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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数章节测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、图是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所
2、示的四边形若，则的值为（ ）ABCD2、如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为，此时飞机的高度AC为a，则A，B的距离为（ ）AatanBCDcos3、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的垂面距离为（）A4mB8mC2mD1m4、在直角ABC中，AC2，则tanA的值为（ ）ABCD5、在RtABC中，C90，BC3，AC4，那么cosB的值等于（）ABCD6、如图，中，它的周长为22若与，三边分别切于E，F，D点，则劣弧的长为（ ）ABCD7、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知
3、的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）ABCD8、如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东的B处，则该船行驶的路程为（ ）A80海里B120海里C海里D海里9、如图，若的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（ ）ABCD10、如图，在RtABC中，C90，BC1，以下正确的是（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、比较大小：tan46_cos462、已知0a90，当a =_时，sina =；当a =_时，tana=3、_4、如图，为半圆O的直径，C为半圆上的一点，垂足为D，延长与半
4、圆O交于点E若，则图中阴影部分的面积为_5、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15时，如图，在RtABC中，C90，ABC30，延长CB至D，使BDAB，连接AD，得D15，所以tan152类比这种方法，计算tan22.5的值为 _三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在中，为锐角且（1）求的度数；（2）求的正切值2、先化简，再求值：（1），其中x2tan603、如图1，在中，（1）求的长；（2）如图2，点P沿线段从B点向C点以每秒的速度运动，同时点Q沿线段向A点以每秒的速度运动，且当P点停止运动时，另一点Q也随之停止运动，若P点运动时间为t秒若时，求
5、证：；并求此时t的值点P沿线段从B点向C点运动过程中，是否存在t的值，使的面积最大；若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由4、计算、解方程：（1）（2）（3）5、如图，在中，（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求的值（结果保留根号）-参考答案-一、单选题1、A【分析】在中，可得的长度，在中，代入即可得出答案【详解】解：，在中，在中，.故选：A【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.2、C【分析】根据题意可知，根据，即可求得【详解】解：飞机于空中A处测得目标B处的俯角为，AC为a，故选C【点
6、睛】本题考查了正弦的应用，俯角的意义，掌握正弦的概念是解题的关键3、C【分析】根据坡度的概念求出AC，得到答案【详解】解：如图，AB的坡度为1：2，即，解得，AC=2，故选：C【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键4、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值【详解】解：在RtABC中，AB=3，AC2，BC= tanA=故选：B【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中5、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可【详解】解
7、：如图，在RtABC中，C90，BC3，AC4，cosB故选：D【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键6、B【分析】连接OD、OF，过点O作OGDF于点G，则，DOG=FOG，根据与，三边分别切于E，F，D点，可得AD=AF，BD=BE，CE=CF，ADO=AFO=90，从而得到AD=AF=3，再由，可得 ，DOF=120，从而求出OD，即可求解【详解】解：如图，连接OD、OF，过点O作OGDF于点G，则，DOG=FOG， 与，三边分别切于E，F，D点，AD=AF，BD=BE，CE=CF，ADO=AFO=90，BC=8，BD+CF=BE+CE=BC=8，的周长为22AD
8、+AF+BD+BE+CE+CF=22，AD+AF=6，AD=AF=3，ADF为等边三角形，DOF=120，DF=AD=3， ，DOG=60， ，劣弧的长为 故选：B【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，求弧长，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键7、B【分析】先构造直角三角形，由求解即可得出答案【详解】A.，故此选项不符合题意；B.，故此选项符合题意；C.，故此选项不符合题意；D.，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，是解题的关键8、D【分析】过点A作ADBC于点D，分别在 和中，利用锐角三角函数，即可求解【详解】解：过点A作ADBC于
9、点D，根据题意得： 海里，ADC=ADB=90，CAD=45，BAD=60，在 中， 海里，在 中， 海里， 海里，即该船行驶的路程为海里故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键9、B【分析】如图连结OA，OB，OG，根据六边形ABCDEF为圆外切正六边形，得出AOB=60AOB为等边三角形，根据点G为切点，可得OGAB，可得OG平分AOB，得出AOC=，根据锐角三角函数求解即可【详解】解：如图连结OA，OB，OG，六边形ABCDEF为圆外切正六边形，AOB=3606=60，AOB为等边三角形，点G为切点，OGAB，OG平分AOB，AOC=，cos
