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1、第二节数项级数及审敛法第1页，本讲稿共48页若若则称则称为为正项级数正项级数.的收敛（发散）问题归结为数列的收敛（发散）问题归结为数列的收敛（发散）问题。的收敛（发散）问题。次都直接用定义去判断级数收敛与否，除在少数场合外，次都直接用定义去判断级数收敛与否，除在少数场合外，往往是很困难的。因此，需要简单易行的判敛法。往往是很困难的。因此，需要简单易行的判敛法。如果数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数如果数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.级数级数对于同号级数，只需研究正项级数对于同号级数，只需研究正项级数.如果每如果每但在具体应用中，但在具体应用中，一、正项级数及其审敛法一、正项
2、级数及其审敛法第2页，本讲稿共48页定理定理 1.正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列有界有界.若若收敛收敛,部分和数列部分和数列有界有界,故故从而从而又已知又已知故有界故有界.单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证:“”“”对于正项级数对于正项级数由于由于可见部分和数列单调增加。可见部分和数列单调增加。趋于无穷或有趋于无穷或有极限极限单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.此定理是本节诸判敛法的理论基础此定理是本节诸判敛法的理论基础.其部分和其部分和发散发散趋向趋向收敛准则收敛准则第3页，本讲稿共48页证证例例1该正项级数的部分和为该正项级数的部分和为:所以原级数收敛所以原
3、级数收敛.第4页，本讲稿共48页 正项级数的收敛或发散，直观看，正项级数的收敛或发散，直观看，可以说决定于可以说决定于其其通项趋于通项趋于0的快慢的快慢.若通项趋于若通项趋于0足够快足够快，那么正项级数那么正项级数收敛收敛.若通项趋于若通项趋于0不够快或不趋于不够快或不趋于0，那么正项级数，那么正项级数发散发散.但是，什么是趋于但是，什么是趋于0足够快或不够快？因为快慢足够快或不够快？因为快慢是相对的是相对的.将它将它和已知是收敛或发散的正项级数的通项和已知是收敛或发散的正项级数的通项来比较，来比较，即可知道趋于即可知道趋于0足够快或不够快足够快或不够快.第5页，本讲稿共48页都有都有定理定理
4、2(比较审敛法比较审敛法)设设且存在且存在对一切对一切有有(1)若级数若级数则级数则级数(2)若级数若级数则级数则级数证证:设对一切设对一切则有则有收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.分别表示两个级数的部分和分别表示两个级数的部分和,则有则有是两个是两个正项级数正项级数,因在级数前加、减有限项不改变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨故不妨第6页，本讲稿共48页(1)若级数若级数则有则有因此对一切因此对一切有有由定理由定理 1 可知可知,则有则有(2)若级数若级数因此因此显然不是有界数列。这说明级数也发散也发散.也收敛也收敛.发散发散,收敛收敛,级数级数第7页，本讲
5、稿共48页注：怎样使用比较审敛法？注：怎样使用比较审敛法？当需要判别一个当需要判别一个正项级数正项级数如果能把它的（从某项起的）各项如果能把它的（从某项起的）各项适当的放大适当的放大，使放大后的级数是使放大后的级数是已知收敛的正项级数已知收敛的正项级数时时，那么就，那么就可判断可判断是收敛的；如果能把是收敛的；如果能把的（从的（从某项起的）各项某项起的）各项使缩小后的级数使缩小后的级数那么就可判断那么就可判断是否收敛时，是否收敛时，是已知发散的正项级数是已知发散的正项级数，是发散的。是发散的。适当的缩小（保持非负），适当的缩小（保持非负），第8页，本讲稿共48页例例2解解发散发散,故原级数发散
6、故原级数发散.（2）对于任何对于任何 x1,都有都有则对于则对于 任何任何 自然数自然数，有，有第9页，本讲稿共48页例例3.3.讨论讨论 p p 级数级数(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性.2)若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数发散发散.发散发散,解解:1)若若原级数为原级数为调和级数发散调和级数发散.第10页，本讲稿共48页由图可知由图可知3)小结小结第11页，本讲稿共48页重要参考级数重要参考级数:几何级数、几何级数、p-级数和调和级数级数和调和级数.常用方法常用方法:如，判定下列级数的敛散性如，判定下列级数的敛散性第12页，本讲
