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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 1、定义、定义: : 1,0nnnaa则称级数则称级数若若为为正项级数正项级数. .2 2、正项级数收敛的充要条件、正项级数收敛的充要条件: :基本定理基本定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增
2、加数列. .ns .ns正项级数发散部分和所成的数列无界我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,11均均为为正正项项级级数数和和设设 nnnnba3、正项级数比较审敛法、正项级数比较审敛法1, ), 1,( kknbann且自某项起有且自某项起有.,)1(11也也收收敛敛则则收收敛敛若若 nnnnab.,)2(11也发散也发散则则发散发散若若 nnnnba我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物证明证明
3、nnaaas 21且且 1)1(nnb 设设,nnba , 即部分和数列有界即部分和数列有界.1收收敛敛 nnanbbb 21nns 则则)()2( nsn设设,nnba 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnb定理证毕定理证毕.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 1 1 讨论讨论 p- -级数级数 ppppn14131211的收敛性的收敛性. .)0( p 解解,1)1 p设设,11nnp .11发散发散级数级数 npnp,11发发散散而而级级数数 nn,1)2 p设设,1时时
4、当当nxn ,11ppxn nnppxnn1d11 nnpxx1d1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物pppnns131211 nnppxxxx121dd1 npxx1d1)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级级数数收收敛敛则则 p 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,111ppnpnp重要基本级数重要基本级数 几何级数几何级数, , p - - 级数级数, , 调和级数调和级数. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是
5、我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 2 2 证证明明级级数数 1)1(1nnn是是发发散散的的. 证明证明,11)1(1 nnn,11121发发散散而而级级数数 knkn.)1(11 nnn发散发散级数级数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 3 3 判判别别级级数数)1(11nnnn 的的敛敛散散性性. 证明证明)1(1)1(1nnnnnn ,12121212323收收敛敛而而级级数数 knnn.)1(11收收敛敛级级数数 nnnn,212123nnn 当级数一般项
6、较复杂时，不容易比较，可用当级数一般项较复杂时，不容易比较，可用下列比较判别法的极限形式下列比较判别法的极限形式我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,11均均为为正正项项级级数数和和设设 nnnnba4 4、比较审敛法的极限形式、比较审敛法的极限形式:(:(比较审敛法比较审敛法2)则则有有有有确确定定意意义义若若极极限限,limlbannn 两个级数有相同的敛散性两个级数有相同的敛散性 ；(1) 当当 0 l 时时, ,(2) 当当 l 0 时时, ,;11收敛收敛收敛可推出收敛可推出由由 nn
7、nnab(3) 当当 l 时时, ,.11发发散散发发散散可可推推出出由由 nnnnab我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物证明证明lbannn lim)1(由由, 02 l 对于对于,N ,时时当当Nn 22llballnn )(232Nnblablnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 4 4 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛
8、散性: : (1) 11sinnn ; (2) 131nnn ; 解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,11时时的的无无穷穷小小均均为为和和通通项项均均为为正正项项级级数数和和设设 nbabannnnnn.,)1(11收敛收敛收敛可推出收敛可推出由由的同阶或高阶无穷小时的同阶或高阶无穷小时为为当当 nnn
9、nnnabba.,)2(11发发散散发发散散可可推推出出由由的的同同阶阶或或低低阶阶无无穷穷小小时时为为当当 nnnnnnabba.,)3(性性两个级数有相同的敛散两个级数有相同的敛散时时当当nnba5、比较审敛法、比较审敛法3 (比阶审敛法比阶审敛法)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 6 6 判别级数判别级数 111lnnkn的敛散性的敛散性. 例例 5 5 判判别别级级数数)0(cos11 knkn的的敛敛散散性性. 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽
10、的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,1为正项级数为正项级数设设 nna6 6、比值审敛法比值审敛法 (DAlembert判别法判别法) 则则有有有有确确定定意意义义若若极极限限,lim1 nnnaa级数收敛级数收敛 ；(1) 当当 0 1 时时, ,(2) 当当 1 时时, ,(3) 当当 1 时时, ,级数发散级数发散 ；级数敛散性需另行判定级数敛散性需另行判定. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找基本级数不必找
