明理由；2122名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 23；24带参数二次 不 等式成立 问题的讨论已知等式；）；,要使同时满足和的也满意,就应满意（特值检验法. 例如,就以下不等 关系中不能 成立的是（）. . 例.不等式化简 判 断法（化简为：整式0 或整式 0 的形式）,就成立的一个充分不必 要的条件是 （）例. .已知三个不 等 式：；以其中两个 作为条件,余下一个作 为结论,
18、就可以组成 个正确的命 题；配凑法已知,求函数的最” 是“大值；” 的条件；例,那么“换元法例设实数、满意.,如对满意条 件的、,.恒成立,就的取值范围是（）. 例设实数,满意,求的最大值；判别式法名师归纳总结 设是实数,且,就的取值范围是（）第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - .或.或例实数、满意,就的取值范围是；例已知函数（、）的图象按平移后得到的 图象关于原 点对称,、,求证：；（不等式传递性、均值（1）求、的值；（2）设,不等式 ）（3）设是正实数,求证：；（二项绽开式、倒序相加、均值不等式 ）例（ 2006 高考辽宁理
19、 2）已知其中设（1）写出（2）证明：对于任意的 恒有用累乘法证 明不等式名师归纳总结 各项为正的 数列,如,就有第 14 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 用综合法证 明不等式用换元法证 明不等式用肯定值的 性质证明不 等式6如,求的取值范围；方法一：（解不等式法 ）如,得,代入已知不 等式就,与冲突,所以,如,就；如,就,得；综上所述,；方法二：综合法如,代入已知不 等式就,与冲突,所以；,不等式两边 都除以同一 正数,得,所以有方法三： 换元法设,由得,所以方法四：线性规划法满 足的区域如图阴影部 分,是此区域内 任一点到原 点的
20、连线的 斜率,明显；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 特点分析： 1、实际上是个 递推式,要得到通项式,需要经过猜 想与数学归纳 法证明；2、对于组合数（；）的变形,要充分利用 基本式,即把写成特点分析： 1、利用二次函 数的图象,抛物线的单 2、敏捷运用等 式3、调性和函数 值的性质来 解 题；8、设（为常数）,方程的两个实数根为、,且满意,；小；（1）求证：；（2）设,比较与的大9、（ 06 年浙江 高 考文）（5）设向量,满意,且,|=1 ,|=2 ,就 | 2 = （A）1 （B）2 （C）4 （D）5
21、特点分析：作图法；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、有用学问或 方 法的积存1的证明；含有肯定值符 号的不等 式的证明,如将两边平方,可消去部分 肯定值的符 号 ,正如含根式 不等式一样 ,在肯定的条 件下可采纳 两 边平方将 部分根号去 掉；2的证明；将移项得与 的结构完全 一样,所以只需利 用,将肯定值符 号内的字母 作适当变换 就可以了；数形结合法（2005 年浙江省高考 题理 10）已知向量,满意：对任意,恒有；就（）C （A）（B）（C）（D）分析：向量有两种 表 示法,一是几何表 示,二是字母表
22、示,几何表示用 来解决一些 几何问题, 此题中涉及 的 长度、 垂直都是几 何中的典型 问题,我们可以试 着 用作图的 方法去解决； 即数形结合 法 ,作如下图设,就,；由于对任意,恒有名师归纳总结 ,即,所以必有；即,第 17 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）函数思想：设,由于,所以,得整体思想与 函数思想（06 年浙江 高考理）已知函数,数列 0 的第一项1,以后各项按 如下方式取 定：曲线在处的切线与经过 （0,0）和（,）两点的直线 平行（如图）求证：当 时, ； （求导）（）（缩、放、累乘、整体思想、函数思想）“ 左” 用整体思想（从大处着眼 ）设新数列,讨论相邻两 项的关系,值“ 右” 用函数思想（从小处着手 ） 设函数,讨论它的单 调性,从而将函数的大小关 系转化为自 变量大小关 系 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 18 页