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1、第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固提升基础巩固1.有下列4个说法:等比数列中的某一项可以为0;等比数列中公比的取值范围是(-,+);若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;若b2=ac,则a,b,c成等比数列.其中说法正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析对于,因为等比数列中的各项都不为0,所以不正确;对于,因为等比数列的公比不为0,所以不正确;对于,若一个常数列是等比数列,则这个常数不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以正确;对于,只有当a,b,c都不为0时,a,b,c才成等比数列,所以不正确.因此,正确的说法只有1个,故选B.答案B
2、2.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B3.设an为等比数列,给出四个数列:2an;log2|an|,其中一定为等比数列的是()A.B.C.D.解析an为等比数列,设其公比为q,则通项为a1qn-1,所以对于,2an是以2a1为首项,以q为公比的等比数列;对于,=q2为常数,又因为0,故为等比数列;对于,不一定为常数;对于,不一定为常数,故选A.答案A4.已知an为等比数列且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a
3、5等于()A.5B.10C.15D.20解析由等比数列的性质知a2a4=,a4a6=,所以+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25.又因为an0,所以a3+a50,所以a3+a5=5.答案A5.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()A.2n-1B.C.D.解析由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,.又S1=a1=1,所以Sn=,故选B.答案B6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.解析设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,q5=,q=.这4个数依次为80,40,20,10
4、.答案80,40,20,107.在数列an中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=.解析由2an+1-an=0,得,所以数列an是等比数列,公比为.因为a1=3,所以an=3.答案38.在等比数列an中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=25=4,而a4与a8的等比中项是a6,故a4与a8的等比中项是4.答案49.已知数列an是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2bn=an.(1)求证:数列bn是等比数列;(2)求数列bn的通项公式.(1)证明由log2bn=an,得bn=.因为数列an是等差数列,不妨设公差为
5、d,则=2d(n2),2d是与n无关的常数,所以数列bn是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列bn的通项公式bn=16n-1.10.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1.(1)证明:数列an+1是等比数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1).由a1=1,知a1+10,从而an+10.=2(nN*).数列an+1是等比数列.(2)解由(1)知an+1是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.an+1=22n-1=2n.即an=2n-1.能力提升1.若a,b,c成等差数列,而a+1,
6、b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等差数列an中,d=2,且a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析由题知a1=a2-d=a2-2,a3=a2+d=a2+2,a4=a2+2d=a2+4.因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,即(a2+2)2=(a2-2)(a2+4),解得a2=-6.答案B3.已知等比数列an,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列
7、an中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.若an为等比数列,且2a4=a6-a5,则公比为()A.1或-2B.-1或2C.-1或-2D.以上都不对解析设等比数列an的公比为q,由2a4=a6-a5=a4q2-a4q=a4(q2-q)且a40,得q2-q-2=0,解得q=-1或q=2.答案B5.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an0,所以q2+q-1=0,解得q=.答案6.若数列a1,是首项为
8、1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知各项都为正数的数列an满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.解(1)由题意可得a2=,a3=.(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以.故an是首项为1,公比为的等比数列,因此an=,nN*.8.已知数列an的前n项和Sn=2an+1,(1)求证:an是等比数列,并求出其通项公式;(2)设bn=an+1+2an,求证:数列bn是等比数列.证明(1)Sn=2an+1,Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,an+1=2an.由已知及上式可知an0.由=2知an是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,an=-2n-1.(2)由(1)知,an=-2n-1,bn=an+1+2an=-2n-22n-1=-22n=-2n+1=-42n-1.=2.数列bn是等比数列.3