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1、第八节 函数与方程及应用授课提示：对应学生用书第285页A组根底保分练1.以下函数中，在1，1内有零点且单调递增的是A.ylogxB.y2x1C.yx2 D.yx3解析：函数ylogx在定义域上单调递减，yx2在1，1上不是单调函数，yx3在定义域上单调递减，均不符合要求.对于y2x1，当x01，1时，y0且y2x1在R上单调递增.答案：B2.函数fx2x2x的零点所在的区间是A.2，1 B.1，0C.0，1 D.1，2解析：f222220，f121210，f02000，由零点存在性定理知，函数fx的零点在区间1，0上.答案：B3.假设函数fxax1在区间1，1上存在一个零点，那么实数a的取值
2、范围是A.1， B.，1C.，11， D.1，1解析：由题意知，f1f10，即1a1a0，解得a1或a1.答案：C4.2021遵义模拟某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元.设该设备使用了nnN年后，盈利总额到达最大值盈利总额等于总收入减去总本钱，那么n等于A.6 B.7C.8 D.7或8解析：盈利总额为21n9n2n9.因为其对应的函数的图像的对称轴方程为n，所以当n7时取最大值，即盈利总额到达最大值.答案：B5.2021福州模拟函数fx那么函数yfx3x的零点个数是A.0 B.
3、1C.2 D.3解析：令fx3x0，那么或解得x0或x1，所以函数yfx3x的零点个数是2.答案：C6.研究发现，当对某学科知识的学习次数x不超过6次时，对该学科的掌握程度fx0.115ln.根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为115，121，121，127，127，133.当学习某学科知识6次时，其掌握程度是85%，那么该学科是参考数据：e0.051.05，e0.852.34A.甲 B.乙C.丙 D.三者均可能解析：由题意可知，0.115ln0.85，整理得e0.05，解得a6216126，因为126121，127，所以该学科是乙.答案：B7.2022湘赣十四校联考函数fx有且只
4、有1个零点，那么实数a的取值范围是_.解析：当a0时，函数yax3x0必有一个零点，又因为0，解得a1；当a0时，fx恰有一个零点；当a0，那么fxax30，假设x0，那么fxax22xa，此时，fx恒小于0，所以当a1.答案：a0或a18.2021唐山模拟某人方案购置一辆A型轿车，售价为14.4万元，购置后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%即这辆车每年减少它的价值的10%，试问，大约使用年后，用在该车上的费用含折旧费到达14.4万元.解析：设使用x年后花费在该车上的费用到达14.4万元，依题意可得，14.410.9x2.4x14.4，化简得x
5、60.9x0.令fxx60.9x，易得fx为单调递增函数，又f31.3740，f40.063 40，所以函数fx在3，4上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用到达14.4万元.答案：49.函数fxx22x，gx1求gf1的值；2假设方程gfxa0有4个实数根，求实数a的取值范围.解析：1利用解析式直接求解得gf1g3312.2令fxt，那么原方程化为gta，易知方程fxt在，1上有2个不同的解，那么原方程有4个解等价于函数ygtt1与ya的图像有2个不同的交点，作出函数ygtt1的图像如图，由图像可知，当1a时，函数ygtt1与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.10.声强级
6、Y单位：分贝由公式Y10lg给出，其中I为声强单位：W/m2.1平常人交谈时的声强约为106 W/m2，求其声强级；2一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？3比拟理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝，熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5107 W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解析：1当声强为106 W/m2时，由公式 Y10lg得Y10lg10lg 10660分贝.2当Y0时，由公式Y10lg得10lg0.所以1，即I1012 W/m2，那么常人能听到的最低声强为1012 W/m2.3当声强为5107 W/m2时，声强级Y10lg10lg51055010lg 5
7、，因为5010lg 550，所以这两位同学会影响其他同学休息.B组能力提升练1.定义在R上的函数fx满足fx且fx1fx1，假设gx3log2x，那么函数Fxfxgx在0，内的零点个数为A.3 B.2C.1 D.0解析：由fx1fx1，知fx的周期是2，画出函数fx和gx的局部图像，如下图，由图像可知fx与gx的图像有2个交点，故Fx有2个零点.答案：B2.函数fx假设函数gxfxk仅有一个零点，那么k的取值范围是A.B.，0C.，0D.，0解析：函数fx的图像如下图，由题知该图像与直线yk只有一个公共点，故k的取值范围为，0.答案：D3.2021衡阳模拟某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金
8、投入.假设该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.3A.2022年 B.2022年C.2022年 D.2021年解析：设开始超过200万元的年份是n，那么130112%n2 016200，化简得n2 016lg 1.12lg 2lg 1.3，所以n2 0163.8，所以n2 020，因此开始超过200万元的年份是2022年.答案：C4.2021西安模拟某校为了标准教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x
9、正常情况0x100，且教职工平均月评价分数在50分左右，假设有突出奉献可以高于100分计算当月绩效工资y元.要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大局部教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少.那么以下函数最符合要求的是A.yx502500B.y10500C.yx503625D.y5010lg2x1解析：由题意知，函数应满足：单调递增，且先慢后快，在x50左右增长缓慢，最小值为500，A是先减后增，不符合要求；B由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C是由yx3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求.答案：C5.函数fxx2
10、xaa0在区间0，1上有零点，那么a的取值范围为_.解析：由题意f1f00，所以a2a0，所以2a0.答案：2，06.函数fx假设函数gxfxm有3个零点，那么实数m的取值范围是_.解析：作出fx的图像如下图.由于函数gxfxm有3个零点，结合图像得0m1，即m0，1.答案：0，17.食品平安问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a单位：万元
11、满足P804，Qa120，设甲大棚的投入为x单位：万元，每年两个大棚的总收益为fx单位：万元.1求f50的值；2试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益fx最大？解析：1由题意知甲大棚投入50万元，那么乙大棚投入150万元，所以f50804150120 277.5万元.2fx804200x120x4250，依题意得20x180，故fxx425020x180.令t，t2，6，那么yt24t250t82282，当t8，即x128时，fx取得最大值，fxmax282.所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元.C组创新应用练1.2021郑州模拟函数f
12、xaR，假设函数fx在R上有两个零点，那么实数a的取值范围是A.0，1 B.1，C.0，1 D.，1解析：画出函数fx的大致图像如下图.因为函数fx在R上有两个零点，所以fx在，0和0，上各有一个零点.当x0时，fx有一个零点，需00时，fx有一个零点，需a0.综上，0a1.答案：A2.李冶11921279，真定栾城今河北省石家庄市人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中?益古演段?主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，假设方田的四边到水池的最近距离均为二
13、十步，那么圆池直径和方田的边长分别是注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算步、步.解析：设圆池的半径为r步，那么方田的边长为2r40步，由题意，得2r4023r213.75240，解得r10或r170舍，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.答案：20603.一个容器装有细沙a cm3，细沙沉着器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebtcm3，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，那么再经过 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析：当t0时，ya；当t8时，yae8ba.故e8b.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebte8b3e24b，那么t 24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案：16