10、30=，故选择B【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键10、C【分析】根据勾股定理求出AB，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即可判断【详解】解：在RtABC中，C90，BC1，根据勾股定理AB=，cosA=，选项A不正确；sinA，选项B不正确；tanA，选项C正确；cosB，选项D不正确故选：C【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数定义是解题的关键二、填空题1、【解析】【分析】根据tan46tan45=1cos46即可比较【详解】4645tan46tan45=11c
11、os46tan46cos46故答案为：【点睛】此题主要考查三角函数值的大小比较，解题的关键是熟知三角函数的性质2、 30 60【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可以得解【详解】解：因为，故答案为30；60【点睛】本题考查三角函数的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键3、5【解析】【分析】原式分别根据绝对值，有理数的乘方，二次根式以及特殊角三角函数值化简各项后，再进行加减运算即可得到答案【详解】解：=5【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则及特殊角三角函数值是解答本题的关键4、83-23【解析】【分析】根据垂径定理得到AE=CE，ADCD，解直角三角形得到ODOA2，A
12、DOA，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：ODAC，ADO90，AE=CE，ADCD，CAB30，OA4，ODOA2，ADOA，图中阴影部分的面积S扇形AOESADO6042360-12232=83-23，故答案为：83-23【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键5、或【解析】【分析】在等腰直角ABC中，C=90，延长CB至点D，使得AB=BD，则BAD=D设AC=1，求出CD，可得结论【详解】解：如图，在等腰直角ABC中，C=90，延长CB至点D，使得AB=BD，则BAD=DABC=45，45=BAD+D=2D，D=22.5，设
13、AC=1，则BC=1，故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题三、解答题1、（1）60，（2）3【解析】【分析】（1）根据特殊角三角函数值直接求解即可；（2）作ADBC于D，求出AD3，CD1，由三角函数定义即可得出答案【详解】解：（1）B为锐角且，B60；（2）作ADBC于D，如图所示：，BDAB3，AD，BC4，BD3，CDBCBD1，tanC3【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊锐角的三角函数值、三角函数定义等知识；熟练掌握直角三角形的性质和特殊锐角的三角函数值是解题的关键2、，【解析】【分析】根
14、据分式的运算法则化简，利用特殊角的三角函数值求出x代入即可求解【详解】（1）=x2tan60=2=6原式=【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及特殊角的三角函数值3、（1）AB=13；（2）证明见解析，t=354；存在，t=6【解析】【分析】（1）过A点作BC的垂线，垂足为D，则可求得AD=5，再由勾股定理可得AB长度（2）由APC=APQ+QPC=BAP+ABC，可得QPC=BAP，则可证得，可求得BP以及QC的长度，根据题意列一元一次方程即可过A点作BC的垂线，垂足为D，过Q点作BC垂线，垂足为H，根据题意列方程即可【详解】（1）过A点作BC的垂线，垂足为D在
15、RtABD中，ADBD=tanABC=512，BC=24BD=12BC=12AD=12512=5由勾股定理有AB=BD2+AD2AB=122+52=144+25=169=13（2）APC=APQ+QPC=BAP+ABCQPC=BAP又ABC=ACBABBP=PCQC设运动了t秒，则BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t则132t=24-2tt解得t=354过A点作BC的垂线，垂足为D，过Q点作BC垂线，垂足为H，设运动了t秒，则BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t，ABC=ACBcosABC=cosACB在RtABD中AB=13，AD=5cosABC=cosA
16、CB=513QH=513t当2t=24时运动停止，即0t12sSPQC=12PCQHSPQC=12PC513QCSPQC=12(24-2t)513tSPQC=-513t2+6013t对称轴为t=-b2a=-60132513=6SPQC=-513t2+6013t开口朝下，612，当t=6时面积最大【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、一元一次方程的几何动点问题，根据题意列一元一次方程是解题的关键4、（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用配方法求出方程的解；（2）利用因式分解法求出方程的解；（3）利用负指数幂法则，特殊角的三角函数值计算，化简二次根式后计算出最后的结果【详解】（1）解：x2=6x+7方程可化为即；（2）解：4(x3)2=x(x3)方程可化为：或（3）2tan45+4sin602 221+4222+【点睛】本题考查了实数的运算、解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键5、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出，设，在三角形中利用三角函数即可求解【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知，在三角形中，设，在三角形中，【点睛】本题考查的是作图基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键