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1、第2讲数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题1 数列求和的方法技巧(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中a
2、n，bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和这种方法，适用于求通项为的数列的前n项和，其中an若为等差数列，则.常见的拆项公式：；()；()；()2 数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该
3、模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.考点一分组转化求和法例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818
4、(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318.所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2l
5、n 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式 (2013安徽)设数列an满足a12，a2a48，且对任意nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x满足f0.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由题设可得f(x)(anan1an2)an
6、1sin xan2cos x，又f0，则anan22an10，即2an1anan2，因此数列an为等差数列，设等差数列an的公差为d，由已知条件，解得ana1(n1)dn1.(2)bn22(n1)，Snb1b2bn(n3)n1n23n1.考点二错位相减求和法例2(2013山东)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足1，nN*，求bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由得a11，d2，所以an2n1(nN*)(2)由已知1，nN*，当n2时，1，得：，又当n1时，也符合上式，所以(nN*)，所以b
7、n(nN*)所以Tnb1b2b3bn.Tn.两式相减得：Tn.所以Tn3. 错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题 设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知，得当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1.从而22
8、Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12考点三裂项相消求和法例3(2013广东)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sna4n1，nN*, 且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：a2；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有0，a2.(2)解当n2时，4Sn1a4(n1)1，4an4Sn4Sn1aa4，即aa4an4(an2)2，又an0，an1an2，当n2时，an是公差为2的等差数列又a2，a5，a14成等比数列aa2a14，即(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)知a11.又
9、a2a1312，数列an是首项a11，公差d2的等差数列an2n1.(3)证明0)中，a13，此数列的前n项和为Sn，对于所有大于1的正整数n都有Snf(Sn1)(1)求数列an的第n1项；(2)若是，的等比中项，且Tn为bn的前n项和，求Tn.解(1)因为，(x0)成等差数列，所以2，整理，得f(x)()2.因为Snf(Sn1)(n2)，所以Sn()2，所以，即，所以是以为公差的等差数列因为a13，所以S1a13，所以(n1)nn.所以Sn3n2(nN*)所以an1Sn1Sn3(n1)23n26n3.(2)因为是与的等比中项，所以()2，所以bn，Tnb1b2bn.考点四数列的实际应用例4(
10、2012湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示) (1)由第n年和第(n1)年的资金变化情况得出an与an1的递推关系；(2)由an1与an之间的关系，可求通项公式，问题便可求解解(1)由题
11、意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d.an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1dd2an2ddn1a1d.整理得ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.由题意，知am4 000，即m1(3 0003d)2d4 000，解得d.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程
12、问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果 某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克若做广告宣传，广告费为n(nN*)千元时比广告费为(n1)千元时多卖出千克(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量S；(2)试写出销售量S与n的函数关系式；(3)当a50，b200时，要使厂家获利最大，销售量S和广告费n分别应为多少？解(1)当广告费为1千元时，销售量Sb.当广告费为2千元时，销售量Sb.(2)设Sn(nN)表示广告费为n千元时的销售量，由题意得S1S0，S2S1，SnSn1.以上n个等式相加得，SnS0，即SSnbb(2)(3)当a
13、50，b200时，设获利为Tn，则有TnSa1 000n10 000(2)1 000n1 000(20n)，设bn20n，则bn1bn20n120n1，当n2时，bn1bn0；当n3时，bn1bn0.所以当n3时，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此时S375，即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为375千克和3千元1 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1)an.(2)递推关系形如an1anf(n)，常用累加法求通项(3)递推关系形如f(n)，常用累乘法求通项(4)递推关系形如“an1panq(p、q
14、是常数，且p1，q0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法可设an1p(an)，经过比较，求得，则数列an是一个等比数列(5)递推关系形如“an1panqn(q，p为常数，且p1，q0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以qn转化为类型(4)，或同除以pn1转为用迭加法求解2 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n1项中的前n项，哪些项构
15、成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零3 数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.1 在一个数列中，如果nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么称这个数列为等积数列，称k为这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_.答案28解析依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.2
16、 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为_答案255解析由于an2an1(1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30构成公差为2的等差数列，所以a1a2a29a30151522255.3 已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a465，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设bn，是否存在一个最小的常数m使得b1b2bn0，a2a4，a25，a413.a11，d4.an4n3
17、.由于1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，所以bn，b1b2bn，所以存在m使b1b2bn0，S160，S168(a8a9)0，a90，0，0，0，0，0，而S1S2a2a8，所以在，中最大的是.6 数列an满足a11，且对任意的m，nN*都有amnamanmn，则_.答案解析令m1得an1ann1，即an1ann1，于是a2a12，a3a23，anan1n，上述n1个式子相加得ana123n，所以an123n，因此2，所以22.7 已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a2
18、012_.答案2 012解析当n为奇数时，anf(n)f(n1)n2(n1)2(2n1)；当n为偶数时，anf(n)f(n1)n2(n1)22n1.所以a1a2a3a2 0122(12342 0112 012)2 012.8 数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa_.答案(9n1)解析a1a2a3an3n1，a1a2a3an13n11(n2)则n2时，两式相减得，an23n1.当n1时，a1312，适合上式，an23n1(nN*)a49n1，则数列a是首项为4，公比为9的等比数列aaaa(9n1)9 已知数列an满足3an1an4(n1)且a19，其前n项之和为Sn，
19、则满足不等式|Snn6|的最小整数n是_答案7解析由递推式变形得3(an11)(an1)，an1是公比为的等比数列则an18()n1，即an8()n11.于是Snn61()nn66()nn，因此|Snn6|6()n|6()n250，满足条件的最小n7.10气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(nN*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了_天答案800解析由题意得，每天的维修保养费是以5为首项，为公差的等差数列设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为2，当且仅当时取得最小值，此时n80
20、0.二、解答题11已知等差数列an满足：a59，a2a614.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanqan(q0)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数列an的公差为d，则由a59，a2a614，得，解得.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由an2n1得bn2n1q2n1.当q0且q1时，Sn135(2n1)(q1q3q5q2n1)n2；当q1时，bn2n，则Snn(n1)所以数列bn的前n项和Sn.12将函数f(x)sin xsin (x2)sin (x3)在区间(0，)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2nan，数列
21、bn的前n项和为Tn，求Tn的表达式解(1)化简f(x)sin xsin (x2)sin (x3)sin x，其极值点为xk(kZ)，它在(0，)内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列，故an(n1)n.(2)bn2nan(2n1)2n，Tn12322(2n3)2n1(2n1)2n，则2Tn122323(2n3)2n(2n1)2n1两式相减，得Tn1222222322n(2n1)2n1，Tn(2n3)2n313在等比数列an中，a2，a3a6.设bnlog2a2log2a2，Tn为数列bn的前n项和(1)求an和Tn；(2)若对任意的nN*，不等式Tnn2(1)n恒成立，求实数的取值范围解(1)设an的公比为q，由a3a6aq5q5得q，ana2qn2()n.bnlog2a2log2a2log()2n12log()2n12()，Tn(1)(1).(2)当n为偶数时，由Tnn2恒成立得，2n3恒成立，即(2n3)min，而2n3随n的增大而增大，n2时(2n3)min0，0.当n为奇数时，由Tnn2恒成立得，2n5恒成立，即(2n5)min而2n5259，当且仅当2n，即n1时等号成立，9.综上，实数的取值范围为(，0)16