11、基本级数. . 两点注意两点注意:1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ; ,11发发散散级级数数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( ., !常用比值审敛法常用比值审敛法或指数出现或指数出现的连乘积的连乘积关于关于次幂次幂中含有中含有当当nnnnan我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.lim
12、lim1不不存存在在nnnnnauu 2. 条件是充分不必要的条件是充分不必要的. . 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 7 7 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性: (1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 1!nnnn; 解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物, !1010)
13、!1(limlim)2(11nnuunnnnnn 101lim nn.10!1发发散散故故级级数数 nnn例例 7 7 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性: (1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 1!nnnn; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物!)1()!1(limlim)3(11nnnnuunnnnnn .!1收收敛敛故故级级数数 nnnnnnnnn)1(lim e1 例例 7 7 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性: (1) 1!1nn; (2) 110!n
14、nn; (3) 1!nnnn; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn例例 8 8 判判别别级级数数 12)12(1nnn的的敛敛散散性性. 解解我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一
15、个活的生物例例 9 9 讨论级数讨论级数)0(11 xxnnn的敛散性的敛散性. 解解1 )1(lim nnnxnxnnnnaa1lim x ,10时时当当 x级数收敛；级数收敛；,1时时当当 x级数发散；级数发散；.1发散发散级数级数 nn,1时时当当 x我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物说明说明:.,lim1lim)1(11比值审敛法失效比值审敛法失效不存在不存在或或若若nnnnnnaaaa .)2(条件是充分不必要的条件是充分不必要的.1lim,11 nnnnnaaa未必有未必有收敛收敛
16、若若即：即：., !)3(常用比值审敛法常用比值审敛法或指数出现或指数出现的连乘积的连乘积关于关于次幂次幂中含有中含有当当nnnnan.,)4(证证明明常常用用比比较较审审敛敛法法或或定定义义一一般般不不可可用用比比值值审审敛敛法法凡凡涉涉及及抽抽象象证证明明题题我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解,223cos2nnnnn nnnnn221lim1 , 121 ,21收收敛敛级级数数 nnn 原级数收敛原级数收敛 . .两种判别法可结合应用两种判别法可结合应用. .我吓了一跳，蝎子是多么丑
17、恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,1为为正正项项级级数数设设 nna7.7.根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法)： 则有则有有确定意义有确定意义若极限若极限,lim nnna级数收敛级数收敛 ；(1) 当当 0 1 时时, ,(2) 当当 1 时时, ,(3) 当当 1 时时, ,级数发散级数发散 ；级数敛散性需另行判定级数敛散性需另行判定. .lim,常常用用根根值值审审敛敛法法级级数数易易求求的的等等当当一一般般项项中中含含有有nnnnnaan 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这
18、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.1)1:1的敛散性的敛散性判定级数判定级数例例 nnn2) 2) 判定判定级数级数 131nnnn的敛散性的敛散性. 3 3) ) 判定判定级数级数 143nnn的敛散性的敛散性. 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物8、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限例：求数列的极限例：求数列的极限,!lim)1nnnn 2)11(lim)2nnn 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西
19、，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物9、正项级数的柯西积分审敛法、正项级数的柯西积分审敛法 ( (课本课本Page 240) ).d)(), 2 , 1()()(), 1,111同敛散同敛散与反常积分与反常积分则级数则级数使得使得单减函数单减函数上的连续上的连续若有定义在若有定义在对正项级数对正项级数 xxfananfxfannnnn我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物思考题思考题 设正项级数设正项级数 1nnu收敛收敛, , 能否推
20、得能否推得 12nnu收敛收敛? ?反之是否成立反之是否成立? ? 解解由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物正项级数审敛法正项级数审敛法小结小结1.比较审敛法比较审敛法2.2.比值审敛法比值审敛法3.3.根值审敛法根值审敛法4.4.积分审敛法积分审敛法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物nu n n小结：判别正项级数敛散性程序：小结：判别正项级数敛散性程序：否，级数发散否，级数发散按定义按定义比较法比较法limlim是否为零是否为零是，或无法求是，或无法求 比值法比值法根植法根植法积分法积分法