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1、【讲义课题】： 三角函数图像和性质【考点及考试要求】1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4由ysinx 的图象变换出 ysin( x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换
2、再周期变换(伸缩变换)先将ysinx 的图象向左 (0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin( x)的图象。途径二：先周期变换 (伸缩变换 )再平移变换。先将ysinx 的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得 ysin( x)的图象。5由yAsin( x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式 y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（， 0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；名师资料总结 - - -精品资料
3、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数, 并且在同一单调区间；8求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9五点法作 y=Asin（x+）的简图：五点取法是设 x=x+，由x取0、 2来求相应的 x值及对应的y值，再描
4、点作图。题型1：三角函数的图象例1（2000全国，5）函数yxcosx的部分图象是（ ）解析：因为函数 yxcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C ，当x（0，）时， yxcosx0。答案为 D 。例2（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（ ）解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数。选项 A、D 为奇函数， B为偶函数， C 为非奇非偶函数。点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。题型2：三角函数图象的变换例3试述如何由 y=sin （2x+）的图象得到 y
5、=sinx 的图象。解析：y=sin （2x+）另法答案：（1）先将y=sin （2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x 的图象；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - （2）再将y=sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得 y=sinx 的图象；（3）再将y=sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到 y=sinx 的图象。例4把曲线 ycosx+2y1=0先沿x轴
6、向右平移个单位，再沿 y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A（1y）sinx+2y 3=0 B（y1）sinx+2y 3=0C （y+1）sinx+2y+1=0 D(y+1)sinx+2y+1=0解析：将原方程整理为： y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和 1个单位，因此可得 y=1为所求方程 . 整理得（ y+1）sinx+2y+1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x）+2（y+1）1=0，即得C 选项。题型3：三角函数图象的应用例5.（1）已知函数 f （x）=Asin（x+）（A0 ，0，
7、xR ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f （x）图象的所有交点的坐标。图解析：根据图象得 A=2 ，T=（） =4，=，y=2sin （+），又由图象可得相位移为，=，=.即y=2sin （x+）。根据条件 =2sin （）， =2k+(kZ)或=2k+（kZ），x=4k+（kZ）或x=4k+（kZ）。所有交点坐标为（ 4k+）或（4k+）（kZ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。（2）（2002全国文5）在（0，2）内，使 sinx cosx成立的x取值范围为（ ）A（，）（，） B（，）C （，） D（，）（，）解析：C ；名师资
8、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解法一：作出在（ 0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图 1可得C 答案。图1 图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C 。（如图 2）题型4：三角函数的定义域、值域例7（1）已知f （x）的定义域为 0，1，求f （cosx）的定义域；（2）求函数 y=lgsin （cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0cosx1，
9、（2）要使sin （cosx）0，这里的 cosx以它的值充当角。解析：（ 1）0cosx12kx2k+，且x2k（kZ）。所求函数的定义域为 x x2k，2k+且x2k，kZ。（2）由sin （cosx）02kcosx2k+（kZ）。又1cosx1，0cosx1。故所求定义域为 x x（2k，2k+），kZ。点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。例8已知函数 f （x）=，求f （x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。解析：由 cos2x0得2xk+，解得x，kZ，所以f （x）的定义域为x|x R 且x，kZ，因为f （x）的定义域关于原点
10、对称，且f （x）=f（x）。所以f （x）是偶函数。又当x（kZ）时，f （x）=。所以f （x）的值域为 y| 1y或y2。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。题型5：三角函数的单调性例9求下列函数的单调区间：（1）y=sin （）；（ 2）y=sin （x+）。分析：（ 1）要将原函数化为 y=sin （x）再求之。（2）可画出 y=|sin （x+）| 的图象。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - -
11、 - - - - - - - 解：（1）y=sin （）=sin （）。故由2k 2k+。3kx3k+（kZ），为单调减区间；由2k+2k+。3k+x3k+（kZ），为单调增区间。递减区间为 3k，3k+，递增区间为 3k+，3k+（kZ）。（2）y=|sin （x+）| 的图象的增区间为 k+，k+，减区间为k，k+。例10（2002京皖春文， 9）函数y=2sinx的单调增区间是（ ）A2k，2k（ kZ）B2k，2k（ kZ）C 2k， 2k（kZ）D 2k，2k（ kZ）解析：A；函数y=2x为增函数，因此求函数 y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx 的单调增区间。题型6：三
12、角函数的奇偶性例11判断下面函数的奇偶性：f （x）=lg （sinx+ ）。分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f （x）与f （x）的关系。解析：定义域为 R ，又f （x）+f（x）=lg1=0，即f （x）=f （x），f （x）为奇函数。点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。例12关于x的函数f （x）=sin （x+）有以下命题：对任意的， f （x）都是非奇非偶函数；不存在，使 f （x）既是奇函数，又是偶函数；存在，使 f （x）是奇函数；对任意的， f （x）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是 _.因为当=_时，该命题的结论不成
13、立。答案：， k（kZ）；或者， +k（kZ）；或者，+k（kZ）解析：当 =2k，kZ时，f （x）=sinx 是奇函数。当 =2（k+1），kZ时f （x）=sinx 仍是奇函数。当 =2k+，kZ时，f （x）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - =cosx，或当=2k，kZ时，f （x）=cosx，f （x）都是偶函数 . 所以和都是正确的。无论为何值都不能使f （x）恒等于零。所以f （x）不能既是奇函数又是
14、偶函数。和都是假命题。点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意 kZ不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。题型7：三角函数的周期性例13求函数 y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求 x为何值时， y有最大值。分析：将原函数化成 y=Asin（x+）+B 的形式，即可求解。解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4xsin2xcos2x+cos4x）=13sin2xcos2x=1sin22x=cos4x+。T=。当cos4x=1，即x=（kZ）时，ymax=1。题型8：三角函数的最值例14设M 和m 分别表示函数 y=cosx1的最大值和最小值，则 M+m 等于（ ）A B C D2解析：D ；因为函数 g（x）=cosx的最大值、最小值分别为 1和1。所以y=cosx1的最大值、最小值为和。因此M+m= 2。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -