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1、高中数学知识点易错点梳理八解析几何第 18 题（解几综合题）从平几中寻突破到解几中找关系解析几何：近几年江苏高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：1、求曲线方程， 适当关注点的轨迹问题，尤其是一些根据定义求解的简单问题；2、位置问题 (含切线问题 )；3、定点定值问题、最值问题；4、范围问题 ，以上这些问题由于综合性较强，所以备受高考命题者的青睐，常用来考察学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等方面的能力解析几何复习中要以直线和圆、圆锥曲线的标准方程为重点，要重视体现解析几何基本思想的问题的学习，重视以椭圆为背景的圆的问题的学习另外， 解析几何的运算量很大， 忌讳不利用定义、
2、图形的几何特征瞎算18.1、圆锥曲线中的精要结论：1.焦半径： (1)椭圆22221(0)xyabab：0201,exaPFexaPF； （左“ +”右“ -” ） ；(2)抛物线：20pxPF2.弦长公式：4)(1(1212212122xxxxkxxkAB4)()11(11212212122yyyykyyk；【注】：(1)焦点弦长： i椭圆：)(2|21xxeaAB；ii抛物线：AB1222sinpxxp；(2)通径（最短弦） ：i椭圆、双曲线：22ba；ii抛物线：2 p. 3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：122nymx（nm,同时大于0 时表示椭圆，0mn时表示双曲线） ；4.椭
3、圆中的结论：(1)内接矩形最大面积：2ab；(2)P，Q 为椭圆上任意两点，且OPOQ，则22221111|OPOQab；(3)椭圆焦点三角形：1 22tan2PF FSb， （12F PF） ；(4)当点P与椭圆短轴顶点重合时21PFF最大；(5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆) 0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于 0 的参数，)0ba的离心率也是ace，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程5.双曲线中的结论：(1)双曲线12222byax（0,0ab）的渐近线：02222byax；(2)共渐近线xaby的双曲线标准方程为(2222byax
4、为参数，0 ） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - (3)双曲线焦点三角形：2cot221bSFPF， （21PFF） ；(4)等轴双曲线： 双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy(渐近线互相垂直 )，离心率2e(5)共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax (6) 双曲线一个焦点到一条渐
5、近线的距离等于b6.抛物线中的结论：(1)抛物线22ypx (0)p的焦点弦AB性质：i2124px x；212y yp；iipBFAF2|1|1；iii 以AB为直径的圆与准线相切；iv 以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； vsin22pSAOB. (2)抛物线22ypx (0)p内结直角三角形OAB的性质：i2212214,4PyyPxx；ii ABl恒过定点)0,2( p；iii BA,中点轨迹方程：)2(2pxpy；ivABOM，则M轨迹方程为：222)(pypx；v2min4)(pSAOB. (3)抛物线22ypx (0)p，对称轴上一定点)0,(aA，则：i当0ap时，顶点到点
6、A距离最小，最小值为a；ii当pa时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为22pap. 18.2、两个常见的曲线系方程(1)过曲线1( , )0f x y,2( , ) 0f x y的交点的曲线系方程是12( , )( , )0f x yf x y(为参数 ). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk,其中22max,kab. 当22min,ka b时,表示椭圆；当2222min,max,abkab时,表示双曲线 . 18. 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（ 1） ；在ABC 中，给出12ADABAC ，则AD是ABC 中 BC 边的中线；（ 2）
7、给出0PMPN，即已知P是 MN 的中点；（3）给出以下情形之一：|ABAC；存在实数,ABAC使；若存在实数,1,且，OCOAOB使等于已知,A B C 三点共线 . （ 4）给出0MA MB，等于已知MAMB，即AMB是直角，给出0MA MBm，等于已知AMB是钝角，给出0MA MBm，等于已知AMB是锐角；（ 5）给出()MPMAMBMAMB，等于已知MP 是AMB 的平分线；（ 6）在平行四边形ABCD 中，给出() ()0ABADABAD，等于已知ABCD 是菱形；（ 7）在平行四边形ABCD 中，给出| |ABADABAD，等于已知ABCD 是矩形；（ 8）在ABC 中，给出OPO
8、A()|ABACABAC)(R，则AP通过ABC 的内心；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 18.4、解题规律盘点1、交点直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不为0 时，12120 xxxx，xmyb与二次曲线联立，12120yyyy；直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立，00二次项系数不等于直线与二次曲线有一个公共点：双曲线直线 l二次项系数为0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数
9、为0，=0 l直线抛物线二次项系数为0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为0，=0 (2)定点处理思路；(3)设参数方程；椭圆)0( 12222babyax的参数方程是：为参数）(sincosbyax；圆222()()xaxbr的参数方程：为参数）(sincosrbyrax以简化计算 . 2、直线(1)设直线方程分斜率k存在、k不存在两种情况讨论如果什么信息也没有：讨论斜率不存在情形，当斜率存在时，往往设为斜截式：ykxb；巧设直线方程00()xxk yy回避讨论及运算等问题当直线过定点00(,)xy时，若设成00()yyk xx有时会出现下列情况：(i)容易忽视斜率不存在的情形；(ii
10、) 运算较繁，有时还会陷入僵局. (2)过x轴上一点(,0)m的直线一般设为xtym可以避免对斜率是否存在的讨论(3)两解问题：3、角(1)余弦定理 ; (2)向量的夹角公式4、直线与圆锥曲线(1)直线与圆锥曲线问题解法：1.直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解. 【运算规律】 ：直线与圆锥曲线位置关系运算程式【后话】 :联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：联立的关于 “x” 还是关于 “y” 的一元二次方程？二次项系数系数为0 的情况讨论了吗？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？2.设而不求（点差法） 处理弦中点与直线斜率问题步骤如下
11、：已知曲线22221,0 xya bab，设点11(,)A xy、22(,)B xy中点为00(,)M xy，截得平行线的弦长是定值圆外一点引切线（斜率不存在）圆 外 一 点 引 两 条 长度相等的割线，割线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 作差得2121xxyykAB；20ABOM20b xkka y；对抛物线22(0)ypx p有0AB122pypkyy. 【细节盘点 】*1. 用直线和圆锥曲线方程消元得二次方
