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1、课时素养评价 十九平面向量的坐标 (20分钟35分)1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),则顶点D的坐标为()A.(2,-3)B.(-1,0)C.(4,5)D.(-4,-1)【解析】选D.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,所以=+-=(-4,-1).【补偿训练】若O(0,0),B(-1,3),且=3,则点A的坐标为()A.(3,9)B.(-3,9)C.(-3,3)D.(3,-3)【解析】选B.=3(-1,3)=(-3,9),根据以原点出发的向量终点坐标等于向量坐标,所以点A的坐标为(-3,9).2.已知A(-1,-1),B(1,3),C(x,5
2、),若,则x=()A.2B.-3C.-2D.5【解析】选A.=(2,4),=(x-1,2),因为,故4(x-1)=22,故x=2.3.已知M(3,-2),N(-5,-1),且=,则P点的坐标为()A.(-8,1)B.C.D.(8,-1)【解析】选B.设P(x,y),则=(x-3,y+2),而=(-8,1)=,所以解得即P.4.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)c,则实数k的值为()A.2B.C.D.-【解析】选B.因为a=(2,-1),b=(1,1),所以a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(2+k,k-1).又c=(-5,1),且(a+kb)c,
3、所以1(2+k)-(-5)(k-1)=0,解得k=.5.若向量a=(2,-1)与b=(1,y)平行,则y=.【解析】因为向量a=(2,-1)与b=(1,y)平行,所以2y+1=0,解得y=-.答案:-6.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足a=m b+n c的实数m,n.(2)若(a+kc)(2b-a),求实数k.【解析】(1)因为a=mb+n c,所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).所以解得(2)因为(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2(3+4k)-(-5)(
4、2+k)=0,所以k=-. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=1a+2b,则1,2的值分别为()A.-2,1B.1,-2C.2,-1D.-1,2【解析】选D.因为c=1a+2b,所以(3,4)=1(1,2)+2(2,3)=(1+22,21+32),所以所以【补偿训练】 设a=(2,1),b=(3,2),c=(5,4),若c=a+b则,的值是()A.=-3,=2B.=-2,=3C.=2,=3D.=3,=2【解析】选B.由题意,向量a=(2,1),b=(3,2),c=(5,4),又因为c=a+b,所以(5,4)=(
5、2+3,+2),所以解得2.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=+,则+=()A.B.C.D.2【解析】选B.以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设正方形边长为1,由此,=(1,1),=,=(-1,1),故1=-,1=+,解得=,=,所以+=.3.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是()A.k=-2B.k=C.k=1D.k=-1【解题指南】由A,B,C三点不能构成三角形可知A,B,C三点共线.【解析】选C.因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,即,共线.又=-=(1,2),=-=(k,k
6、+1),所以(k+1)1-2k=0,解得k=1.4.与a=(6,8)平行的单位向量为()A.B.C.或D.【解析】选C.设与a平行的单位向量e=(x,y),则解得或故满足条件的单位向量为或.【误区警示】本题容易漏掉与a反向的单位向量.5.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且|=2|,则点P的坐标为()A.(3,1)B.(1,-1)C.(3,-1)或(-1,1)D.(3,1)或(1,-1)【解析】选D.因为A(2,0),B(4,2),所以=(2,2),因为点P在直线AB上,且|=2|,所以=2,或=-2,故=(1,1),或=(-1,-1),故点P的坐标为(3,1)或(1,-1)
7、.【光速解题】本题可以直接代值验证,将选项中的点坐标代入条件可以快速排除.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a=(1,1),b=(x2,x+)且ab,则实数的最小值是.【解析】因为ab,所以x2-x-=0,即=x2-x=-,所以的最小值为-.答案:-7.已知向量a=(2,3),b=(-1,4),m=a-b,n=2a-b,若mn,则=.【解析】因为m=a-b=(2,3)-(-1,4)=(+2,3-4),n=2a-b=2(2,3)-(-1,4)=(5,2),又mn,所以2(+2)=5(3-4),解得=.答案:8.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上且=
8、,连接DC延长至E,使|=|,则点E的坐标为.【解题指南】设出点E的坐标为(x,y),利用=及|=|列出关于x,y的方程组求解.【解析】因为=,所以-=(-).所以=2-=(3,-6).所以点C的坐标为(3,-6).又|=|,且E在DC的延长线上,所以=-.设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),得解得所以点E的坐标为.答案:【补偿训练】 已知P1(2,-1),P2(-1,3),P在直线P1P2上,且=,则P点的坐标为.【解析】因为=,设P点坐标为(x,y),=(x-2,y+1),=(-1-x,3-y),所以(x-2,y+1)=(-1-x,3-y),所以即故P点坐标为.答
9、案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件.(2)若=2,求x,y的值.【解析】(1)因为点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.由=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y)得=(3,1),=(2-x,1-y),所以3(1-y)=2-x.所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.(2)=(-x-1,-y),由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),所以解得10.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+(R),试问为何值时:(1)点
10、P在第一、三象限的角平分线上?(2)点P在第三象限内?【解析】设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),+=(5-2,4-3)+(7,10)-(2,3)=(3+5,1+7).因为=+(R),所以(x-2,y-3)=(3+5,1+7),所以所以所以P(5+5,4+7).(1)若点P在第一、三象限的角平分线上,则5+5=4+7,故=.(2)若点P在第三象限内,则解得故-1,即只要-1,点P在第三象限内.1.设向量a=(m,n),b=(s,t),定义两个向量a,b之间的运算“”为a b=(ms,nt).若向量p=(1,2),p q=(-3,4),则向量q等于()A.(
11、-3,2)B.(3,-2)C.(-3,-2)D.(3,2)【解析】选A.设向量q=(x,y),p q=(x,2y)=(-3,4),所以x=-3,y=2,故向量q=(-3,2).2.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.(1)证明:对任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标.(3)求使f(c)=(p,q)(p,q是常数)的向量c的坐标.【解析】(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),所以f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),所以f(m a+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)f(a)=(1,21-1)=(1,1),f(b)=(0,20-1)=(0,-1).(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),所以y=p,2y-x=q,所以x=2p-q,即向量c=(2p-q,p).