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1、高中物理竞赛静电场习题一、场强和电场力【物理情形 1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。如图 7-5 所示，在球壳内取一点 P ，以 P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元S1和S2，设球面的电荷面密度为，则这两个面元在P点激发的场强分别为E1 = k211rSE2 = k222rS为了弄清 E1和E2的大小关系，引进锥体顶部的立体角，显然211rcosS = = 222rcosS所以 E1= kcos，E2= kcos，即： E1= E2，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。同理，其它各个相
2、对的面元S3和S4、S5和S6 激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为，试求球心处的电场强度。【解析】如图 7-6 所示，在球面上的 P处取一极小的面元 S ，它在球心 O点激发的场强大小为E = k2RS，方向由 P指向 O点。无穷多个这样的面元激发的场强大小和S 激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见由于由于在x 方向、y 方向上的对称性，ixE = iyE = 0 ，最后的E = Ez，所以先求Ez = Ecos= k2RcosS，而且 Scos为面元在 xoy 平面的投影，设为 S所以 Ez = 2Rk
3、S而 S= R2【答案】 E = k ，方向垂直边界线所在的平面。学员思考如果这个半球面在yoz 平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为，那么，球心处的场强又是多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 推荐解法将半球面看成4 个81球面，每个81球面在 x、y、z 三个方向上分量均为41 k ，能够对称抵消的将是y、z 两个方向上的分量， 因此 E = Ex答案大小为k，方向沿 x 轴方向（由带正电的一方指向带负电
4、的一方） 。【物理情形 2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为 R ，电荷体密度为 ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O 点，半径为 R ，OO= a ，如图 7-7 所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”） ，二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等） 的小球的集合， 对于空腔中任意一点 P ，设OP = r1，PO = r2，则大球激发的场强为E1 = k2131rr34 = 34kr1，方向由 O指向 P “小球”激发的场强为E2 =
5、 k2232rr34 = 34kr2，方向由 P指向 O E1和 E2的矢量合成遵从平行四边形法则，E 的方向如图。又由于矢量三角形 PE1E和空间位置三角形OP O 是相似的， E的大小和方向就不难确定了。【答案】恒为34ka ，方向均沿 O O，空腔里的电场是匀强电场。学员思考如果在模型2 中的 OO 连线上 O 一侧距离 O为 b（bR）的地方放一个电量为q 的点电荷，它受到的电场力将为多大？解说上面解法的按部就班应用答34kq23bR-23)ab(R 。二、电势、电量与电场力的功【物理情形 1】如图 7-8 所示，半径为 R的圆环均匀带电，电荷线密度为，圆心在 O点，过圆心跟环面垂直的
6、轴线上有P 点，PO = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势 UP 。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段 L ，它在 P点形成的电势U = k22rRL环共有LR2段，各段在 P点形成的电势相同， 而且它们是标量叠加。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【答案】 UP = 22rRRk2思考如果上题中知道的是环的总电量Q ， 则 UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结
7、论会改变吗？答UP = 22rRkQ；结论不会改变。再思考将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q ，试问： （1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？解说 （1）球心电势的求解从略；球内任一点的求解参看图7-5 U1 = k11rS= k1r?cosr21= k cosr1U2 = k cosr2它们代数叠加成U = U1 + U2 = k cosrr21而 r1 + r2 = 2Rcos 所以 U = 2Rk所有面元形成电势的叠加U = 2Rk注意：一个完整球面的 = 4（单位：球面度sr
8、 ） ，但作为对顶的锥角，只能是2 ，所以U = 4 Rk= kRQ（2）球心电势的求解和思考相同；球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。答 （1）球心、球内任一点的电势均为kRQ； （2）球心电势仍为kRQ，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体， 球面不再是等势面）。【相关应用】如图7-9 所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为 R1和 R2，带有净电量 +q ，现在其内部距球心为r 的地方放一个电量为 +Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根
9、据静电感应的尝试，内壁的电荷量为Q ，外壁的电荷量为 +Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以【答案】 Uo = krQ k1RQ + k2RqQ。反馈练习如图 7-10 所示，两个极薄的同心导体球壳 A和 B，半径分别为 RA和 RB，现让 A壳接地，而在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - B壳的外部距球心d 的地方放一个电量为 +q的点电荷。试求：（1）A球壳
10、的感应电荷量； （2）外球壳的电势。解说这是一个更为复杂的静电感应情形，B 壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量） ，它们的感应电荷分布都是不均匀的。此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A 壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷 q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在 A 中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O点为对象，有UO = kdq + kAARQ + kBBRQ = 0 QB应指 B球壳上的净电荷量，故 QB = 0 所以 QA = dRAq 学员讨论： A 壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A
