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1、平行四边形的性质：平行四边形的性质：边边平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等角角平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补平行四边形的邻角互补对角线对角线 平行四边形的对角线平行四边形的对角线 互相平分互相平分我们知道：我们知道：“平行四边形的平行四边形的两组对边分别相等两组对边分别相等”，那么，那么一个四边形中有两组边相等一个四边形中有两组边相等 ，这个四边形是否是平行四边这个四边形是否是平行四边形？形？已知：已知：四边形四边形ABCD中，中， AO=OC，BO=OD，那么四边形那么四边形ABCD是平行四边形吗？是平行四边形吗？
2、你的根你的根据是什么？据是什么？ADCBO根据平行四边形的判别，根据平行四边形的判别，对角线互相平分的四边形是对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形AO=OC,BO=OD四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形( )大显身手例例1：已知：已知：E、F是平行四边形是平行四边形ABCD对角线对角线AC上的两点，并且上的两点，并且AE=CF。求证：四边形求证：四边形BFDE是平行四边形是平行四边形DOABCEF证明：作对角线证明：作对角线BD，交，交AC于点于点O。 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 AO=CO，BO=DO AE=CF AO-AE=CO-CF EO=FO 又又
3、BO=DO 四边形四边形BFDE是平行四边形是平行四边形已知：已知：四边形四边形ABCD中，中， ABCD， AB=CD 那么四那么四边形边形ABCD是平行四边形吗？你的根据是什么？是平行四边形吗？你的根据是什么？ADCB 根据平行四边形的判别，根据平行四边形的判别，一组对边平行且相等的四边一组对边平行且相等的四边形是平行四边形形是平行四边形四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形ABCD,AB=CD( )2.2.从角与角的关系从角与角的关系: :3.3.从对角线的相互关系从对角线的相互关系: :1.1.从边与边的关系从边与边的关系: : 对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形的
4、四边形是平行四边形 两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形一组对边平行且相等一组对边平行且相等两组对边分别平行两组对边分别平行两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形 知识运用知识运用例例1、已知、已知E、F是是 ABCD边边AD、BC的中点，的中点，求证：求证：BE=DFE ED DC CF FB B方法一:利用两两三角形全等方法二方法二:利用平行四边形对边相等利用平行四边形对边相等实践应用实践应用 例例2:如图，在如图，在 ABCD中，已知点中，已知点E和点和点F分别分别在在AD和和BC上，且上，且AE=CF，连结，连结CE
5、和和AF，试说明四边形试说明四边形AFCE是平行四边形。是平行四边形。 DACBFEO例例3：已知点：已知点D、E、F分别在分别在 ABC的边的边BC、AB、AC上，且上，且DE AF，DE=AF，G在在FD的延长线上，的延长线上，DG=DF。求证：求证：AG与与ED互相平分。互相平分。AGFEDCBn1、下列条件中，不能判定四边形、下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（是平行四边形的是（ ）nA、A=C，B=DnB. A=B=C=90 nC.A+B=180 ，B+C=180 nD.A+B=180 ，C+D=180 ABCDD练习一练习一1.1.一组对边平行，另一组对边相等的四边
6、形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形是 平行四边形吗？平行四边形吗？ 2,几种容易产生误判的命题几种容易产生误判的命题:2.2.有两组边相等的四边形是平行四边形吗有两组边相等的四边形是平行四边形吗? ?图图1图图23.3.对角线相等的四边形是平行四边形吗对角线相等的四边形是平行四边形吗? ?图图34.4.有两组邻角互补的四边形是平行四边形吗有两组邻角互补的四边形是平行四边形吗? ?5.5.有一组对角相等的四边形是平行四边形吗有一组对角相等的四边形是平行四边形吗? ?6.6.有两组角相等的四边形是平行四边形吗有两组角相等的四边形是平行四边形吗?7.7.一条对角线平分另一条对角线的四边形一条对
7、角线平分另一条对角线的四边形 是平行四边形吗是平行四边形吗? ?8.8.一组对边相等一组对边相等, ,一组对角相等的四边形是一组对角相等的四边形是 平行四边形吗？平行四边形吗？图图4CABEABE为等腰三角形为等腰三角形作作DCA EAC B = E = DAB = AE = DC 显然显然,四边形四边形ABCD不是不是平行四边形平行四边形.D.图图53:如图，如图，ABC中，中，D是是AB的中点，的中点，E是是AC上的一点，上的一点，EFAB，DFBE(1)猜想：猜想：DF与与AE间的关系间的关系是是 (2)请对你的猜想说明原因请对你的猜想说明原因AFECBD4、已知在、已知在平行四边形平行
8、四边形ABCD中，中，E、G分别在分别在AB、CD上，上，H、F在对角线在对角线上，且上，且AHCF，AECG ， 求证：四边形求证：四边形EFGH为平行四边形为平行四边形AGHFEDCB1 12 2 5、已知：、已知：AD为为ABCABC的的角平分线角平分线，DEAB DEAB ，在，在ABAB上截取上截取BFBFAEAE。求证：求证：EFEFBDBD1 23AFEDCB 6、已知、已知 平行四边形平行四边形 ABCD中，直线中，直线MN / AC，分别交分别交DA延长线于延长线于M，DC延长线于延长线于N，AB于于P，BC于于Q。求证：求证：PM=QN。ABCDMNPQ定义：有一个角是直角
9、的平行四边形叫做定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形矩形性质矩形性质角角边边对角线对角线对称性对称性推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACBDACB=90AD = BDCD = AB21四个角四个角都是直都是直角角对边平对边平行且相行且相等等互相平互相平分分且相且相等等中心对称中心对称图形图形, ,轴轴对称图形对称图形对角线相等的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形。是矩形。ABCD证明证明: 平行四边形平行四边形ABCD AB=CD
10、 BC=BC AC=BD ABC DCB（SSS） AB/CD ABC+DCB=180 ABC=DCB=90 又又 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCD是矩形是矩形 ABC=DCB判定定理判定定理1ABCD，AC=BDABCD是矩形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形ABCD已知：在四边形已知：在四边形ABCD中，中，A= B= C=90求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形是矩形证明：证明： A= B= C=90 A + B = 180 B + C = 180 ADBC， ABDC 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 A=90
11、四边形四边形ABCD是矩形是矩形四边形四边形ABCD中，中， A= B= C=90ABCD是矩形是矩形考考你考考你n对角线相等的四边形是矩形。对角线相等的四边形是矩形。n对角线互相平分且相等的四边形是矩形。对角线互相平分且相等的四边形是矩形。n有一个角是直角的四边形是矩形。有一个角是直角的四边形是矩形。n四个角都是直角的四边形是矩形。四个角都是直角的四边形是矩形。n四个角都相等的四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。n对角线相等且有一个角是直角的四边形是对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。矩形。n对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。例例1 已知已知
12、ABCD的对角线的对角线AC、BD交于交于O，AOB是等边三角形，是等边三角形，AB = 4cm，求这个平，求这个平行四边形的面积行四边形的面积.ABCDO例例: 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形那么这个四边形是矩形已知：如图，已知：如图， ABCD的四个内角的的四个内角的平分线分别相交于平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形求证：四边形 EFGH为矩形为矩形已知：如图矩形已知：如图矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且E、F、G、H分别是分别是AO、BO、CO、DO的中点，
13、求证四边形的中点，求证四边形EFGH是矩形是矩形 平行四边形平行四边形ABCD,E是是CD的中点的中点,ABE是等边三角形是等边三角形,求证求证:四边四边形形ABCD是矩形是矩形DABCE对角线垂直的任意四边形的中点四边形是矩形对角线垂直的任意四边形的中点四边形是矩形ABCDEFGHABC中，点中，点O是是AC边上一动点，过边上一动点，过O点作直线点作直线MN/BC，设，设MN交交BCA的平分线于点的平分线于点E，交，交BCA的外角平分线于点的外角平分线于点F，（1）试说明）试说明EO=OF的理由。的理由。（2）当点）当点O运动到何处时，四边形运动到何处时，四边形AECF是矩形？是矩形？并说明
14、你的结论。并说明你的结论。MNBCDEOFA 复习与回顾：复习与回顾：1.菱形的定义：菱形的定义：2.菱形的性质：菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱菱形形性性质质 边边 角角 对角线对角线邻角互补邻角互补 对边平行对边平行四边相等四边相等对角相等对角相等对角线对角线互相平分、互相平分、互相互相垂直垂直且且平分每平分每一组对角一组对角对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCD已知：在已知：在 中，中，AC BDABCDABCD求证：求证： 是菱形是菱形证明：证明： ABCD是菱形是菱形又又 AC BD;四边形四
15、边形ABCD是平行四边形是平行四边形OA=OCBA=BC数学语言数学语言四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形; AC BD; ABCD是菱形是菱形O(线段垂直平分线上的点到线段两线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等个端点的距离相等)(有一组邻边相等的有一组邻边相等的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形).思考：它有几个已知条件？分别是什么？思考：它有几个已知条件？分别是什么？猜想猜想： 有四条边相等的四边形是菱形。有四条边相等的四边形是菱形。数学语言数学语言四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形已知：在四边形已知：在四边形ABCD中，中，AB=BC=CD=DA求证：四边形
16、求证：四边形ABCD是菱形是菱形BADC证明证明:四边形四边形ABCD是菱形是菱形(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形) AB=BC=CD=DA四边形四边形ABCD是菱形是菱形AD=BC AB=CD又又AB=AD归纳归纳菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：有一组有一组邻边邻边相等的相等的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .对角线对角线互相互相垂直垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .有有四条四条边边相等的相等的四边形四边形是菱形是菱形. .判断下列说法是否正确？为什么？判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂
17、直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等对角线互相垂直，且有一组邻边相等 的四边形是菱形；的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形组对角的四边形是菱形 请你动脑筋请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分能判断重叠部分ABCD的形状吗？的形状吗？ACDB思考思考: :DCBAEFGEFDCBA已知，如图，已知，如图， ABC中，中， ACB= 900,BF平分平分 ABC，CD垂直于垂直于
18、AB于于D，和，和BF交于交于点点G ， GE CA.求证：求证：CE和和FG互相垂直平分。互相垂直平分。一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直四条边相等四条边相等五种判定方法五种判定方法四边形四边形平行四边形平行四边形菱形菱形菱形的判定方法：菱形的判定方法：小结：小结：矩形与菱形矩形与菱形 矩形矩形 菱形菱形定义定义有一角是有一角是直角直角的平行的平行四边形叫做矩形四边形叫做矩形. .有一组有一组邻边相等邻边相等的平行四的平行四边形叫做菱形边形叫做菱形. .平行四边形的性质平行四边形的性质性质性质边边角角对角线对角线四个角都是直角四个角都是直角相等相等互相垂直且平分每一组对角互
19、相垂直且平分每一组对角判定判定有一角是直角的平行四边形有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形三个角都是直角的四边形有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形四条边都相等的四边形四条边都相等的四边形四条边都相等四条边都相等如图，已知在如图，已知在ABCDABCD中，中，AD=2ABAD=2AB，E E、F F在直线在直线ABAB上，且上，且AE=AB=BFAE=AB=BF，证明证明:CEDF.:CEDF.A AB BF FN ND DM ME EC C例：如图，例：如图，RtABC中
20、，中，ACB=900，BAC=600，DE垂直平分垂直平分BC，垂足为，垂足为D，交交AB于于E，又点，又点F在在DE的延长线上，且的延长线上，且AF=CE，求证：四边形，求证：四边形ACEF是菱形。是菱形。ABCDEF 二已知：如图，矩形二已知：如图，矩形ABCD的对角线的对角线相交于点相交于点O，PDAC，PCBD，PD、PC相交于点相交于点P。 (1)猜想：四边形猜想：四边形PCOD是什么是什么特殊的四边形？特殊的四边形？ (2)试证明你的猜想。试证明你的猜想。 （3) PO与与CD有怎样的关系？有怎样的关系？四边形四边形PCOD是菱形。是菱形。PO与与CD互相垂直且平分互相垂直且平分C
21、ABODP例：如下图在例：如下图在ABC中，中，BAC90，ADBC于于D，CE平分平分ACB，交，交AD于于G，交交AB于于C，EFBC于于F，四边形，四边形AEFG是菱是菱形吗形吗?如图如图448，CD为为RtABC斜边斜边AB上上的高，的高，BAC的平分线交的平分线交CD于于E，交，交BC于于F，FGAB于于G求证：四边形求证：四边形EGFC为菱形为菱形 如图，如图，ADBC，BD垂直平分垂直平分AC，四边形四边形ABCD一定是菱形吗？若是，一定是菱形吗？若是，请请说明理由说明理由。CDBAOu思考题思考题:) 12 (提示提示: AOD COB（角边角角边角）AD=BC如图，已知如图，
22、已知ADAD平分平分ABCFDE练习：练习：u如图在菱形如图在菱形ABCD中中,CEAB,CFAD. 则则CE与与CF相等吗？说明理由。相等吗？说明理由。 BE与与DF呢？呢？ABCDEF1 正方形的定义正方形的定义由正方形的定义可知，由正方形的定义可知， 正方形既是正方形既是有一组邻边相等的矩形有一组邻边相等的矩形，又是，又是有有一个角为直角的菱形。一个角为直角的菱形。如图如图(1)。 有有一组邻边相等一组邻边相等且且有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边形平行四边形叫做正方形。叫做正方形。 平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正正方方形形请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图请画出
23、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图 正方形性质正方形性质: 边边: 对边平行对边平行 四边相等四边相等 角角 ：四个角都是直角四个角都是直角对角线：对角线：相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。 0D:我的文档我的文档左信举左信举j2040600.swf练习练习1已知：正方形已知：正方形ABCD对角线对角线AC、BD相相交于点交于点O，且且ABacm，如图如图(2)。求：求：AC的长及正方形的面积的长及正方形的面积S。 练习练习2已知：在正方形已知：在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，且且AC6 cm，如图如图求：
24、正方形的面积求：正方形的面积S。 2例例1如图如图(6)，ABC的外面作正方形的外面作正方形ABDE和和ACFG，连连结结BG、CE，交点为交点为N。求证：求证：CEAABG 分析：分析：欲证欲证CEAABG，大家想一想证明两个角相等的方法，大家想一想证明两个角相等的方法，你有办法了吗？通过自己的努力，看能不能解决问题？你有办法了吗？通过自己的努力，看能不能解决问题？证明：证明：四边形四边形ABDE和四边形和四边形ACFG是正方形。是正方形。AEABAGAC1290又又EAC1BAC90BAC BAG2BAC90BACEACBAGAEC ABG(SAS) CEAABG例：下列正确的是例：下列正
25、确的是. 四边相等的四边形是正方形四边相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形形是正方形例例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O， 分析：分析：要证明要证明BMCN，大家观察大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。 你能完成证明吗你能完成证明吗?ABBC，1245 条件够吗？条件够吗？还需要的条件是
26、还需要的条件是 AMBNABM BCN你所要证明的两个三角形已经满足你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：由正方形可以得到的条件有：例例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交相交于于O，MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。 证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形是正方形 OAOB ,12345 又又MNAB OMN13ONM45 OMON OAOMOBON 即即AMBN下面大家自己完成证明下面大家自己完成证明例：在正方形中，点例：在正方形中，点 ， ， ， 分别在，上，分别在，上，且且 .四边
27、形四边形 是正方形吗？为什么？是正方形吗？为什么？DCBADCBA例例3已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线 上一点，上一点，CEAF于于E，交交AD于于M， 求证：求证：MFD45分析：分析：欲证欲证MFD45，由于由于MDF是直角三角形是直角三角形,只须证只须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等大家只须证得哪两个三角形全等? CMD ADF例例3已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线上一点，延长线上一点，CEAF于于E，交交AD于于M，求证：求
28、证：MFD45证明：证明：CEAF ADCAEM90 又又CMDAME 12又又CDAD，ADFMDCRtCDM RtADF(AAS) DM=DF 下面的证明请大家完成下面的证明请大家完成练习练习如图如图(5)，在，在AB上取一点上取一点C，以以AC、BC为正为正方形的一边在同一侧作正方形方形的一边在同一侧作正方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延长延长BD交交AF于于H。求证：求证：(1) ACF DCB (2) BHAF （8）如图）如图1：正方形：正方形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，E是是AC上的一点，连接上的一点，连接EB，过点，过点A作作AMBE，垂，垂
29、足足M，AM交交BD于点于点FABCDFEMO图图2ABCDOFEM图图1如图如图2所示，若点所示，若点E在在AC的延长线上，的延长线上，AMEB的延长的延长线于点线于点M，交，交DB的延长线于点的延长线于点F，其他条件都不变，则结，其他条件都不变，则结论论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由成立，请说明理由求证求证OE=OF；练习：练习：在在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条件, ,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形. .请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法F FE ED DC CB BA A