12、程后，注意 用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式. *2. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“ 弦” 相关， “ 平行弦 ” 问题的 关键是“ 斜率 ” 、“ 中点弦 ” 问题关键 是“ 韦达定理 ” 或“ 小小直角三角形” 或“ 点差法 ” 、“ 长度 (弦长 ) ” 问题关键是长度 (弦长)公式或 “ 小小直角三角形”.*3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“ 交点 ” 时，转化为函数有解问题；先验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着 联立方程组， 然后 考虑消元建立关于x的方程还是
13、y的方程， 接着 讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，即0时，直线与曲线相切，*4. 求解直线与圆锥曲线的“ 弦长 ” 、“ 交点” 问题时， 必要条件 （注意判别式失控情况）是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先 有“0”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须优先 考虑“ 二次项系数 ” 与“ 判别式 ”问题 . *5. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质 的作用 (如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). *6. 韦达定理在解几中的应用：求弦长；判定曲线交点的个数；求弦中
14、点坐标；求曲线的方程.(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 221212()()ABxxyy或222212112(1)()4|1tanABkxxxxxx21221221224)(11)(11(|yyyykyykAB【 注 】： 弦 端 点A),(),(2211yxByx， 由 方 程( , )0ykxbF x y消 去y得 到02cbxax，0,为 直 线AB的 倾 斜 角 ，k为 直 线 的 斜 率 ，2121212|()4xxxxx x. (3)抛物线的切线方程抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx. 过 抛 物 线pxy22外 一 点00(,)P x
15、y所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是00()y yp xx. 抛物线pxy22与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. 5、几何定值、极值问题几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不等式和定理解决，有时运用“ 对角 ” 变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关三角函数性质、 正弦定理、 三角形面积公式等转化为三角极值问题解决.有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常需要用如下结论：周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；周长一定的矩形中，以正方形面积最大；面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小；周长一定的平面曲线中，圆所
16、围成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 的面积最大；在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小； 在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大；在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大；在面积一定的边形中，正边形的周长最小 . 几何定值问题主要是研究和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素的和谐几何性质或位置保持不变等问题. 常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距离之和等）、定比（
17、线段比、面积比） 、定积（面积、线段积）等. 常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等. 几何定值问题可以分为两类：一类是绝对的定值问题，即需要证明的定值为一确定的常数.这种定值为所给图形的位置、大小、形状无关；另一类是相对定值问题，即要证明的定值与题设图形中的某些定量有关，这种定值是随题设图形的位置、大小和形状的变化而改变的，因此， 只有相对的意义，也就是证明题推断的几何量可以用题设已知量的某种确定的关系来表示 . 解决定值问题常用的处理思路和方法：（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，常作辅助图形； 其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是
18、定量， 分析问题时要围绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上；（2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值；（3）利用计算法证明时，通常借助于正、余弦定理或坐标法将有关量用某些特定的量表示出来，再通过计算证明所求的式子的值为定值；（4）综合运用几何、代数、三角知识证题. 6、求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成( , )0F x y，是求轨迹的最基本的方法. 待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可 . 代入法 (相关点法或转移法)
19、. 定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程 . 交轨法 (参数法 )：当动点( , )P x y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量(参数 )表示，得参数方程，再消去参数得普通方程. 7、定义解题椭圆：第一定义：平面上一动点P 到平面上两个定点F1、F2的距离和为定值，且|PF1|+|PF2|F1F2|,则 P点轨迹为椭圆双曲线： |PF1|-|PF2|=定值 1：双曲线（ 2009 江苏 卷18） 在平面 直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和 圆222:(4)(5)4Cxy. （1）若直线
20、l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为2 3，求直线l的方程；（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 求所有满足条件的点P 的坐标0y或724280 xy点 P 坐标为3 13(,)2 2或51(,)22（2010 江苏卷18） （本小题满分1
21、6 分）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为 F设过点 T（mt,）的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M),(11yx、),(22yxN，其中m0,0,021yy（1）设动点 P 满足422PBPF,求点 P 的轨迹； （P 的轨迹为直线92x）（2）设31,221xx，求点 T 的坐标；（T 的坐标为10(7,)3）（3）设9t,求证：直线MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与m 无关） （直线 MN 必过x轴上的点（ 1，0） ）（2011 江苏卷 18）如图，在平面直角坐标系xOy中， M、N 分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A 两点，其中P 在第一象限，过P作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC ，并延长交椭圆于点B，设直线 PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段 MN ，求 k 的值；（22k）（2）当 k=2 时，求点 P到直线 AB 的距离 d； （223d）（3）对任意k0，求证： PAPB N M P A x y B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -