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1、第九讲等差数列、等比数列数列等差数列等比数列1(等比数列的前n项和)(2013北京高考)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.【解析】设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n项和公式求Sn.设等比数列an的首项为a1，公比为q，则：由a2a420得a1q(1q2)20.由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2，a12.故Sn2n12.【答案】22n122(等差数列的性质)在等差数列an中，若a2，a2 014为方程x210x160的两根，则a1a1 008a2 015_.【解析】由题意知a2a2 01410，所以a1
2、0085.所以a1a1 008a2 0153a1 0083515.【答案】153(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列an中，a31，a51，则a2a2a6a3a7_.【解析】在等比数列an中，a3a7a；a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(2)28.【答案】84(等差数列的通项公式)若数列an满足，且a13，则an_ .【解析】由，得2，数列是首项为，公差为2的等差数列(n1)22n，an.【答案】5(等差数列前n项和)已知正数组成的等差数列an，其前20项和为100，则a7a14的最大值是_【解析】S20100，a1a2010.an0，a7a14()
3、2()225，当且仅当a7a14时取“”【答案】25等差、等比数列的基本运算 (1)(2013课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3B4C5D6(2)(2013湖北高考)已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.求数列an的通项公式是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由【思路点拨】(1)先求am，am1，再根据am，am1，Sm列方程组求m.(2)先求得a1和公比q，再求通项公式；根据数列 仍然构成等比数列可求得数列 的前m项和，进而作出判断【自主解答】(1)an是等差数列，Sm12，Sm0，amSmS
4、m12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又Sm0，a12，am2(m1)12，m5.【答案】C(2)设等比数列an的公比为q，则由已知可得解得或故an3n1，或an5(1)n1.若an3n1，则n1，故数列 是首项为，公比为的等比数列从而1.若an(5)(1)n1，则(1)n1，故数列是首项为，公比为1的等比数列，从而故1.故不存在正整数m，使得1成立1本例(2)中，通项公式含(1)n1，故需分n为奇数与偶数两种情况讨论2涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”体现了方程思想的应用3在使用等比数列前n项和公式时，若公比q不能确定是否为1，
5、应分q1和q1两种情况讨论变式训练1(2013潍坊模拟)在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.【解】(1)因为an是一个等差数列，所以a3a4a53a484，所以a428.设数列an的公差为d，则5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a139，即a11，所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)对mN*，若9man92m，则9m89n0，证明：d1，d2，dn1是等比数列；(3)设d1，d2，dn1是公差大于0的等差数列，且d
6、10，证明：a1，a2，an1是等差数列【思路点拨】(1)根据di的定义求解(2)需根据题意求出dn的通项公式后利用定义证明(3)利用等差数列的定义证明【自主解答】(1)d12，d23，d36.(2)证明：因为a10，公比q1，所以a1，a2，an是递增数列因此，对i1,2，n1，Aiai，Biai1.于是对i1,2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1,2，n2)，即d1，d2，dn1是等比数列(3)证明：设d为d1，d2，dn1的公差对1in2，因为BiBi1，d0，所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因为Ai1maxAi，ai1，所以ai1Ai
7、1Aiai.从而a1，a2，an1是递增数列因此Aiai(i1,2，n2)又因为B1A1d1a1d1a1，所以B1a1a2an1.因此anB1.所以B1B2Bn1an.所以aiAiBidiandi.因此对i1,2，n2都有ai1aidi1did，即a1，a2，an1是等差数列1等差数列的判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)2等比数列的判定方法：(1)定义法：q(q为非零常数，nN*)(2)等比中项法：aanan20(nN*)(3)通项公式：anc
8、qn1(c、q均为非零的常数，nN*)3要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法变式训练3已知数列an满足a1，a2，an12anan1(n2，nN*)，数列bn满足b1，3bnbn1n(n2，nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：数列bnan为等比数列，并求出数列bn的通项公式【解】(1)由an12anan1(n2，nN*)，可得an1ananan1(n2，nN*)数列an是首项为a1，公差为da2a1的等差数列ana1(n1)dn(nN*)，即ann(nN*)(2)由3bnbn1n，得bnbn1n(n2，nN*)，bnanbn1nnbn1n(bn1n)bn1(
9、n1)(bn1an1)又b1a10，bnan0(nN*)，得(n2，nN*)，即数列bnan是首项为b1a1，公比为的等比数列于是，bnan()n1，即bn()n1()n12n1(nN*).等差、等比数列的通项公式an与前n项和Sn是高考必考内容，其中把非等差、等比数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题，体现了转化与化归的数学思想，是高考命题的生长点可转化为等差、等比数列的求和问题 (12分)等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通
10、项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.【规范解答】(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1.4分(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.8分所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；10分当n为奇数时，Sn2(ln 2ln
11、 3)(n)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn12分 【阅卷心语】易错提示(1)在确定a1，a2，a3的值时，不会分类讨论导致无法求解(2)在求数列bn的前n项和Sn时，不会把Sn拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解(3)在求数列bn的前n项和Sn时，对n没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误防范措施(1)当a1的值不确定时，应对a1的所有可能取值逐一进行讨论(2)当通项公式an是多项和的形式时，常把前n项和Sn拆分成几个等差(比)数列和的形式求解(3)数列问题中若遇到(1)n则需考虑n的奇偶性对所求数值的影响必要时应分n为奇数和n为偶数两种情况讨论1若Sn为等差数列an的前n项和，S936，S13104，则a5与a7的等比中项为()A4B4C4D4【解析】设等差数列an的公差为d，由题意知解得a5a14d4，a7a16d8，a5a732，故a5与a7的等比中项为4.【答案】B2数列an满足an1若a1，则数列的第2 013项为()A. B.C. D.【解析】由题意知a22a1121，a32a2，a42a3，a52a4121，a62a5121，从而数列an的各项周期性出现，周期为4，故a2 013a1.【答案】C11