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1、课时素养评价 二十二向量应用举例 (15分钟30分)1.已知在ABC中,=a,=b,且ab0,则ABC的形状为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.因为ab=|a|b|cos BAC0,所以cos BAC0,所以90BAC180,故ABC是钝角三角形.2.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10牛,方向与水平面成60角,当小车向前运动10米时,力F做的功为()A.100焦耳B.50焦耳C.50焦耳D.200焦耳【解析】选B.设小车位移为s,则|s|=10米,WF=Fs=|F|s|cos 60=1010=50(焦耳).3.过点A(2,3),且垂直于
2、向量a=(2,1)的直线方程为()A.2x+y-7=0B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0D.x-2y-4=0【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则a,即(2-x)2+(3-y)1=0,即2x+y-7=0.4.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且|=2,则的最小值为.【解析】设点E,F的坐标分别为(0,m),(0,m+2),则=(1,m),=(-2,m+2),所以=(m+1)2-3,当m=-1时,取最小值-3.答案:-35.如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为,绳子所受到的拉力为F1.(1)|F
3、1|,|F2|随角的变化而变化的情况如何?(2)当|F1|2|G|时,求角的取值范围.【解析】(1)由力的平衡原理知,G+F1+F2=0,作向量=F1,=F2,=-G,则+=,所以四边形OACB为平行四边形,由已知AOC=,BOC=90,所以|=,|=|=|tan .即|F1|=,|F2|=|G|tan ,.由此可知,当从0逐渐增大趋向于90时,|F1|,|F2|都逐渐增大.(2)当|F1|2|G|时,有2|G|,所以cos ,又090,所以060. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知点O是ABC的外心,AB=2,AC=3,则=()A.-B.C.D.-【解析】选C.如
4、图所示.取弦AC的中点D,则ODAC,所以=(+)=+=+0=,同理可得=,=-=-=32-22=.2.一只鹰正以与水平方向成30角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40 m/s,则鹰的飞行速度为()A. m/sB. m/sC. m/sD. m/s【解析】选C.设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|=40 m/s,因为鹰的运动方向是与水平方向成30角向下,故|v1|=(m/s).3.已知ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点,且=,则=()A.B.1C.D.3【解析】选D.由题意,设=a,=b,则|a|=2,|b|=2,且a与
5、b的夹角为60,又由向量的运算法则可得=(a+b),=a+b,所以=a2+ab+b2=22+|a|b|cos 60+22=+22+=3.4.已知点O是ABC内部一点,并且满足+2+3=0,BOC的面积为S1,ABC的面积为S2,则=()A.B.C.D.【解析】选A.因为+2+3=0,所以+=-2(+),分别取AC,BC的中点D,E,则+=2,+=2.所以=-2,即O,D,E三点共线且|=2|.如图所示,则SOBC=SDBC,由于D为AC中点,所以SDBC=SABC,所以SOBC=SABC,即=.【误区警示】本题中易找不到思路从而选不出正确结果.5.直线l经过点P(1,0),且圆x2+y2-4x
6、-2y+1=0上到直线l距离为1的点恰好有3个,满足条件的直线l有()A.0条B.1条C.2条D.3条【解题指南】方法一:先将圆的方程化成标准式,求出圆心与点P的距离为(圆心到直线l的最大距离),而圆心C到直线的距离刚好为1(1)时,即可满足圆上恰好有三个点到直线的距离为1,由几何知识可知这样的直线有两条.方法二:依据圆心C到直线的距离刚好为1时,即可满足圆上恰好有三个点到直线的距离为1,用点到直线的距离公式算出即可知.【解析】选C.方法一:x2+y2-4x-2y+1=0可变形为(x-2)2+(y-1)2=4,所以圆心C(2,1),CP=2,所以圆心C到直线l的距离刚好为1(1)时,即可满足圆
7、上恰好有三个点到直线l的距离为1,由几何知识可知这样的直线有两条.方法二:圆心C到直线l的距离刚好为1时,即可满足圆上恰好有三个点到直线l的距离为1.当直线l:x=1时,显然满足;设直线l:y=k(x-1),所以圆心C(2,1)到直线l的距离d=1,解得k=0,所以这样的直线有两条.二、填空题(每小题5分,共15分)6.河水的流速为2 m/s,一艘小船以10 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶,则小船在静水中的速度大小为.【解题指南】先找出三个速度之间的关系,再利用船的实际速度与水流的速度垂直求解.【解析】设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则v=v1+v2,|v1
8、|=2,|v|=10.因为vv1,所以vv1=0,所以|v2|=|v-v1|=2.答案:2 m/s7.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=1,则=.【解析】因为圆x2+y2=1的半径为1,AB=1,所以AOB为正三角形.所以=11cos 60=.答案:8.如图所示,一架飞机从A地向北偏西60方向飞行1 000 km到达B地,因大雾无法降落,故转向C地飞行,若C地在A地的南偏西60方向,并且A,C两地相距2 000 km,则飞机从B地到C地的路程为,方向为.【解析】由题意得|=1 000,|=2 000,BAC=60,所以|2=|-|2=|2+|2-2|cos
9、60=2 0002+1 0002-21 0002 000=3106,所以|=1 000,ABC=90.取AC的中点D,由|=2|且BAD=60,知为正南方向,有ABD=60,于是DBC=30,所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000 km,方向为南偏西30.答案:1 000 km南偏西30三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.(1)试用向量a,b来表示,.(2)AM交DN于O点,求AOOM的值.【解析】(1)因为AN=AB,所以=a,所以=-=a-b.因为BM=BC,所以=b,所以=+=a+b.(2)因为A,O,M三点共线,所以.
10、设=,则=-=-=-b=a+b.因为D,O,N三点共线,所以,存在实数,使=,a+b=.由于向量a,b不共线,所以解得所以=,=,所以AOOM=311.10.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,DC的中点,BE,BF与AC分别交于点R,T,证明:R,T为AC的三等分点.【证明】设=a,=b,则=a+b,=b-a.由于与共线,因此存在实数m,使得=m(a+b).又与共线,因此存在实数n,使得=n=n.由=+=+n,得m(a+b)=a+n,整理得(m+n-1)a+b=0.由于向量a,b不共线,所以有解得所以=.同理=,所以=,所以AR=RT=TC,所以R,T为AC的三等分点.若a,b是两个不共线的非零向量,tR.(1)若a,b的起点相同,t为何值时,a,tb,(a+b)三个向量的终点在一条直线上?(2)若|a|=|b|且a与b的夹角为60,t为何值时,|a-tb|最小?【解析】(1)由题意得a-tb与a-(a+b)共线,则设a-t b=m,mR,化简得a=b.因为a与b不共线,所以解得所以当t=时,a,tb,(a+b)三个向量的终点在一条直线上.(2)因为|a|=|b|,所以|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a|b|cos 60=(1+t2-t)|a|2=|a|2,所以当t=时,|a-tb|有最小值|a|.