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1、1 高中数学空间向量之- 平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义 ：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法方法一( 内积法): 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量( ,1)nx y 或( ,1, )nxz，或(1, , )ny z ，在平面内任找两个不共线的向量,a b。由n，得0n a且0n b，由此得到关于, x y的方程组，解此方程组即可得到n。方法二：任何一个zyx,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是zyx,的一次方程。0DCzByAx)0,(不同时为CBA，称为平面的一般方程。其法向量)
2、,(CBAn; 若平面与3 个坐标轴的交点为),0,0(),0,0(),0, 0,(321cPbPaP, 如图所示 , 则平面方程为:1czbyax, 称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三 ( 外积法 ): 设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ba为一长度等于sin|ba， （为,两者交角，且0），而与,皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由的 方 向 转 为的 方 向 时 ， 大 拇 指 所 指 的 方 向 规 定 为ba的 方 向 ,abba。:),(),(222111则设zyxbzyxa21yyba,21zz21xx,21zz21xx21
3、yy（注： 1、二阶行列式 :caMcbaddb；2、适合右手定则。 ）例1、 已知，)1 , 2, 1(),0, 1 ,2(ba，试求（ 1） ：;ba（2） ：.abKey: (1) )5 ,2, 1(ba;)5,2, 1()2(ab例 2、如图 1-1, 在棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D中，求平面 AEF的一个法向量n。图1-1CCByFADxADzBE)2,2, 1(:AEAFnkey 法向量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5
4、页 - - - - - - - - - 2 二、平面法向量的应用1、求空间角(1) 、求线面角：如图2-1 ，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，A，则 AB与平面所成的角为：图 2-1-1:.|arccos2,2ABnABnABn图 2-1-2:2|arccos2,ABnABnABn(2) 、求面面角 : 设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：|arccos,nmnmnm（图 2-2 ）;|arccos,nmnmnm( 图 2-3)两个平面的法向量方向选取合适, 可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2 中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；
5、在图2-3 中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则” ）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。2、求空间距离（1） 、异面直线之间距离:方法指导 ：如图 2-4, 作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；图2-4abm图nm图n|,cos|sinABnAB图2-1-2Cn图2-1-1BnAC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
6、 - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为|?nnABd, 其中bBaAbnan,（2） 、点到平面的距离:方法指导 ：如图 2-5, 若点 B为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为n，则点 P到平面的距离公式为|?nnABd（3） 、直线与平面间的距离:方法指导 ：如图 2-6, 直线a与平面之间的距离：|AB ndn，其中aBA,。n是平面的法向量（4） 、平面与平面间的距离:方法指导 ：如图 2-7, 两平行平面,之间的距离：|?nnABd，其中
7、,AB。n是平面、的法向量。3、证明（1） 、证明线面垂直：在图2-8 中,m向是平面的法向量，a是直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（am） 。（2） 、证明线面平行：在图2-9 中,m向是平面的法向量，a是直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0?am） 。（3） 、证明面面垂直： 在图 2-10 中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0?nm）图2-11mn图2-10mn图2-9maa图2-8ama图2-7ABnAaBn图2-6图2-5nAMBNO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
8、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 （4） 、证明面面平行：在图2-11 中, m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（nm） 。三、高考真题新解1、 （ 2005 全国 I ，18） （本大题满分12 分）已知如图3-1, 四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形，AB DC ，PADAB,90底面 ABCD ，且 PA=AD=DC=21AB=1 ，M是 PB的中点（）证明：面PAD 面 PCD ；（）求AC与 PB所成的角；（）求面AMC 与面 BMC 所成二面角
9、的大小解: 以 A点为原点 , 以分别以 AD ，AB ，AP为 x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz 如图所示 .)1 ,0 ,0().(API，)0 ,0 ,1 (AD，设平面 PAD的法向量为)0, 1,0(ADAPm)0 , 1 ,0(DC又，)1 ,0, 1(DP，设平面 PCD的法向量为)1 ,0, 1(DPDCn0?nm，nm，即平面 PAD平面 PCD 。).(II)0, 1 , 1(AC，)1,2,0(PB，510arccos|arccos,?PBACPBACPBAC).(III)21,0 ,1(CM，)0, 1, 1(CA，设平在 AMC 的法向量为)1
10、,21,21(CACMm.又)0 , 1 , 1(CB, 设平面 PCD的法向量为)1,21,21(CBCMn.)32arccos(|arccos,?nmnmnm.面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小为)32arccos(.32arccos或2、(2006 年云南省第一次统测19 题) ( 本题满分 12 分)如图 3-2 ，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1a，BC2a，M是AD的中点。( ) 求证：AD 平面A1BC；( ) 求证：平面A1MC平面A1BD1；( ) 求点 A到平面A1MC的距离。解: 以 D点为原点 , 分别以 DA,DC,DD1为 x 轴,y 轴,
11、z 轴, 建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示 .图图3-1CDMAPB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 ).(I)0,0,2(aBC,),0(1aaBA, 设平面 A1BC的法向量为)2,2,0(221aaBABCn又)0,0,2(aAD,0?ADn,nAD, 即 AD).(II),0,22(aaMC,)0 ,22(1aaMA,设平面 A1MC 的法向量为 : )22,22,(2221aaaMAMCm,又)
12、,2(1aaaBD,), 0(1aaBA, 设平面 A1BD1的法向量为 : )2,2,0(2211aaBABDn,0?nm,nm, 即平面 A1MC平面 A1BD1.).(III设点 A到平面 A1MC的距离为 d,)22,22,(2221aaaMAMCm是平面 A1MC的法向量 ,又)0,0 ,22(aMA,A点到平面 A1MC的距离为 :amMAmd21|?.四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1) 、建立空间直角坐标系( 利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件, 相关几何知识的综合运用，建立右手系) ，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2） 、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3） 、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -