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1、8.1 匹配滤波器匹配滤波器8.2 最小差错概率接收准则最小差错概率接收准则8.3 确知信号的最佳接收机确知信号的最佳接收机8.4 随相信号的最佳接收机随相信号的最佳接收机8.5 最佳接收机性能比较最佳接收机性能比较8.6 最佳基带传输系统最佳基带传输系统 第第 8 章章 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收返回主目录第第8章章 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收8.1匹匹 配配 滤滤 波波 器器 在数字通信系统中，滤波器是其中重要部件之一， 滤波器特性的选择直接影响数字信号的恢复。在数字信号接收中， 滤波器的作用有两个方面， 使滤波器输出有用信号成分尽可能强； 抑制信号带外噪声，使滤波器输
2、出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。 对最佳线性滤波器的设计有两种准则：一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器；另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。解调器中抽样判决以前各部分电路可以用一个线性滤波器来等效. 由数字信号的判决原理我们知道，抽样判决器输出数据正确与否，与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相似程度无关，也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关， 而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比， 即信噪比。信
3、噪比越大，错误判决的概率就越小；反之，信噪比越小，错误判决概率就越大。 H()判决s(t)n(t)r(t)y(t) t t0输出SN( )o当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为H(), 滤波器输入信号与噪声的合成波为式中， s(t)为输入数字信号， 其频谱函数为S()。 n(t)为高斯白噪声， 其双边功率谱密度为 。20n( )( )( )r ts tn t=+ 由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即 (8.1 - 2)式中输出信号的频谱
4、函数为So()，其对应的时域信号为 0011( )( )( )( )22jwtjwts ts w edws w H w edwpp- - =蝌滤波器输出噪声的平均功率为020220011( )( )( )221( )( )224innNPw dwpw H wdwnnH wdwH wdwpppp- - - - =蝌蝌00( )( )( )y tstnt=+ 在抽样时刻t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为 使输出信噪比ro达到最大的传输函数H()就是我们所要求的最佳滤波器的传输函数。这是一个泛函求极值的问题，采用施瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题。 施瓦兹不等式
5、为 X()=KY*() 等式才能成立。 K为任意常数022002001( ) ( )( )2( )4jwtoH w s w edws trnNH wdwpp- - =222111( ) ( )( )( )222X w Y w dwX wdwY wdwppp- - - 蝌令X()=H()， Y()=S()ejt0可得02201( ) ( )2( )4jwtoH w S w edwrnH wdwpp- - =0222220011( )( )( )42( )42jwtH wdws w edws wdwnnH wdwppp- - - - =蝌根据帕塞瓦尔定理有 221( )( )2S wdwSt dt
6、Ep- - =蝌式中E为输入信号的能量。线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X()=KY*()， 可得不等式(8.1 - 10)中等号成立的条件为 H()=KS*()e-jt0 式中，K为常数，通常可选择为K=1。S*()是输入信号频谱函数S()的复共轭。这就是我们所要求的最佳线性滤波器的传输函数，该滤波器在给定时刻t0能获得最大输出信噪比。 0max02Ern=02oErn 这种滤波器的传输函数除相乘因子Ke-jt0外，与信号频谱的复共轭相一致，所以称该滤波器为匹配滤波器。 从匹配滤波器传输函数H()所满足的条件，我们也可以得到匹配滤波器的单位冲激响应h(t
7、)：011( )( )( )22jwtjwtjwth tH w edwKSw eedwpp-*- - =蝌000()()(001( ) ( )221 ( )( ) ()()2jw ttjw ttjwjwttjwKsededwKeedw sdKedw sdKstt dKs tttttttttppttt d ttp-*- - - - -+- - - =-+=-蝌蝌蝌即匹配滤波器的单位冲激响应为式(8.1 - 16)表明，匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信号s(t)的镜像函数，t0为输出最大信噪比时刻。 对于因果系统， 匹配滤波器的单位冲激响应h(t)应满足: t0 t0 必须有： t0 t0
8、-t0 或 tt0 s(t)OTth(t)Ott00( )()h tKs tt=-0()( )0Ks tth t-= 0()0,s tt-=( )0,s t =说明，对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻t0之前结束。也就是说，若输入信号在T时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器， 其输出最大信噪比时刻t0必须在输入信号结束之后，即t0T。 对于接收机来说，t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取t0=T。 若输入信号为s(t)， 则匹配滤波器的输出信号为 为输入信号s(t)的自相关函数。 0( )( )( )() ( )()()os
9、 ts th ts thds tKs tdtttttt- - =*=-=-蝌0( )( )( )( ) ()( )()os ts thtshtdsKstt dtt tttt-=*=-=+-蝌上式表明， 匹配滤波器的输出波形是输入信号s(t)的自相关函数的K倍。因此， 匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，其在t0时刻得到最大输出信噪比romax= 。 由于输出信噪比与常数K无关，所以通常取K=1。 例 8 - 1设输入信号如下，试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形。 02nE 其他02Tt 输入信号s(t)的频谱函数为1( )0s t= 图8-3 信号时间波形(a)(
10、b)so(t)OTt(c)2T2T2T23Th(t)0Tt2T1s(t)0Tt12201( )( )(1)TwTjjwtjwtS ws t edtedtejw- =-蝌匹配滤波器的传输函数为0021()()(1)TwjjwtjwtH wSw eeejw-*=-匹配滤波器的单位冲激响应为取t0=T，则有21( )(1)TwjjwTH weejw-=-0( )()h ts tt=-( )()h ts Tt=- (2) 由式(8.1 - 21)可得匹配滤波器的输出为000( )()( ) ()stR tts x s xttdx- =-=+-,2Tt-+3,2Tt-, 02TtT32TTt其他= 匹配
11、滤波器的输出波形如图 8 - 3(c)所示。可见，匹配滤波器的输出在t=T时刻得到最大的能量 。 2TE 8.2 最小差错概率接收准则最小差错概率接收准则 8.2.1数字信号接收的统计模型数字信号接收的统计模型 在数字信号的最佳接收分析中，我们不是采用先给出接收机模型然后分析其性能的分析方法，而是从数字信号接收统计模型出发，依据某种最佳接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能。 数字通信系统的统计模型。用统计特性来描述。 XSY判决规则Rn消息空间信号空间观察空间判决空间噪声空间 在数字通信系统中， 消息是离散的状态， 设消息的状态集合为X=x1, x2, , xm (8.2 -
12、 1)若消息集合中每一状态的发送是统计独立的， 第i个状态xi的出现概率为P(xi)， 则消息X的一维概率分布为X1 x2 xmP(x1) P(x2) P(xm) 根据概率的性质有 1( )1miip x 若消息各状态x1, x2, , xm出现的概率相等，则有 (8.2 - 3) 121()()()mP xP xP xm 消息是各种物理量， 本身不能直接在数字通信系统中进行传输，因此需要将消息变换为相应的电信号s(t)，用参数S来表示。将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系，通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系，即消息xi与信号si(i=1, 2， ， m)相对应。 这样，信
13、号集合S也由m个状态所组成，即 S=s1, s2, , sm 并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即 同时也有1( )1niip s=1122( )()()()P sP xP sP x=()()mmP sP x= 若消息各状态出现的概率相等， 则有 (8.2 - 6)P(si)是描述信号发送概率的参数，通常称为先验概率， 它是信号统计检测的第一数据。 信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间n是加性高斯噪声。在前面各章分析系统抗噪声性能时，用噪声的一维概率密度函数来描述噪声的统计特性, 在本章最佳接收中，为了更全面地描述噪声的统计特性，采用噪声的多维联合概率密度函数。噪声n的k
14、维联合概率密度函数为 (8.2 - 7) 式中，n1, n2, , nk为噪声n在各时刻的可能取值。12( )()()mP sP sP s=12( )( ,)kkfnf n nn=若噪声是高斯白噪声， 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的；若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的， 同时也是统计独立的。根据随机信号分析，若随机信号各样值是统计独立的，则其k维联合概率密度函数等于其k个一维概率密度函数的乘积，即 式中， f(ni)是噪声n在ti时刻的取值ni的一维概率密度函数， 1212(,)()()()kkkfn nnf nf
15、nf n=若ni的均值为零，方差为2n，则其一维概率密度函数为221( )exp22iinnnf nsps镲=-睚镲 噪声n的k维联合概率密度函数为根据帕塞瓦尔定理， 当k很大时有2202011( )kTiinnnn t dtTTs=22120011( )exp2( 2)11( )exp( )( 2)kkiikinnTknf nnf nn t dtnspsps=镲=-睚镲 镲=-睚镲 20nHn fs=2202011( )kTiinnnn t dtTTs= 信号通过信道叠加噪声后到达观察空间， 观察空间的观察波形为 由于在一个码元期间T内， 信号集合中各状态s1, s2, , sm 中之一被发
16、送，因此在观察期间T内观察波形为 (i=1, 2, , m) 由于n(t)是均值为零， 方差为2n的高斯过程，则当出现信号si(t)时, y(t)的概率密度函数fsi(y)可表示为( )( )( )y tn ts t=+( )( )( )iy tn tst=+20011( )exp(1,2,.,) ( )( )( 2)Tsiiknfyimy ts tdtn fsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据。 根据y(t)的统计特性，按照某种准则，即可对y(t)作出判决， 判决空间中可能出现的状态r1, r2, , rm与信号空间中的各状态s1, s2, , sm相对应。 8.2.2最佳接收
17、准则最佳接收准则 在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则。由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的干扰，发送信号si(t)时不一定能判为ri出现，而是判决空间的所有状态都可能出现。我们以二进制数字通信系统为例分析其原理。 在二进制数字通信系统中，发送信号只有两种状态，假设发送信号s1(t)和s2(t)的先验概率分别为P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)在观察时刻的取值分别为a1和a2，出现s1(t)信号时y(t)的概率密度函数fs1(y)为2110011( )exp ( )( 2)Tsknfyy tadtnps镲=-睚镲 同理，出现s2(t)信号时y(t)的概率
18、密度函数fs2(y)为2220011( )exp ( )( 2)Tsknfyy tadtnps镲=-睚镲 fs1(y)和fs2(y)的曲线如图 8 - 5 所示。 若在观察时刻得到的观察值为yi，可依概率将yi判为r1或r2。在yi附近取一小区间a，yi在区间a内属于r1的概率为 图 8- 5 fs1(y)和fs2(y)的曲线图fs1(y)fs2(y)ya2aa1yi1212( )( )ssaaqfy dyqfy dyDD=蝌yi在相同区间a内属于r2的概率为22( )saqfy dyD=可以看出， 即yi属于r1的概率大于yi属于r2的概率。因此，依大概率应将yi判为r1出现。 由于fs1(
19、y)和fs2(y)的单调性质，图 8 - 5 所示的判决过程可以简化为图 8 - 6 所示的判决过程。 11( )saqfy dyD=图 8 6 判决过程示意图 ya2y 0a1PPfs1( y)fs2( y)r1r2 根据fs1(y)和fs2(y)的单调性质， 在图 8 - 6 中y坐标上可以找到一个划分点y0。在区间(-, y0）， q1q2；在区间(y0, )， q1q2。 根据图 8 - 6 所分析的判决原理，当观察时刻得到的观察值yi(-, y0)时，判为r1出现；若观察时刻得到的观察值yi(y0, )时，判为r2出现。 如果发送的是s1(t)，但是观察时刻得到的观察值yi落在(y0
20、,)区间, 被判为r2出现，这时将造成错误判决，其错误概率为 101( 2)()ssyPsfy dy= 同理， 如果发送的是s2(t)， 但是观察时刻得到的观察值yi落在(-, y0)区间, 被判为r1出现，这时也将造成错误判决，其错误概率为 0221()()yssPsfy dy- =此时系统总的误码率为012012()( )()( )yssyP sfy dyp sfy dy- =+蝌 由式(8.2 - 21)可以看出， 系统总的误码率与先验概率、 似然函数及划分点 有关，0y112221( )( )( )( )essPp s p sp s ps=+ 在先验概率和似然函数一定的情况下，系统总的
21、误码率Pe是划分点y0的函数。不同的y0将有不同的Pe，我们希望选择一个划分点y0使误码率Pe达到最小。使误码率Pe达到最小的划分点y0称为最佳划分点。y0可以通过求Pe的最小值得到。 即00epy= (8.2 - 23) 由此可得最佳划分点将满足如下方程:120201()()()()ssfyp sfyp s=121020()()()()0ssp sfyp sfy-+=式中y0即为最佳划分点。 因此，为了达到最小差错概率，可以按以下规则进行判决:1221( )(),( )( )ssfyp sfyp s1221( )(),( )( )ssfyp sfyp s判为 r1( 即s1)判为 r2( 即
22、s2)以上判决规则称为似然比准则。在加性高斯白噪声条件下，似然比准则和最小差错概率准则是等价的。 当s1(t)和s2(t)的发送概率相等时，即P(s1)=P(s2)时，则有 fs1(y)fs2(y), 判为r1(即s1) fs1(y)fs2(y), 判为r2(即s2) 上式判决规则称为最大似然准则，其物理概念是，接收到的波形y中，哪个似然函数大就判为哪个信号出现。 以上判决规则可以推广到多进制数字通信系统中，对于m个可能发送的信号，在先验概率相等时的最大似然准则为fsi(y)fsj(y), 判为si(i=1, 2, , m; j=1, 2, , m; ij) 最小差错概率准则是数字通信系统最常采用的准则， 除此之外，贝叶斯(Bayes)准则、尼曼-皮尔逊(Neyman-Pearson)准则、 极大极小准则等有时也被采用。