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1、第2讲数列求和及数列的综合应用自主学习导引真题感悟1(2012大纲全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为A. B. C. D.解析利用裂项相消法求和设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为11.答案A2(2012浙江)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN，数列bn满足an4log2bn3，nN.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解析(1)由Sn2n2n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1.所以an4n1，nN.由4n1an4log2bn
2、3，得bn2n1，nN.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN，所以Tn3721122(4n1)2n1，2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN.考题分析数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用网络构建高频考点突破考点一：裂项相消法求数列的前n项和【例1】(2012门头沟一模)数列an的前n项和Snn21.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nN)，求数列b
3、n的前n项和Tn.审题导引(1)运用公式an求an，注意n1时通项公式an；(2)裂项法求和规范解答(1)由已知，当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn12n1，数列an的通项公式为an(2)由(1)知，bn当n1时，T1b1，当n2时，Tnb1b2bn，bn的前n项和Tn.【规律总结】常用的裂项技巧和方法用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：(1)；(2)()；(3)CCC；(4)nn！(n1)！n！等易错提示利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易
4、忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误【变式训练】1(2012大连模拟)已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f(an)(nN)(1)求数列an的通项公式an；(2)若数列bn满足bnanan13n，Snb1b2bn，求Sn.解析(1)由已知，an1，1.3，并且，数列为以为首项，3为公比的等比数列，3n1，an.(2)bn，Snb1b2bn.考点二：错位相减法求数列的前n项和【例2】(2012滨州模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，已知an12Sn2(nN)(1)求数列an的通项公式；(2)在an与an1之间插入n
5、个数，使这n2个数组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn.审题导引(1)利用递推式消去Sn可求an；(2)利用错位相减法求数列的前n项和规范解答(1)由an12Sn2(nN)，得an2Sn12(nN，n2)，两式相减得an1an2an，即an13an(nN，n2)，又a22a12，an是等比数列，所以a23a1，则2a123a1，a12，an23n1.(2)由(1)知an123n，an23n1.an1an(n1)dn，dn，令Tn，则TnTn得Tn.【规律总结】错位相减法的应用技巧(1)设数列an为等差数列，数列bn为等比数列，求数列anbn的前n项和可用错位相减法应用错位相减法求和时
6、需注意：(2)给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.【变式训练】2已知等差数列an满足：an1an(nN)，a11，该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列bn的前三项(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设Tn(nN)，若Tnc(cZ)恒成立，求c的最小值解析(1)设d、q分别为数列an的公差、数列bn的公比由题意知，a11，a21d，a312d，分别加上1、1、3得2、2d、42d，(2d)22(42d)，d2.an1an，d0，d2，an2n1(nN)，由此可得b12，b24，q2，bn2n(nN)(2)
7、Tn，Tn.由得Tn.Tn133，Tn33.使Tnc(cZ)恒成立的c的最小值为3.考点三：数列与不等式的综合问题【例3】已知数列an的前n项和Sn满足：Sna(Snan1)(a为常数，且a0，a1)(1)求an的通项公式；(2)设bnaSnan，若数列bn为等比数列，求a的值；(3)在满足条件(2)的情形下，设cn，数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn2n.审题导引第(1)问先利用anSnSn1(n2)把Sn与an的关系式转化为an与an1之间的关系，判断数列的性质，求其通项公式；(2)根据第(1)问，求出数列bn的前三项，利用bb1b3列出方程即可求得a的值；(3)先求出数列cn的通项公式
8、，根据所求证问题将其放缩，然后利用数列求和公式证明规范解答(1)当n1时，S1a(S1a11)，得a1a.当n2时，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，两式相减得anaan1，得a.即an是等比数列所以anaan1an.(2)由(1)知bn(an)2an，bn，若bn为等比数列，则有bb1b3，而b12a2，b2a3(2a1)，b3a4(2a2a1)，故a3(2a1)22a2a4(2a2a1)，解得a，再将a代入bn，得bnn，结论成立，所以a.(3)证明由(2)，知ann，所以cn2.所以cn2.Tnc1c2cn2n2n.结论成立【规律总结】数列与不等式综合问题的解题方法(1)
9、在解决与数列有关的不等式问题时，需注意应用函数与方程的思想方法，如函数的单调性、最值等(2)在数列的恒成立问题中，有时需先求和，为了证明的需要，需合理变形，常用到放缩法，常见的放缩技巧有：；2()2()；利用(1x)n的展开式进行放缩【变式训练】3已知数列bn满足：bn1bn，且b1，Tn为bn的前n项和(1)求证：数列是等比数列，并求bn的通项公式；(2)如果对任意nN，不等式2n7恒成立，求实数k的取值范围解析(1)证明对任意nN，都有bn1bn，所以bn1，则是等比数列，首项为b13，公比为，所以bn3n1，即bn3n1.(2)因为bn3n1，所以Tn36.因为不等式2n7，化简，得k，
10、对任意nN恒成立，设cn，则cn1cn，当n5时，cn1cn，数列cn为单调递减数列；当1n5时，cn1cn，数列cn为单调递增数列而c4c5，所以n5时，cn取得最大值.所以要使k对任意nN恒成立，k.名师押题高考【押题1】在数列an中，an，又bn，则数列bn的前n项和Sn_.解析an(123n)，bn8数列bn的前n项和为Sn88.答案押题依据求数列的通项公式与数列的前n项和都是高考的热点本题综合考查了以上两点及等差数列的求和公式，考查数列知识全面，综合性较强，故押此题【押题2】已知数列an是首项a11的等比数列，且an0，bn是首项为1的等差数列，又a5b321，a3b513.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解析(1)设数列an的公比为q，bn的公差为d，则由已知条件得：，解之得：.an2n1，bn1(n1)22n1.(2)由(1)知.Sn.Sn.得：Sn1n1.Sn3.押题依据数列求和中的错位相减法因运算量较大，结构形式复杂能够较好地考查考生的运算能力，有很好的区分度，而备受命题者青睐本题综合考查了等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和，难度中等，故押此题 - 9 -