7、稿共48页证明级数证明级数发散发散.证证:因为因为而级数而级数发散发散根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知,所给级数发散所给级数发散.例例4.4.第13页，本讲稿共48页定理定理3.(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 l=0(3)当当 l=证证:据极限定义据极限定义,设两正项级数设两正项级数满足满足(1)当当 0 l 时时,(l可以代表普通实数，也可以代表）第14页，本讲稿共48页由由定理定理 2 可知可知同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散;(3)当当l=时时,即即由由定理定理2可知可知,若若发散发散,(1)当当0 l
8、 时时,(2)当当l=0时时,由由定理定理2 知知收敛收敛,若若第15页，本讲稿共48页的敛散性的敛散性.例例5.判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知例例6.判别级数判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知第16页，本讲稿共48页说明：用比较判敛法来判断正项级数的敛散性，虽说明：用比较判敛法来判断正项级数的敛散性，虽然有时是很方便的，但使用比较判敛法需要另外找到一然有时是很方便的，但使用比较判敛法需要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数。在实践上，找到这样个适当的正项级数作为比较级数。在实践上，找到这样一个级数
9、，往往不是一件轻而易举的事。一个级数，往往不是一件轻而易举的事。能否不必另外寻找（至少是表面上不必另外寻找）能否不必另外寻找（至少是表面上不必另外寻找）比较级数，而从级数本身判断它是否收敛？比较级数，而从级数本身判断它是否收敛？第17页，本讲稿共48页定理定理4.4.比值审敛法比值审敛法 (D(Dalembert alembert 判别法判别法)设设 为正项级数为正项级数,且且则则(1)当当(2)当当时时,级数收敛级数收敛;或或时时,级数发散级数发散.(3)当当 时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散.证明：证明：第18页，本讲稿共48页 原级数收敛原级数收敛.因此因此所以级数发散所
10、以级数发散.时时(2)当当从而从而(1)公比公比 r1的等比级的等比级数数 第19页，本讲稿共48页比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:例如例如,2.2.条件是充分的条件是充分的,而非必要而非必要 第20页，本讲稿共48页解解例例7 7第21页，本讲稿共48页比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法.第22页，本讲稿共48页例例8.讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.解解:根据定理根据定理4可知可知:级数收敛级数收敛;级数发散级数发散;第23页，本讲稿共48页例例9.讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.解解:则对于任何则对于任何n,均
11、有均有第24页，本讲稿共48页一般的，当正项级数的一般项一般的，当正项级数的一般项是因子的乘积形式且是因子的乘积形式且中含有中含有时，用比值法较方便。时，用比值法较方便。比值法失效；比值法失效；如何使用比值审敛法判别正项级数的敛散性？如何使用比值审敛法判别正项级数的敛散性？第25页，本讲稿共48页定理定理5.根值审敛法根值审敛法(Cauchy判别法判别法)设设 为正项级为正项级则则数数,且且 注：注：根值审敛法的实质与比值审敛法相同，都是把根值审敛法的实质与比值审敛法相同，都是把给定的的级数与等比级数相比较给定的的级数与等比级数相比较.第26页，本讲稿共48页时时,级数可能收敛也可能发散级数可
12、能收敛也可能发散.例如例如,p 级数级数 说明说明:但但级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.第27页，本讲稿共48页例例10.讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.解解:根据定理根据定理5可知可知:级数收敛级数收敛;级数发散级数发散;所以级数发散。所以级数发散。第28页，本讲稿共48页例例11极限不存在，因此，无法使用比值判敛法极限不存在，因此，无法使用比值判敛法.解法一：解法一：根据根据根值审敛法根值审敛法知所给级数收敛知所给级数收敛.问题：问题：能否用比值审敛法判别？能否用比值审敛法判别？能用根值审敛法判别的级数，不一定能用比值审敛法来判别。第29页，本讲稿共48页并且其和为并且其和为此级数也
13、可以看作是由两个收敛的等比级数此级数也可以看作是由两个收敛的等比级数的对应项相加所得的级数的对应项相加所得的级数.根据级数的线性性质，当然是收敛的根据级数的线性性质，当然是收敛的.解法二：解法二：第30页，本讲稿共48页解法三：解法三：第31页，本讲稿共48页时，用根值判敛法比较方便。时，用根值判敛法比较方便。如何使用根值审敛法判别正项级数的敛散性？如何使用根值审敛法判别正项级数的敛散性？或是一些因子的乘积，或是一些因子的乘积，其内含有其内含有根值判别法法失效；根值判别法法失效；能用比值判别法判别的正项级数，都能用根值法能用比值判别法判别的正项级数，都能用根值法判别，反之，不一定判别，反之，不