11、 壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）UB = kdq + kBARQ答 （1）QA = dRAq ； （2）UB = kdq(1 BARR) 。【物理情形 2】图 7-11 中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是 abc的中心，点 B 则与 A 相对 bc 棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和 UB。试问：若将ab 棒取走， A、B两点的电势将变为多少？【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三
12、根细棒也没有构成环形， 故前面的定式不能直接应用。若用元段分割叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的， 而且三根棒的总电量、 分布情况彼此必然相同。 这就意味着： 三棒对 A点的电势贡献都相同（可设为U1） ；ab棒、ac 棒对 B点的电势贡献相同 （可设为 U2） ；bc 棒对 A、B两点的贡献相同（为 U1） 。所以，取走 ab 前 3U1 = UA 2U2 + U1 = UB取走 ab 后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以 UA= 2U1 UB= U1 + U2【答案】 UA= 32UA；UB=
13、61UA + 21UB。模型变换正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 电势分别为 U1、U2、U3和 U4，则盒子中心点 O的电势 U等于多少？解说此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对 O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子， 然后将这四个盒子
14、位置重合地放置构成一个有四层壁的新盒子。 在这个新盒子中， 每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U1 + U2 + U3 + U4） ，新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为U = U1 + U2 + U3 + U4最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U = 41 U答U = 41（U1 + U2 + U3 + U4） 。学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）反馈练习电荷q 均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶
15、点 C和球心 O的轴线，如图 7-12 所示。 P、Q为 CD轴线上相对 O点对称的两点，已知 P 点的电势为 UP，试求 Q点的电势 UQ。解说这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为 q 的电荷，如图 7-12 所示。从电量的角度看， 右半球面可以看作不存在，故这时 P、Q的电势不会有任何改变。而换一个角度看， P、Q的电势可以看成是两者的叠加：带电量为 2q 的完整球面； 带电量为q 的半球面。考查 P点，UP = kRq2 + U半球面其中 U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U半球面= UQ以上的两个关系已经足以解题了。答UQ
16、 = kRq2 UP。【物理情形 3】如图 7-13 所示，A、B两点相距 2L ，圆弧DCO是以 B为圆心、L 为半径的半圆。 A处放有电量为 q 的电荷，B处放有电量为 q 的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从 O点沿DCO移到 D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从 D点沿 AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？【模型分析】电势叠加和关系WAB = q （UA UB）= qUAB的基本应用。UO = kLq + kLq = 0 UD = kL3q + kLq = L3kq2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
17、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - U = 0 再用功与电势的关系即可。【答案】 （1）L3kq2； （2）L3kq2。【相关应用】 在不计重力空间， 有 A、B两个带电小球， 电量分别为 q1和 q2，质量分别为 m1和 m2，被固定在相距 L 的两点。试问：（1）若解除 A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（ 3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？【解说】第（ 1）问甚间；第（ 2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；
18、第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论（这里就回到了一个基本的观念斧正： 势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中， 我们通常说 “两个点电荷的势能”是多少。 ）【答】 （1）krqq21； （2）Ek1= 212mmmkrqq21，Ek2= 211mmmkrqq21； （3）krqq21。思考设三个点电荷的电量分别为q1、q2和 q3，两两相距为r12、r23和r31，则这个点电荷系统的静电势能是多少？解略。答k（1221rqq+2332rqq+3113rqq） 。反馈应用如图7-14 所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均
19、为 m 、电量均为 q ，用长度为 L 的三根绝缘轻绳连接着， 系统放在光滑、绝缘的水平面上。 现将其中的一根绳子剪断， 三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。解设剪断的是 1、3 之间的绳子，动力学分析易知，2 球获得最大动能时， 1、2 之间的绳子与 2、3 之间的绳子刚好应该在一条直线上。 而且由动量守恒知， 三球不可能有沿绳子方向的速度。 设 2 球的速度为 v ， 1 球和 3 球的速度为 v，则动量关系 mv + 2m v = 0 能量关系 3kLq2 = 2 kLq2 + kL2q2 + 21mv2 + 212m2v解以上两式即可的v 值。答v = qmL3k2。三、
20、电场中的导体和电介质【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和 B，面积都是 S ，间距为d（d 远小于金属板的线度） ，已知 A 板带净电量 +Q1，B 板带尽电量 +Q2，且 Q2Q1，试求： （1）两板内外表面的电量分别是多少； （2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
21、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 定式。为方便解题，做图 7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为1、2、3和4，显然（1 + 2）S = Q1（3 + 4）S = Q2A板内部空间场强为零，有 2 k（1- 2- 3- 4）= 0 A板内部空间场强为零，有 2 k（1 + 2 + 3- 4）= 0 解以上四式易得1 = 4 = S2QQ212 = - 3 = S2QQ21有了四个面的电荷密度，、空间的场强就好求了如E =2k（1 + 2- 3- 4）= 2kSQQ21 。最
