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1、习题解答 第十五章 能量法简介 河南理工大学*第十五章 能量法简介 习题15.1 试运算图标结构的变形能。略去剪切影响，为已知。对于只受拉压变形的杆件，需要考虑拉压的变形能。解：（a）如图a所示，因结构和载荷均对此，所以利用静力学平稳条件，可很容易地得到约束反力并且只取梁的一样进行运算。AB段梁任一截面上的弯矩方程为梁的应变能为（b）如图b所示，利用静力学平稳条件，求的约束反力为梁各段的弯矩方程为BA段 AC段 应变能为 （c）如图c所示，各杆段的弯矩方程为AB段 BC段 刚架的应变能为(d)如图d所示利用静力学平稳条件求得梁AC的支座反力和杆BD的轴力为（拉）梁各段的弯矩方程为CB段 BA段
2、 结构的应变能为(e)如图e所示利用静力学平稳条件，得刚架的支座反力和轴力为，刚架各段的弯矩方程为AB段 BC段 结构的应变能为15.2 试用卡氏定理运算习题15-1中各结构中截面A的铅垂位移以及B截面（(e)图）的转角。解：(a)受力分析如下图所示，有分析可得在x方向是不受力，只受y方向的力由于在A处并无垂直外力，为此，设想在A处加一垂直外力，这时求解共同作用下的支座反力，A 受力分析如图所示，由平稳条件求得弯矩及对的偏导数为BA段 AC段 截面A的铅垂位移为（2）由于在A处并无垂直外力，为此，设想在A处加一垂直外力，这时求解共同作用下的支座反力，A 受力分析如图所示，由平稳条件求得弯矩及对
3、的偏导数为BA段 AC段 将以上结果代入得截面A的铅垂位移为（3）由于在A处并无垂直集中外力，为此，设想在A处加一垂直外力，这时求解共同作用下的支座反力，A 受力分析如图所示，由平稳条件求得弯矩及对的偏导数为AB段 BC段 将以上结果代入得截面A的铅垂位移为（4）题中受力分析如图所示，由平稳条件求得弯矩及对的偏导数为AB段 BC段 同时求出BD轴力及偏导数为将以上结果代入得（5）1题中受力分析如图所示，由平稳条件求得弯矩及对的偏导数为AB段 BC段 将以上结果代入得截面A的铅垂位移为2由于在截面B处并无弯矩，设想在截面B处加一个弯矩，在杆件截面B上加了，如图所示，这时求共同作用下的支座反力，由
4、平稳条件求得弯矩及对的偏导数为AB段 BC段 将以上结果代入得即15.3 图示桁架，在节点B处承担铅垂载荷作用，试用卡氏定理运算点节B的水平位移。各杆各截面的抗拉刚度均为EA。（a）(b)题15-3图解：（a）由于在B处并无水平外力，为此，设想在B处加一水平外力，这时求解共同作用下的支座反力，B受力分析如图a所示，由平稳条件求得杆件内力及对的偏导数为杆件为，杆件为，杆件为，于是的水平位移为（）由于在B处并无水平外力，为此，设想在B处加一水平外力，这时求解共同作用下的支座反力，B受力分析如图a所示，由平稳条件求得杆件内力及对的偏导数为杆件为杆件为杆件为 DA杆件为 杆件为 于是的水平位移为15.
5、4 图示圆截面轴，承担集度为的均布力偶作用，试用卡氏定理的方法运算截面A的扭转角。设轴的抗扭刚度为常数。题15-4图解：由于在截面A处并无扭矩，设想在截面A处加一个扭矩，在杆件截面A上加了，如图a所示，这时求共同作用下的支座反力，由平稳条件可知杆件上的扭矩及偏导数为，截面A的扭转角因此截面A的扭转角为15.5 图示等截面刚架，承担集度为的均布载荷作用，试用卡氏定理运算截面A的铅垂位移。设各段抗弯刚度和抗扭刚度均为已知常数。 题15-5图解：由于在A处并无垂直外力，为此，设想在A处加一垂直外力，这时求解共同作用下的支座反力，A受力分析如图a所示，由平稳条件求得杆件内力及对的偏导数为AB段， ，
6、；BC段， ， ；， ；截面A的铅垂位移为15.6 水平放置的一开口圆环上AB两点处作用有一对大小相等，方向相反的两个力。已知圆环的弹性常数，以及环杆的直径，试求A、B两点间的相对位移。题15-6图解：在外部荷载作用下圆环的弯矩和扭矩方程分别为，在两外荷载方向上施加单位力，其弯矩和扭矩方程为可得开口处A和B两点的相对铅垂位移为 15.7 用卡氏定理运算图中C点处两侧截面的相对转角。各杆的抗弯刚度均为。题15-7图解：在铰点加一对大小相等，方向相反的力偶矩MC，分别作用于铰点的两边如图点两侧截面的相对角位移：15.8 图示各刚架，抗弯刚度为常数，试运算支反力。 （a） (b)题15-8图解：（a
7、）此刚架是一次超静定结构，所以需要解除一个余外约束，即把处的支座换成滑动支座和代之以水平支反力，如图所示，根据变形比较，C点处实际的水平位移为零，即用卡氏定理运算C点的水平位移：题中受力分析如图所示，由平稳条件求得弯矩及对的偏导数为BC段 AB段 将以上结果代入得由题知即由平稳方程求出（b）此刚架是一次超静定结构，所以需要解除一个余外约束，即把D处的支座换成滑动支座和代之以水平支反力，如图所示，根据变形比较，D点处实际的水平位移为零，即 用卡氏定理运算D点的水平位移：题中受力分析如图所示，由平稳条件求得弯矩及对的偏导数为AB段 BC段 CD段 将以上结果代入得由题知得由平稳条件可求出15.9
8、求解图中各静不定结构。各杆的抗弯刚度相同，都等于，抗拉刚度也相同，都等于，并且当杆中只有拉压变形时才考虑拉压变形，有对称性的注意对称性。 （a） (b) (c) (d)题15-9图解：（1）在此杆件体系内部是超静定的，将其中2 杆件截开，并代替以2杆件的轴力作用在两个截面上，如下图所示由外力和，可写出其它杆件的轴力列表如下：杆件编号轴力偏导数杆长1123456各杆求和（）则截面间的相对位移为，变形比较，即，所以由此代入上式得（2）解除两脚支座约束代之以反力，并令水平杆的水平位移，得到相当系统如图所示在求刚架的应变能时，若仅考虑弯曲的影响，明显可视与为一个力，则所以由水平杆的拉压变形和谐知（是轴
9、向压力，是轴向拉力）（3）自跨中截面将梁截开，两部分之间的相互作用内力分别以表示（如图所示）由于结构与荷载的对称性，必然有剪力刚架的应变能为切口两边两截面的相对水平位移为即切口两边的相对转角为即：以上方程联立求解，得（4）由结构对称，荷载反对称，得静定系为如图所示C处上下相对位移：（与图示相反）由左图平稳(向左)(向下)(逆)由反对称，得右图B处反力15.10 直径、长为的圆木桩，下端固定，上端受重的重锤作用。木材的。求下列三种情形下，木桩内的最大正应力：（）重锤以静载荷的方式作用于木桩上；（）重锤从离桩顶0.5 m的高度自由落下；（）在桩顶放置直径为150 mm、厚为40 mm的橡皮垫，橡皮
10、的弹性模量。重锤也是从离橡皮垫顶面0.5 m的高度自由落下。题15-10图解：（1）当重锤以静载荷的方式作用在木桩上时最大静应力为静应变为（2）当重锤自由下落时动荷因子为动应力为（3）当有橡皮垫时动荷因子仍用情形（2）时的公式，但式中的是橡皮垫和木桩静变形之和，即所以动荷因子为冲击荷载下的最大应力15.11图示等截面刚架，一重量为的物体，自高度处自由落下，试计划处截面A的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力。材料的弹性模量，刚架的质量与冲击物的变形忽略不计。题15-11图解：采用单位载荷法运算截面A的铅垂静位移，其载荷状态（以W作为静载荷）和单位状态（令W=1）的弯矩方程依次为 式中，长度l=1m
11、,坐标x1自A向右取，x2自上向下取。截面A的铅垂位移为截面A的最大冲击位移为而在冲击载荷Fd作用下，刚架内的最大正应力为15.12 重量为的重物，自高度处自由下落，冲击到外伸梁的C点处，如图所示。已知梁为20b号工字钢，其弹性模量。试求梁内最大冲击正应力（不计梁的自重）。题15-12图解 ：先运算静载荷作用下的静位移和静应力，将其直接作用在C点，则由卡氏定理求出静位移得查附录得20b号工字钢动荷系数为所以15.13 重量的冰块，以速度沿水平方向冲击在木桩的上端，如图所示。木柱长，直径，弹性模量。试求木桩上的最大冲击正应力（不计木桩自重）。题15-13图解：先运算静载荷作用下的静位移和静应力，
12、将冰块的重量当做静载荷沿水平方向作用在冲击点A，即为静载荷，在静载荷作用下，冲击点A处沿冲击方向的位移就是静位移，则静位移为静应力为动荷系数为所以15.14 为保证图标结构的安全性，试分析发生失效的可能原因，并指出各种失效情形下的危险点，以及所需要采用的理论及运算方法。题15-14图解：1. 发生失效的可能原因为：AB杆件达到屈服极限的强度破坏，BC杆件失稳破坏。2. AB杆件达到屈服极限的强度破坏的危险点为：点，C点BD杆件失稳破坏危险点为：BD杆件失稳3. 假设杆件的E，A，I都相同，并且AB只受弯矩作用，BD只受轴向压力作用，从一样角度考虑，只进行两种情形分析：1.考虑为强度破坏，即BD
13、杆件不发生失稳破坏， AB杆件发生强度破坏; 2.考虑为失稳破坏，即BD杆件发生失稳破坏，AB杆件不发生强度破坏;1.考虑为强度破坏，即BD杆件不发生失稳破坏， AB杆件发生强度破坏， 即为，AB杆件只受压力作用，第一运算静载荷作用下的静位移和最大静应力（考虑一样情形即为都圆截面杆件），此时简图为由卡氏定理求出静位移为：动荷系数为运算杆件AB上的最大静应力位置为：点处为点处为对比知道点出最大即C点处为危险点，最大动应力为此时是C先到达许有应力，先失效；即为结构失效，2.考虑失稳破坏，即BD杆件发生失稳破坏，AB杆件不发生强度破坏;在此种情形下杆件BD失稳，达到临界应力，即为因此整个杆件失稳，其危险点位整个杆件。212