14、一定.第32页，本讲稿共48页则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数称为称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法判别法)若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数收敛收敛,且其和且其和 其余项满足其余项满足二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法第33页，本讲稿共48页证证:是单调递增有界数列是单调递增有界数列,又故（第一章习题1-2第6题结论）故级数收敛于故级数收敛于S,且且第34页，本讲稿共48页收敛收敛收敛收敛用用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性判别法判别下列级数的敛散性:收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项
15、取绝对值后所成的级数是否收敛?发散发散收敛收敛收敛收敛第35页，本讲稿共48页定义定义:对任意项级数对任意项级数若若若原级数收敛若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散,则称原级则称原级收敛收敛,数数为条件收敛为条件收敛.均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛绝对收敛；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛.三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛第36页，本讲稿共48页定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛.证证:设设根据比较审敛法根据比较审敛法显然显然收敛收敛,收敛收敛也收敛也收敛且且收敛收敛,令令第37页，本讲稿共48页定理定理7表明：表明
16、：上述定理的作用：任意项级数敛散性问题正项级数敛散性问题使得一大类级数的收敛判定问题，转化为正项级数的收敛问题.第38页，本讲稿共48页例例12.12.证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而而收敛收敛,收敛收敛因此因此绝对收敛绝对收敛.第39页，本讲稿共48页(2)令令因此因此收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.第40页，本讲稿共48页例例13.13.判别下列级数的敛散性，如果收敛，说明判别下列级数的敛散性，如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛是条件收敛还是绝对收敛:第41页，本讲稿共48页解解:故级数条件收敛故级数条件收敛.因此原级数绝对收敛因此原级数绝对收敛.Leibnitz 判
17、别法，即判别法，即第42页，本讲稿共48页解解:因此原级数非绝对收敛因此原级数非绝对收敛.第43页，本讲稿共48页满足满足Leibnitz 判别法，判别法，所以原级数条件收敛所以原级数条件收敛.解解:所以原级数发散所以原级数发散.第44页，本讲稿共48页分析：这是交错级数，但不满足分析：这是交错级数，但不满足 ，无，无法用法用Leibniz判别法判别法.故加括号后级数发散，故加括号后级数发散，所以原级数发散所以原级数发散.解解:加括号加括号第45页，本讲稿共48页例例14.证明证明:分析：只需证分析：只需证 收敛即可收敛即可.解解:第46页，本讲稿共48页其和分别为其和分别为*定理定理8.绝对
18、收敛级数不因改变项的位置而改变其和绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.(P265 定理定理9)说明说明:证明参考证明参考 P265P268,这里从略这里从略.*定理定理9.(绝对收敛级数的乘法绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积则对所有乘积 按按任意顺序任意顺序排列得到的级数排列得到的级数也绝对收敛也绝对收敛,设级数设级数与与都绝对收敛都绝对收敛,其和为其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.(P267 定理定理10)绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.第47页，本讲稿共48页数项级数收敛性判断流程图数项级数收敛性判断流程图比比较较法法比比值值法法定定义义法法根根式式法法是是是是是是否否 否否 否否 否否 小结小结第48页，本讲稿共48页