22、后，UAB = Ed 【答案】 （1） A板外侧电量2QQ21、 A板内侧电量2QQ21， B板内侧电量 -2QQ21、B板外侧电量2QQ21； （2）A板外侧空间场强 2kSQQ21，方向垂直 A板向外，A、B 板之间空间场强2kSQQ21，方向由A 垂直指向B，B 板外侧空间场强2kSQQ21，方向垂直 B板向外； （3）A、B两板的电势差为 2kdSQQ21，A板电势高。学员思考如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零。）学员讨论 （原模型中）作为一个电容器，它的 “电量”是多少 （答：2QQ21） ？如果在板间充满相对介电常数为r的电介质，是否会影响四个面的电
23、荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响空间的场强）？学员讨论 （原模型中） 我们是否可以求出A、B两板之间的静电力？ 答：可以；以 A为对象，外侧受力2QQ212E（方向相左），内侧受力2QQ212E（方向向右） ，它们合成即可，结论为F = Sk2Q1Q2，排斥力。【模型变换】如图7-16 所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和-Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强； （3）介质表面的极化电荷。【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对
24、电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为 Q1，介质部分电量为Q2，显然有Q1 + Q2 = Q 两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 必有U1 = U2即11CQ = 22CQ，即kd42/SQ1 = kd42/SQr2?解以上两式即可得Q1和 Q2。场强可以根据 E = dU关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。上下部分的电量是不等的， 但场强居然相等，
25、这怎么解释？从公式的角度看，E = 2k（单面平板），当 k 、 同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k 的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场， 正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2，所以E2 = 4 k（ - ） = 4k（2/SQ2-2/SQ）请注意：这里的 和 Q 是指极化电荷的面密度和总量； E = 4k的关系是由两个带电面叠加的合效果。【答案】 （1）真空部分的电量为r11Q ，介质部分的电量为rr1Q ； （2）整个空间的场强均为S)1 (kQ8r； （3）11rrQ 。思考
26、应用一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为r的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。解略。答Q = rr1Q 。四、电容器的相关计算【物理情形 1】 由许多个电容为 C的电容器组成一个如图7-17 所示的多级网络，试问： （1）在最后一级的右边并联一个多大电容C，可使整个网络的A、B两端电容也为C ？（ 2）不接 C，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？【模型分析】 这是一个练习电容电路简化基本事例。第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1 ，于是CC1 + C1 = C1解 C即可。第（2）问中，因为“无限” ，所以“
27、无限加一级后仍为无限” ，不难得出方程总CC1 + C1 = 总C1【答案】 （1）215C ； （2）215C 。【相关模型】在图 7-18 所示的电路中，已知名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - C1 = C2 = C3 = C9 = 1 F ，C4 = C5 = C6 = C7 = 2 F ，C8 = C10 = 3 F ，试求 A、B之间的等效电容。【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Y型变换”
28、 ，参见图 7-19，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式Y型：Ca = 3133221CCCCCCC Cb = 1133221CCCCCCC Cc = 2133221CCCCCCCY型： C1 = cbacaCCCCC C2 = cbabaCCCCC C3 = cbacbCCCCC有了这样的定式后，我们便可以进行如图 7-20 所示的四步电路简化 （为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）【答】约 2.23 F 。【物理情形 2】如图 7-21 所示的电路中， 三个电容器完全相同，电源电动势1 = 3.0V ，2 = 4.5V ，开关 K1和 K2接通前电容
29、器均未带电，试求K1和 K2接通后三个电容器的电压Uao、Ubo和 Uco各为多少。【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o 相连的三块极板（俗称“孤岛” ）的总电量为零。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 电量关系：CUao+CUao+CUao= 0 电势关系：1 = Uao + Uob = Uao- Ubo2 = Ubo + Uoc = Ubo- Uco解以上三式即可。【答】Uao = 3
30、.5V ，Ubo = 0.5V ，Uco = - 4.0V 。【伸展应用】如图7-22 所示，由 n 个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为 3C 。以 a、b 为网络的输入端， a、b为输出端，今在a、b 间加一个恒定电压U ，而在ab间接一个电容为C的电容器，试求： （1）从第 k 单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象” 的典型事例。（1）类似“物理情形1”的计算，可得 C总
31、= Ck = C 所以，从输入端算起，第k 单元后的电压的经验公式为 Uk = 1k3U再算能量储存就不难了。（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图 7-23 中的左图所示。这时， C1的右板和 C2的左板（或 C2的下板和 C3的右板）形成“孤岛” 。此后，电容器的相互充电过程（C3类比为“电源” ）满足电量关系： Q1= Q3 Q2+ Q3= 3Q电势关系：C3Q3+ C3Q1 = C2Q2从以上三式解得 Q1= Q3= 7Q，Q2= 21Q4，这样系统的储能就可以用21CQ2得出了。【答】 （1）Ek = 1k2232CU?； （2）63CU2。学员思考图 7-23 展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样？ （答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略。）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -