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1、学习必备欢迎下载11.1 与三角形有关的线段1三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点边：组成三角形的线段叫做三角形的边角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点(3)表示：三角形用符号“”表示，三角形ABC 用符号表示为ABC. 注：顶点 A 所对的边BC 用 a 表示，顶点B 所对的边AC 用 b 表示，顶点C 所对的边AB 用 c 表示(4)分类：三角形按角分类如下：三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形三角形按边的相等关系分类如下：破疑
2、点等边三角形和等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形【例 1】 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角分析： 根据三角形的定义及构成得出结论解： 图中有三个三角形，分别是：ABC，ABD，ADC. ABC 的三边是： AB，BC，AC，三个内角分别是：BAC，B，C；ABD 的三边是： AB， BD，AD，三个内角分别是：BAD， B， ADB；ADC 的三边是： AD，DC，AC，三个内角分别是：ADC ，DAC，C. 2三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：abc，cba，acb. 三角形两
3、边的差小于第三边，用字母表示为：cba，bac，cab. (2)作用：利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据. 破疑点三角形三边关系的理解三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载边之和都大于第三边，即ab c，cb a，acb 三个不等式同时成立【例 2】 下列长度的三条线段(单位：厘米 )能组成三角形的是()A1,2,3.5 B4,5,9 C
4、5,8,15 D6,8,9 解析： 选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6 814 9，所以 D 能构成三角形答案： D 3三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高(2)描述方法： 高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD 是 BC 边上的高 如图所示AD 是 ABC 的高；ADBC，垂足为D；D 在 BC 上，且 ADB ADC90 . (3)性质特点：因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角常用关系式为：因为 AD 是 BC 边上的高，所以 ADB ADC
5、90 . “三角形的三条高(所在直线 )交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部如图所示破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上【例 3】 三角形的三条高在()A三角形的内部B三角形的外部C三角形的边上D三角形的内部、外部或边上解析： 三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D 正确答案： D 4三角形的中线(
6、1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载直接描述：AD 是 BC 边上的中线；间接描述：D 是 BC 边上的中点(3)性质特点：由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是 BC 边上的中线，所以BDCD(或 BD12BC，DC12BC)如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条
7、中线都交于三角形内部一点三角形三条中线的交点叫做三角形的重心破疑点三角形的中线的理解三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点【例 4】 如图， AE 是 ABC 的中线， EC 6，DE2，则 BD 的长为 ()A2 B3 C4 D6 解析： 因为 AE 是 ABC 的中线，所以 BEEC6.又因为 DE2，所以 BD BEDE624. 答案： C 5三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图直接描述：AD
8、是 ABC 的角平分线；在 ABC 中， 1= 2，且 D 在 BC 上；AD 平分 BAC ，交 BC 于点 D. (3)性质特点：由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是ABC 的角平分线，所以1=2(或 1=2= BAC ，或 BAC=2 1=22)一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部解技巧三角形的角平分线的理解三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个 端点，另一个端点在对边上【例 5】 下列说法正确的是()平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；三角形的中线、
9、角平分线都是线段，而高是直线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载每个三角形都有三条中线、高和角平分线；三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线ABCD解析： 任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有正确，故选B. 答案： B 6三角形的稳定性(1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性(2)理解： 三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后它的附属性质也不变，这不同于四边形，因而
10、在实际生活中，都是用三角形做支架的【例 6】在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条 EF 固定矩形门框ABCD 的情形这种做法根据 ()A两点之间线段最短B两点确定一条直线C三角形的稳定性D矩形的四个角都是直角解析： 这是三角形稳定性在日常生活中的应用，C 正确答案： C 解技巧三角 形的稳定性的理解三角形稳定性的问题都是以实际生活为原型，说明这样做的道理，一般较为简单7三角形三边关系的应用三角形中“两边之和大于第三边(两边之差小于第三边)”，这是三角形中最基本的三边关系这里的“两边之和”指的是“任意两边的和”，满足这一关系是三条线段能否构成三角形的前提三角形三边关系的运用主要有两方面，一是在
11、已知两边的情况下确定第三边的取值范围；二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形解技巧三角形三边关系的应用当线段a， b，c 满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围【例 71】 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？(1)6 cm,8 cm,10 cm ；(2)三条线段长之比为456；(3)a 1，a2，a 3(a0)分析： 根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形解： (1)因为 6 8
12、10，所以长为6 cm,8 cm,10 cm 的三条线段能组成三角形；(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x0)，因为 4x5x 大于 6x，所以三条线段长之比为 456 时，能组成三角形；(3)因为 a1a2 2a3，当 a0 时， 2a3a3，所以a1， a2，a3(a0)长的线段能组成三角形【例 72】 已知三角形的两边长分别为5 cm 和 8 cm，则此三角形的第三边的长x 的取值范围是 _解析： 根据三角形三边关系可知，第三条边的长x 应大于已知两边之差且小于已知两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页
13、学习必备欢迎下载边之和，所以3 cmx13 cm. 答案： 3 cmx13 cm8.三角形的高、中线、角平分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能(1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高(2)中线的画法：取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线(3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线9三角形高的应用从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点
14、和垂足之间的线段叫做三角形的高因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向解技巧巧证直角背景下两锐角相等图形中含有高时， 经常用 “同角 (或等角 )的余角相等 ”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律【例 8】 如图 (1)，已 知 ABC，画出 ABC 中， BC 边上的高、中线和BAC 的平分线图(1) 图 (2) 分析： 因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性
15、定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)解： 画法如下：(1)过 A 作 BC 的垂线，垂足为D，AD 即为 BC 边上的高；(2)取 BC 的中点 E，连接 AE，AE 即为 BC 边上的中线；(3)作BAC 的平分线，交BC 于点 F，连接 AF，AF 即为 ABC 中BAC 的平分线【例 9】 如图，在 ABC 中， AD， BE 分别是边BC， AC 上的高，试说明 DAC 与 EBC的关系分析： 因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以ADC， BEC 都是直角根据小学所学三角形的内角和为180 ，所以 DAC C 90 ，EBCC90 ，根据同角的余
16、角相等，即可得出DACEBC. 解： DAC EBC. 因为 AD ，BE 分别是边 BC，AC 上的高，所以 ADC 90 ，BEC90 . 所以 DAC C 90 ，EBCC90 . 所以 DAC EBC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载10三角形中线应用拓展三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：(1)面积问题： 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图， 在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，则SAB
17、DSACD12SABC. 因为 BD CD， ABD 和 ADC 等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分(2)周长问题：如图所示，AD 是 BC 边上的中线，ABD 和 ACD 的周长之差实质上就是 AB 与 AC 的差，这也是三角形中线中常出现的问题【例 10】 有一块三角形优良品种试验基地，如图所示， 由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明 )分析： 根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分解：答案不唯一，如方案1：如图
18、 (1)，在 BC 上取点 D ，E，F，使 BDDEEFFC ，连接 AD， AE，AF. 方案 2：如图 (2)，分别取 AB，BC， CA 的中点 D，E，F，连接 DE，EF，DF . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载方案 3：如图 (3)，分别取 BC 的中点 D、CD 的中点 E、AB 的中点 F，连接 AD，AE，DF . 方案 4：如图 (4)，分别取 BC 的中点 D、AB 的中点 E、AC 的中点 F，连接 AD，DE，DF .11.等腰三角形中的三边关系等腰三角形是特殊的三角形
19、，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；在等腰三角形中，底的取值范围是大于0 且小于两腰之和因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形如一个等腰三角形的两边长是2 cm和 5 cm，它的周长是多少？情况一：当腰是2 cm 底是 5 cm 时，因为 225，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；情况二：当腰是5 cm 底是 2 cm 时， 525，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm. 解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长根据两边之和大于第
20、三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提【例 111】 等腰三角形的两边长分别为6 cm 和 9 cm，则腰长为 _解析： 两种情况， 一是腰长为6 cm 时，底边就是 9 cm，此时 6 69，此三角形存在，所以腰长可以是6 cm；二是腰长为9 cm，此时 969，此三角形也存在，所以腰长也可以是 9 cm，故腰长为6 cm 或 9 cm. 答案： 9 cm 或 6 cm 【例 112】 已知等腰三角形的周长是24 cm，(1)腰长是底边长的2 倍，求腰长；(2)若其中一边长为6 cm，求其他两边长分析： (1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的
21、解从而求出答案； (2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边解： (1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得x2x 2x24，解得 x4.8，所以腰长为2x2 4.89.6(cm)(2)当长为 6 cm 的边为腰时，则底边为246212(cm)因为 66 12，两边之和等于第三边，所以 6 cm 长为腰不能组成三角形，故腰长不能为 6 cm. 当长为 6 cm 的边为底边时，则腰长为(246) 29(cm)，因为 6 cm,9 cm,9 cm 可以组成三角形，所以等腰三角形其他两边长均为9 cm.12.
22、与三角形有关的线段易错点分析在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：(1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻图 1 中 BE 不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2 错在没有过点B 画 AC的垂线段； 图 3 错在把三角形的高与AC 边上的垂线混淆，把线段画成了射线正确的作法是过点 B 向对边 AC 所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落精选学习资料 - - -
23、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载在 CA 的延长线上，如下图所示：(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”【例 121】 下列说法正确的是()A三角形的角平分线是射线B三角形的高是一条垂线C三角形的三条中线相交于一点D三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部解析： A，B，D 都是错误的， A 选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形
24、的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D也是错误的只有C 正确答案： C 【例 122】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm 和 15 cm 两部分，求三角形的底边长分析： 有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时ABAD15 cm，BCCD12 cm；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时 ABAD12 cm，BCCD15 cm. 图(1) 图(2) 解： (1)当三角形是锐角三角形时，因为D 是 AC 的中点，所以AD12AC12AB，所以ABADAB12AB15， 解得 AB10(cm) 所以 AC10 cm， 所以底边 BC15121027(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm. (2)当三角形是钝角三角形时，ABADAB12AB 12，解得 AB8(cm)，所以 AC8 cm，所以BC15 128 211(cm)因为8811，所以能构成三角形，此时底边为11 cm. 答：底边的长为7 cm 或 11 cm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页